힐베르트-슈미트 연산자

수학에서, 다비드 힐베르트와 에르하르트 슈미트의 이름을 딴 힐베르트-슈미트 $A\colon H\to H$ 는 유한한 힐베르트 공간 H $H$ 에 작용하는 유계 연산자 A $A\colon H\to H$ $A\colon H\to H$ → $A\colon H\to H$ ${\displaystyle A\colon$ H\ $to$ H $}$ 입니다.

\ A\_{\operatorname {HS}}^{2}\{\stackrel {\text{def}{=}}\ \sum _{i\in I}\ Ae_{i}\_{H}^{2

여기서 $\{e_{i}:i\in I\}$ { $\{e_{i}:i\in I\}$ : $\{e_{i}:i\in I\}$ ∈ I} ${\displaystyle \{e_{i:$ i\in I\}}는 정규 기저입니다. 인덱스 집합 $I$ $I$ 은(는) 셀 필요가 $I$ 없습니다. 그러나 오른쪽의 합은 많아야 0이 아닌 항을 많이 포함해야 의미를 갖습니다.^[3] 이 정의는 정규 표준 기준의 선택과는 무관합니다. 유한 차원 유클리드 공간에서 힐베르트-슈미트 $\|\cdot \|_{\text{HS}}$ ‖ ⋅ ‖ $\|\cdot \|_{\text{HS}}$ HS ${\displaystyle$ \cdot \ $_{\$ text{ $HS}}}$ 은(는) Frobenius norm과 동일합니다 $\|\cdot \|_{\text{HS}}$ .

· _HS잘_HS 정의되어 있습니다.

Hilbert-Schmidt 정규분포는 정규분포의 선택에 의존하지 않습니다. 실제로 $\{e_{i}\}_{i\in I}$ { $\{e_{i}\}_{i\in I}$ $i가$ ∈ $\{f_{j}\}_{j\in I}$ I ${\displaystyle$ \{e_{i}\} $_{$ i\in I}} 및 {fj} j ∈ I {\displaystyle \{f_{j}\}_{j\in I}가 그러한 베이스라면,

\sum_{i}\ Ae_{i}\ ^{2}\sum_{i,j}\left \langle Ae_{i},f_{j}\rangle \right ^{2}=\sum_{i,j}\left \ langle e_{i},A^{*}f_{j}\rangle \right ^{2}=\sum _{j}\ A^{*}f_{j}\ ^{2}.

If

e_{i}=f_{i},

then

{\textstyle \sum _{i}\ Ae_{i}\ ^{2}=\sum _{i}\ A^{*}e_{i}\ ^{2}.}

As for any bounded operator,

{\displaystyle A=A^{**}.

}

Replacing

A

with

A^{*}

in the first formula, obtain

{\textstyle \sum _{i}\ A^{*}e_{i}\ ^{2}=\sum _{j}\ Af_{j}\ ^{2}.}

{\textstyle \sum _{i}\|A^{*}e_{i}\|^{2}=\sum _{j}\|Af_{j}\|^{2}.}

독립은 그 뒤를 이룹니다.

예

중요한 종류의 예는 힐베르트-슈미트 적분 연산자에 의해 제공됩니다. 유한 차원 범위를 갖는 모든 유계 연산자(이들을 유한 순위 연산자라고 함)는 힐베르트-슈미트 연산자입니다. 힐베르트 공간의 항등식 연산자는 힐베르트 공간이 유한 차원인 경우에만 힐베르트-슈미트 연산자입니다. $H$ $H$ 의 $x$ 의 x ${\displaystyle$ x $}$ 및 $y$ ${\displaystyle$ y $}$ 가 주어지면 $H$ $x\otimes y:H\to H$ ⊗ y: H → H ${\displaystyle$ x $\otimes$ y: $H\to H}$ by $(x\otimes y)(z)=\langle z,y\rangle x$ , which is a continuous linear operator of rank 1 and thus a Hilbert–Schmidt operator; moreover, for any bounded linear operator $A$ on $H$ (and into $H$ ), $Tr$ $\operatorname {Tr} \left(A\left(x\otimes y\right)\right)=\left\langle Ax,y\right\rangle$ ( $\operatorname {Tr} \left(A\left(x\otimes y\right)\right)=\left\langle Ax,y\right\rangle$ (x $\operatorname {Tr} \left(A\left(x\otimes y\right)\right)=\left\langle Ax,y\right\rangle$ ⊗ $\operatorname {Tr} \left(A\left(x\otimes y\right)\right)=\left\langle Ax,y\right\rangle$ ) $\operatorname {Tr} \left(A\left(x\otimes y\right)\right)=\left\langle Ax,y\right\rangle$ $=$ ⟨ A x $\operatorname {Tr} \left(A\left(x\otimes y\right)\right)=\left\langle Ax,y\right\rangle$ y ⟩ $\operatorname {Tr} \left(A\left(x\otimes y\right)\right)=\left\langle Ax,y\right\rangle$ {\displaystyle \operatorname {Tr} \left(A\left(x\otimes y\rig $\operatorname {Tr} \left(A\left(x\otimes y\right)\right)=\left\langle Ax,y\right\rangle$ t))=\l $\operatorname {Tr} \left(A\left(x\otimes y\right)\right)=\left\langle Ax,y\right\rangle$ lang Ax,y\right\rangle}.

$T$ $T:H\to H$ → H ${\displaystyle$ T $:$ $H\to H}$ 는 T $|T|={\sqrt {T^{*}T}}$ $=$ T $∗$ $T {\displaystyle$ T $=$ {\sqrt {T^{*}}의 고유값 $ℓ$ $\ell _{1},\ell _{2},\dots$ 1 $\ell _{1},\ell _{2},\dots$ $ℓ$ 2, … ${\displaystyle \ell$ _{ $1},\$ ell $|T|={\sqrt {T^{*}T}}$ {2},\ $dots$ }를 갖는 유계 콤팩트 연산자로, 각 고유값은 그 다중도만큼 자주 반복됩니다. ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\ell _{i}^{2}<\infty }$ ∑ $i$ = 1 ∞ ℓ i 2 < ∞ {\textstyle \sum_{i=1}^{\infty}\ell_{i}^{2}<\ $infty$ }인 경우에만 T {\displaystyle T $}$ 는 힐베르트-슈미트입니다. $T$ 경우 T ${\$ ${\textstyle \left\|T\right\|_{\operatorname {HS} }={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }\ell _{i}^{2}}}}$ $T}$ 의 힐베르트-슈미트 노름은 ‖ T ‖ ${\textstyle \left\|T\right\|_{\operatorname {HS} }={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }\ell _{i}^{2}}}}$ = ${\textstyle \left\|T\right\|_{\operatorname {HS} }={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }\ell _{i}^{2}}}}$ ∑ ${\textstyle \left\|T\right\|_{\operatorname {HS} }={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }\ell _{i}^{2}}}}$ i = $1$ ∞ ℓ i 2 {\textstyle \left\ T\right\_{\operatorname {HS}} ={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty}\ell _{i}^{2}}}입니다.

$k\in L^{2}\left(\mu \times \mu \right)$ ∈ $k\in L^{2}\left(\mu \times \mu \right)$ L $k\in L^{2}\left(\mu \times \mu \right)$ (μ $k\in L^{2}\left(\mu \times \mu \right)$ μ) ${\displaystyle k\in$ L $^{2}\$ left(\ $mu \times$ \ $mu$ $k\in L^{2}\left(\mu \times \mu \right)$ right $\left(X,\Omega ,\mu \right)$ 서 $\left(X,\Omega ,\mu \right)$ ( $\left(X,\Omega ,\mu \right)$ ω, μ) ${\displaystyle \left(X,\$ Omega,\mu \right)}는 측도 공간이고 $K:L^{2}\left(\mu \right)\to L^{2}\left(\mu \right)$ $K:L^{2}\left(\mu \right)\to L^{2}\left(\mu \right)$ K : L 2 ( $K:L^{2}\left(\mu \right)\to L^{2}\left(\mu \right)$ → L 2 (μ $)$ {\displaystyle K: $커널$ $k$ 가{\ $displaystyle k}$ 인 L $^{2}\left(\mu \right)\to$ L $^{2}\left(\mu \right)}$ 는 힐베르트-슈미트 $\left\|K\right\|_{\operatorname {HS} }=\left\|k\right\|_{2}$ 이며 $‖$ K $‖$ $HS$ $=$ $‖$ $\left\|K\right\|_{\operatorname {HS} }=\left\|k\right\|_{2}$ k $‖$ $2 {\$ displaystyle \ $k$ \right\_{\operatorname {HS} $=$ \left\k\right\_{2}입니다.