집단동형성

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대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

수학에서 (G, ∗)와 (H, ·)의 두 집단을 주어, (G, ))에서 (H, ·)까지의 집단 동형성은 함수 h : G → H로서 G의 모든 u와 v에 대해 그 기능을 가지고 있다.

${\displaystyle h(u*v)=h(u)\cdot h(v)}$

여기서 방정식의 왼쪽에서 그룹 연산이 G의 그것이고 오른쪽에서 H의 그것이다.

이 속성에서 h가 G의 ID 요소 e를_G H의 ID 요소 e에_H 매핑한다고 추론할 수 있다.

${\displaystyle h(e_{G}=e_{{}}=e_{{}H}}$

그리고 그것은 또한 다음과 같은 의미에서 역과 역의 지도를 만든다.

${\displaystyle h\left(u^{-1}\right)=h(u)^{-1}\,}$

따라서 h는 "그룹 구조와 호환된다"고 말할 수 있다.null

동형성 h(x)에 대한 오래된 명칭은 x 또는^h x일_h 수 있지만,^{[citation needed]} 이는 지수 또는 일반 첨자로 혼동될 수 있다.오토마타 이론에서, 때때로 동형체들은 괄호 없이 그들의 주장 오른쪽에 쓰여지기 때문에, h(x)는 단순히 x h가 된다.^{[citation needed]}

추가적인 구조를 가진 집단을 고려하는 수학 영역에서, 동형성은 때때로 집단의 구조뿐만 아니라 추가적인 구조도 존중하는 지도를 의미한다.예를 들어, 위상학 집단의 동형성은 종종 연속적일 필요가 있다.null

직감

집단동형주의를 정의하는 목적은 대수적 구조를 보존하는 기능을 만드는 것이다.집단 동형성의 동등한 정의는 다음과 같다.함수 h : G → H는 언제든지 집단동형이다.

a ∗ b = c 우리는 h(a) ⋅ h(b) = h(c)를 가지고 있다.

다시 말해서 어떤 의미에서의 H 그룹은 G와 유사한 대수 구조를 가지고 있고 동형상 h는 그것을 보존하고 있다.null

종류들

단동형성

주입식(또는 일대일)인 집단 동형성, 즉 구별성을 보존한다.

에피모르퍼시즘

집단의 동형질성, 즉 코도메인의 모든 지점에 도달한다.

이소모르퍼시

집단 동형질성, 즉 주입성 및 굴절성.그것의 역행도 집단 동형상이다.이 경우 그룹 G와 H를 이소모르픽이라고 부른다. 그룹 G와 H는 원소의 표기법에만 차이가 있을 뿐이며, 모든 실제적인 목적을 위해 동일하다.

내형성

집단동형주의, h: G → G; 도메인과 코도메인은 같다.G의 내형성이라고도 한다.

자동형성

집단적 내형성, 즉 이형성.그룹 G의 모든 자동화 집합은 기능적 구성을 작동으로 하여 그 자체로 그룹, 즉 G의 자동화 그룹을 형성한다.그것은 오토(G)로 표시된다.예를 들어 (Z, +)의 자동형성 그룹은 오직 두 가지 요소, 즉 -1을 갖는 ID 변환과 곱셈만을 포함하고 있다; Z/2Z에 대한 이형성이다.

이미지 및 커널

우리는 h의 낟알을 H의 identity에 매핑된 G의 요소 집합으로 정의한다.

${\displaystyle \operatorname {ker}(h)\equiv \left\{u\in G\colon h(u)=e_{}H}\right\}.}$

그리고 h가 될 이미지

$\displaystyle \operatorname {im}(h)\equiv h(G)\equiv \left\{h(u)\colon u\in G\right\}.}$

동형성의 알맹이와 이미지는 그것이 얼마나 이형성에 가까운가를 측정하는 것으로 해석할 수 있다.첫 번째 이형성 정리에서는 집단 동형성, h(G)의 이미지가 지수군 G/ker h에 이형성이 있다고 기술한다.

h의 커널은 G의 정규 부분군이며 h의 이미지는 H의 부분군이다.

${\displaystyle {\cdot}h\left(g^{-1}\lift u\reft g\reight)&=h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)\&=h(g)^{-1}\cdot e_{{}H}\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot h(g)=e_{H}.\end{정렬}}}$

ker(h) = {e_G}인 경우에만 동형성, h는 집단 단형성, 즉 h는 주입성(일대일)이다.주입은 직접 커널에 고유한 요소가 있고 커널의 고유한 요소가 다음과 같이 주입된다.

${\displaystyle {\begin}&h(g_{1})>=h(g_{2})\\좌우타로우 &h(g_{1})\cdot h(g_{2})^{-1}&=e_{{{{}}}}H}\\\Leftrightarrow &&h\왼쪽(g_{1}\circule g_{2}^{-1}\오른쪽)&=e_{H},\ \operatorname {ker}(h)=\{e_{{}G}\}\\\Rightarrow &&g_{1}\circule g_{2}^{-1}&=e_{G}\\\\Leftrightarrow&g_{1}=g_{2}\ed}}}}}}}$

예

• 주기 그룹 Z/3Z = {0, 1, 2}과(와) 정수 그룹 Z를 고려한다.h(u) = u모드 3이 있는 지도 h : Z → Z/3Z는 집단 동형성이다.그것은 절망적이고 그것의 알맹이는 3으로 나누어질 수 있는 모든 정수로 구성되어 있다.

• 지수 지도는 곱셈이 있는 0이 아닌 실수 R*의 그룹 외에 실수 R의 그룹으로부터 동형성을 산출한다.커널은 {0}이고 이미지는 양의 실수들로 구성된다.
• 지수지도는 또한 곱셈이 있는 0이 아닌 복합수 C*의 그룹 외에 복합수 C의 그룹으로부터 동형성을 산출한다.이 지도는 처절하고 오일러의 공식에서 알 수 있듯이 커널 {2πki : k ∈ Z}이 있다.R과 C와 같은 필드의 가법군에서 승법군까지 동형성을 갖는 것을 지수군이라고 한다.

그룹 카테고리

h : G → H, k : H → K가 집단 동형성이라면 k h h : G → K. 이것은 모든 집단의 등급이 집단 동형성과 함께 하나의 범주를 형성하고 있음을 보여준다.null

아벨 집단 동형성

G와 H가 아벨 그룹(즉, 역행)이라면, G에서 H까지 모든 그룹 동형성의 집합 Hom(G, H)은 그 자체로 아벨 그룹이다: 두 동형성의 합 h + k는 다음과 같이 정의된다.

(h + k)(u) = G의 모든 u에 대해 h(u) + k(u)

h+k가 다시 집단동형주의임을 증명하기 위해서는 H의 동시성이 필요하다.null

동형성의 추가는 다음과 같은 의미에서 동형성의 구성과 양립할 수 있다:f가 Hom(K, G), h, k가 Hom(G, H), g가 Hom(H, L)에 있으면 h, g는 Hom(H, L)에 있다.

(h + k) ∘ f = (h ∘ f) + (k ∘ f) + g ∘ (h + k) = (g ∘ h) + (g ∘ k)

구성이 연관성이 있기 때문에, 이것은 아벨리아 집단의 모든 내형성들의 집합된 End(G)가 G의 내형성 고리인 링을 형성한다는 것을 보여준다.예를 들어 Z/nZ의 m복사본의 직접합으로 구성된 아벨 그룹의 내형성 링은 Z/nZ에 입력된 m-by-m 행렬의 링과 이형성이 있다.위의 양립가능성은 또한 집단 동형성을 가진 모든 아벨리아 집단의 범주가 첨가 전 범주를 형성한다는 것을 보여준다; 직접 합과 잘 행동된 커널의 존재는 이 범주를 아벨리아 범주의 원형적인 예로 만든다.null

참고 항목

참조

• Dummit, D. S.; Foote, R. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). Wiley. pp. 71–72. ISBN 978-0-471-43334-7.
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001

외부 링크

• Rowland, Todd & Weisstein, Eric W. "Group Homomorphism". MathWorld.