유도 텐서 제품

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오.(2020년 6월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

이 글은 수학 전문가의 주의가 필요하다.구체적인 문제는 다음과 같다.기능 분석의 전문 주제 입니다. 위키프로젝트 수학이 전문가 영입에 도움이 될 수도 있다(2020년 4월)

The finest locally convex topological vector space (TVS) topology on ${\displaystyle X\otimes Y,}$ the tensor product of two locally convex TVSs, making the canonical map ${\displaystyle \cdot \otimes \cdot :X\times Y\to X\otimes Y}$ (defined by sending ${\displaystyle (x,y)\in X\time$${\displaystyle s}$ $Y}$ ~ $x$ ${\displaystyle \otimes }$ y ${\displaystyle x\otimes y}$) 별도 연속성을 귀납 위상 $또는{\displaystyle }$ {$${\$displaystyle \iota$} -topology라고 한다.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\otimes$ Y$}$이(가) 이 토폴로지를 부여하면 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle X\otimes$_{\$iota }Y$}로 표시되며$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaysty X}$ 및 $Y$. ${\displaysty$ Y$.}$의 유도 텐서 곱으로 불린다.

예선

$X{\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle X, Y,}$ 및$$ $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Z$}$을(를) 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간으로 하고 $L{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$을(를) 선형 지도로 한다.

• ${\displaystyle L:X\to Y}$ is a topological homomorphism or homomorphism, if it is linear, continuous, and ${\displaystyle L:X\to \operatorname {Im} L}$ is an open map, where ${\displaystyle \operatorname {Im} L,}$ the image of ${\displaystyle L,}$ has the subspace topology induced by $$$Y$
  • $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq$ X$}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 하위 공간인$$ 경우, 지수$$ $지도{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$→ X${\displaystyle }$/ ${\displaystyle S}$ {\$displaystyle X\to X}$와 ${\displaystyle \mathrm{표준}}$ 주입 $S{\displaystyle }$→ X ${\displaysty S\to$ X$}$이 모두 동형이다$$.In particular, any linear map ${\displaystyle L:X\to Y}$ can be canonically decomposed as follows: ${\displaystyle X\to X/\operatorname {ker} L{\overset {L_{0}}{\rightarrow }}\operatorname {Im} L\to Y}$ where ${\displaystyle L_{0}(x+\ker L):=L($$x)}$은(는) 편향을 정의한다$$.
• ${\displaystyle \mathrm{연속}}$ 선형 $지도{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$→ Z ${\displaystyle X\to$ Z$}(resp$.$$ 연속 이선 지도 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$ →$$Z $displaystyle X\time Y\time Y\$to Z$\})$ 집합은 $L{\displaystyle (X}$; ${\displaystyle Z)}$ ${\displaysty L(X;Z)}($resp)로 표시된다.${\displaystyle }$$B{\displaystyle }$${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$; ${\displaystyle Z}$) ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$) 여기서 Z ${\displaystyle Z}$이(가) 스칼라 필드인$$ 경우 $대신{\displaystyle }$ L${\displaystyle }$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ L$(X)}($resp)를 쓸 수 있다.${\displaystyle B}$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle B(X,Y)}$ ).$$
• $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$에 $의한{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$의 연속적인 이중 $공간$과${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$X${\displaystyle {}^{}}$# .$${\$displaystyle$ X$^{#}$에 의한 대수학적 이중 공간($X{\displaystyle }$, ${\displaystyty X,$ 연속적이든 아니든$$ 모든 선형 함수의 벡터 공간)을 나타낼 것이다.$}$
  • 박람회의 명확성을 높이기 위해 $′{\$의 요소들을 기호 뒤에 프라임과 함께$$ 쓰는 일반적인 관례를 사용한다($예{\displaystyle {}^{:\mathrm{}}}$ x$display$ {\$displaystyle$x^{\$prime}).$ $′{\$$displaysty$}}의$$ 요소들을 나타내며$$, 예를 들면 파생상품과 변수 ${\$display x display x data.$ystyle x}$ 및$$ $′{\$ x$^{\preme }}}$은(는) 어떤 식으로든 관련될 필요가$$ 없다.
• 선형 지도 $L{\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle H}$ ${\디스플레이$ 스타일 $L:$Hilbert ${\displaystyle \mathrm{공간}}$에서 $그 자체$로 H\to $H}$을${\displaystyle (}$를${\displaystyle )}$ X ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle \mathrm{L}}$ ( x ) , X \ 0 {\displaystyle$$$\langle L(x), X\rangele \geq$ 0$}$을(를) 매 x${\displaystyle h}$ H${\displaystyle .}$ ${\displaystystyle$ x$\in$.}에$$ 대해$$ 고유한 $포지티브$맵${\displaystyle r}$ : H → ${\displaystyle H}$ → H${\displaystyle ,}$ , {\$styposition$ r:$${\cyposition r$:$ {\case$H\to H,}$은(는) $L{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle L,}$의 제곱근이라고 하며$$, $L{\displaystyle }$= ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle r.}$ ${\displaystyle L=r\circr.}$과(와) 같이 L, {\displaystyle L.
  • $L{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$→ ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$$H_{1}\to H_{2$}}은 힐버트 공간 사이의 모든 연속 선형 지도인데, L$$ $then{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle$ L$^{*}\circle$ L}은$($는) 항상 양수(+)이다$$.${\displaystyle \mathrm{이제}}$ $R{\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ H ${\displaystyle R:$$H\to H}$은 양의 제곱근을 나타내며$$, $L{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ L$.}$ Define$$ $U{\displaystyle }$: ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$$H_{1}\to H_{2}}$ first on ${\displaystyle \operatorname {Im} R}$ by setting ${\displaystyle U(x)=L(x)}$ for ${\displaystyle x=R\left(x_{1}\right)\in \operatorname {Im} R}$ and extending ${\displaystyle U}$ continuously to ${\displaystyle {\overlin$$e {\operatorname {Im} R}},}$ and then define ${\displaystyle U}$ on ${\displaystyle \operatorname {ker} R}$ by setting ${\displaystyle U(x)=0}$ for ${\displaystyle x\in \operatorname {ker} R}$ and extend this map linearly to all of ${\displaystyle H_{1}.}$ The map ${\displaystyle U{}_{}}$${\displaystyle U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} L}$ is a surjective isometry and ${\displaystyle L=U\circ R.}$
• A linear map ${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$ is called compact or completely continuous if there is a neighborhood ${\displaystyle U}$ of the origin in ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle \Lambda (U)}$ is precompact in ${\displaystyle Y.}$^[3]
  • 힐버트 공간에서는 포지티브 콤팩트 선형 $연산자{\displaystyle }$L : ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L:$$H\to H}$는 20세기 초에 프레드홀름과 F에 의해 발견된 단순한 스펙트럼 분해법을 가지고$$ 있다.리에즈:^[4]

에는 긍정적인 숫자의 연속 감소하는 출산율과 또는 다른 0으로, r1을 수렴하며 2>⋯>r k>⋯{\displaystyle r_{1}>, r_{2}>, \cdots입니다.;r_{k}>, \cdots}과 조금이라도 한정된 치수 subspaces의 시퀀스 V나는{\displaystyle V_{나는}}H{H\displaystyle}(나는 1일원 유한한 있다. 2,…{\displaystyle 나는$=1,2,\ldots }$) with the following properties: (1) the subspaces ${\displaystyle V_{i}}$ are pairwise orthogonal; (2) for every ${\displaystyle i}$ and every ${\displaystyle x\in V_{i},}$ ${\displaystyle L(x)=r_{i}x}$; and (3) the orthogonal of the subspace spanned by ${\displaystyle {\cup }_i}$${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) $L{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ L$.}$의 커널과 동일함$$

위상 표기법

• ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ denotes the coarsest topology on ${\displaystyle X}$ making every map in ${\displaystyle X^{\prime }}$ continuous and ${\displaystyle X_{\sigma \left(X,X^{\prime }\right)}}$ or ${\displaystyle X_{\sigm$$a}}$은(는) $이{\displaystyle }$ 위상에 부여된 X ${\displaystyle$ X$}$을(를) 의미한다$$.
• ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ denotes weak-* topology on ${\displaystyle X^{\prime }}$ and ${\displaystyle X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}}$ or ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ denotes ${\displaystyle X^{\pri$이 토폴로지를 부여받은 나 $}.$
  • ${\displaystyle 매}$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ X ${\displaystyle x_$${0$$}\in$ X$}$은(는$)$ ${\displaystyle 지도\mathbb{}}$ $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$→ R {\$displaystyle$ X$^{\prime }\\mathb {R}}$을(를$)$ 유도하며$$,${\displaystyle \lambda \mapsto }$ (${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ 0 )$$. {\$displaystysty \lambda \$lambda \$lamda$ \$lambda.$$}}$ $\sigma$${\displaystyle (X{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ , ${\displaystyle X}$) ${\$^{\$prime },X\오른쪽)$은 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$에서 가장 강력한 위상이며, 이러한 모든 지도를 연속적으로$$ 만든다.
• ${\displaystyle b\left(X,X^{\prime }\right)}$ denotes the topology of bounded convergence on ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle X_{b\left(X,X^{\prime }\right)}}$ or ${\displaystyle X_{b}}$ denotes ${\displaystyle X}$ endowed with this topology.
• ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}$ denotes the topology of bounded convergence on ${\displaystyle X^{\prime }}$ or the strong dual topology on ${\displaystyle X^{\prime }}$ and ${\displaystyle X_{b\left(X^{\prime },X\right)}}$ or ${$$\displaystyle X_{b}^{\prime }}}$은(는) 이 위상이 부여된 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$을(를) 의미한다.
  • 평소처럼 $X{\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$′ ${\$ X$^{\$$prime}}$을 위상 벡터 공간으로 간주하지만 어떤$$ 위상이 부여되는지 명확히 밝혀지지 않은 경우 위상은 $(X$, X${\displaystyle }$)로$가정한다.$$}$

보편적 재산

Suppose that ${\displaystyle Z}$ is a locally convex space and that ${\displaystyle I}$ is the canonical map from the space of all bilinear mappings of the form ${\displaystyle X\times Y\to Z,}$ going into the space of all linear mappings of ${\displaystyle X\otimes Y\to Z.$지속적인 선형 o.의}[1]그럼 언제의 도메인{\displaystyle 1세}B({\displaystyle{{B\mathcal}}(X,Y, Z)에}제한된다(별도로 지속적인 두줄의 선의 지도의 공간) 다음 이 제한의 범위 공간은 L(Xι Y, Z⊗){L\left(X\otimes_{\iota}Y, Z\right)\displaystyle}당$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\iota }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle Z}$. ${\displaystyle X\otimes _{\iota }Y\to$ Z$.$$}$ In particular, the continuous dual space of ${\displaystyle X\otimes _{\iota }Y}$ is canonically isomorphic to the space ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y),}$ the space of separately continuous bilinear forms on ${\displaystyle X\times Y.}$

If ${\displaystyle \tau }$ is a locally convex TVS topology on ${\displaystyle X\otimes Y}$ (${\displaystyle X\otimes Y}$ with this topology will be denoted by ${\displaystyle X\otimes _{\tau }Y}$), then ${\displaystyle \tau }$ is equal to the inductive tensor product topology if and only if다음과 같은 속성을 가지고 있다.^[5]

For every locally convex TVS ${\displaystyle Z,}$ if ${\displaystyle I}$ is the canonical map from the space of all bilinear mappings of the form ${\displaystyle X\times Y\to Z,}$ going into the space of all linear mappings of ${\displaystyle X\otimes Y\to Z,}$ then when the domain of ${\$$displaystyle I}$ is restricted to ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ (space of separately continuous bilinear maps) then the range of this restriction is the space ${\displaystyle L\left(X\otimes _{\tau }Y;Z\right)}$ of continuous linear operators ${\displaystyle$$X\othes _{\tau }Y\to Z.$$}$

참고 항목

• 보조 표준 공간
• 초기 위상 – 특정 기능을 연속적으로 만드는 가장 강력한 위상
• 주입 텐서 제품
• 원자력 사업자
• 핵 공간 – 힐버트 공간과 다른 유한 치수 유클리드 공간의 일반화
• 투영 텐서 제품
• Hilbert 공간의 텐서 제품 – 특별한 내부 제품이 부여된 텐서 제품 공간
• 위상 텐서 제품 – 위상 벡터 공간을 위한 텐서 제품 구조

참조

참고 문헌 목록

• Diestel, Joe (2008). The metric theory of tensor products : Grothendieck's résumé revisited. Providence, R.I: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4440-3. OCLC 185095773.
• Dubinsky, Ed (1979). The structure of nuclear Fréchet spaces. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09504-7. OCLC 5126156.
• Grothendieck, Alexander (1966). Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (in French). Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1216-5. OCLC 1315788.
• Husain, Taqdir (1978). Barrelledness in topological and ordered vector spaces. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. OCLC 4493665.
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
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• Nlend, H (1981). Nuclear and conuclear spaces : introductory courses on nuclear and conuclear spaces in the light of the duality. Amsterdam New York New York, N.Y: North-Holland Pub. Co. Sole distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier North-Holland. ISBN 0-444-86207-2. OCLC 7553061.
• Pietsch, Albrecht (1972). Nuclear locally convex spaces. Berlin,New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC 539541.
• Robertson, A. P. (1973). Topological vector spaces. Cambridge England: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC 589250.
• Ryan, Raymond (2002). Introduction to tensor products of Banach spaces. London New York: Springer. ISBN 1-85233-437-1. OCLC 48092184.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Wong (1979). Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158.

외부 링크

• ncatlab의 핵 공간