세이퍼트 섬유 공간

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 제거하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2021년 8월) (이 템플릿 메시지 제거 방법 및 시기 학습)

세이퍼트 섬유 공간은 원의 분리 결합으로서 분해와 함께 3-매너폴드다.즉, ${\displaystyle {2차원\mathrm{}}^{}}$ 오비폴드 위에 $S{\displaystyle {}^{}}$ 1 ${\$} -번들$$(원형 묶음)이다.많은 3-매니폴드는 세이퍼트 섬유 공간이며, 기하학적 추측의 8 Thurston 기하학적 기하학적 기하학 중 6개에서 모든 콤팩트 지향 다지관을 차지한다.

정의

세이퍼트 다지관은 3-매너폴드와 함께 닫힌 3-매너폴드로 원(섬유라고 함)의 분리 결합으로 분해되어 각 섬유에는 표준 섬유질 토러스(torus)를 형성하는 관 모양의 이웃이 있다.

보다낮은{\$displaystyle$ a$>0}$을(를) 가진 한 쌍의 복사기 정수$){\displaystyle(a,b)}$에 해당하는 표준 섬유형 토러스(원별 자연 섬유화 포함)는 ${\displaystyle 2}$㎛ $/{\displaystystyle 2\pi$ b$/a}$의 각도로 회전하여 주어진 디스크의 자동성 표면 묶음이다.$a{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a=1}$이면 중간$$ 섬유를 보통이라고 하고 > ${\displaystyle a>1}$이면 중간 섬유를 예외라고 한다.컴팩트한 세이퍼트 섬유 공간은 한정된 수의 예외적인 섬유만을 가지고 있다.

섬유 세트는 2차원 궤도선(board)을 형성하며, B로 표시되며, 진동의 기저부(궤도면이라고도 함)라고 불린다.2차원 표면 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을(를) 가지고 있지만, 예외적인 섬유에 해당하는 일부 특별한 궤도형 포인트가 있을 수 있다.

세이퍼트 진동의 정의는 여러 가지 방법으로 일반화될 수 있다.세이퍼트 다지관은 종종 경계를 갖는 것이 허용된다(또한 원에 의해 섬유화되므로 토리의 결합이기도 하다).방향성이 없는 다지관을 연구할 때 때로는 섬유가 디스크의 반사 표면 묶음(회전보다는)처럼 보이는 이웃을 갖게 하여 어떤 섬유는 섬유질이 섬유화된 클라인 병처럼 보이는 이웃을 갖게 하는 것이 유용하며, 이 경우 예외적인 곡선의 1-모수 집단이 있을 수 있다.이 두 경우 모두 진동의 베이스 B는 보통 비어 있지 않은 경계를 가지고 있다.

분류

허버트 세이퍼트는 닫힌 모든 세이퍼트 섬유질을 다음의 불변성 물질로 분류했다.세이퍼트 다지관은 기호로 표시된다.

${\displaystyle \{b,(\varepsilon ,g);(a_{1},b_{1}),\display,(a_{r},b_{r}}\,},}$

where: ${\displaystyle \varepsilon }$ is one of the 6 symbols: ${\displaystyle o_{1},o_{2},n_{1},n_{2},n_{3},n_{4}\,}$, (or Oo, No, NnI, On, NnII, NnIII in Seifert's original notation) meaning:

• ${\displaystyle o_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 만약 B가 방향을 잡을 수 있고 M이 방향을 잡을 수 있다면$$.
• ${\displaystyle o_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}: B가 방향을 잡을 수 있고 M이 방향을 잡을 수 없는 경우$$
• ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle B}$가 방향을 잡을 수 없고 M이 방향을 잡을 수 없는 경우$$ $and{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( B$){\displaystyle \pi _{1}(B)}$의 모든 생성기는 섬유 방향을 유지한다$$.
• ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} ${\displaystyle B}$가 방향을 잡을 수 없고 M이 방향을 잡을 수 있는 경우$$, 따라서 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( B$){\displaystyle \pi _{1}(B)}$의 모든 생성기가 섬유 역방향으로$$ 향한다.
• ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$${3}$B가 방향을 잡을 수 없고 M이 방향을 잡을 수 없는 경우$$ ${\displaystyle \mathrm{g}}$ $≥$ 2 ${\displaystyle g\geq$ 2$}$와$π$ $B$의 발전기 1개가 섬유 방향을 유지한다$$.
• ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\$B가 방향을 잡을 수 없고 M이 방향을 잡을 수 없는 경우$$ ${\displaystyle \mathrm{g}}$ ${\displaystyle \ge }$ 3 ${\displaystyle g\geq 3}$과 정확히$$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ 1 $)[\displaystyle \pi _{1}(B)}$의 생성기가 섬유 방향을 유지한다$$.

여기

• g는 궤도 표면의 밑바탕에 깔린 2-10의 속이다.
• b는 정수로, M이 방향을 잡을 수 없는 경우 0 또는 1로 정규화되고, 또한 일부 ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 2인 경우 0으로 정규화된다.
• ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$( r${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle b_{}}$ r${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (a_{1},b_{1}),\ldots ,(a_{r},b_{r}}})$는 각 r 예외적인 궤도의 유형을 결정하는 숫자의 쌍이다.M이 방향을 지정할 수 있는 에는 0< < > ${\$ 방향성을 지정할 수 없는 에는 0< b i / ${\displaystyle 0<b_{i}}\leq$ a_${i}/2}$가 되도록 정규화된다.

기호의 Seifert 진동

${\displaystyle \{b,(\epsilon ,g);(a_{1},b_{1}),\ldots ,(a_{r},b_{r}}}\}}}}$

기호의 그것으로부터 구성될 수 있다.

${\displaystyle \{0,(\epsilon ,g);\}}$

b형 및 $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {i형}_{}}$ /${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ ${\$의 섬유를 추가하는 수술을 사용함으로써$.$

표준화 조건을 삭제하면 다음과 같이 기호를 변경할 수 있다.

• ${\displaystyle i_{}}$ ${\$와 $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 기호를 모두 변경해도 효과가$$ 없다.
• Adding 1 to b and subtracting ${\displaystyle a_{i}}$ from ${\displaystyle b_{i}}$ has no effect. (In other words, we can add integers to each of the rational numbers ${\displaystyle (b,b_{1}/a_{1},\ldots ,b_{r}/a_{r}}$ provided that their sum remains constant.)
• 다지관의 방향을 지정할 수 없는 $경우{\displaystyle {}_{}}$ b ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 기호를 변경해도 아무런$$ 효과가 없다.
• 유형(1,0)의 섬유질을 추가해도 효과가 없다.이러한 작업 하에서 모든 기호는 고유한 정규화된 기호와 동일하다.비정규화된 기호로 작업할 때, 타입${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$,$){\displaystyle (1,b)}$ 의 섬유 를 추가하여 정수 b를 0으로 설정할 수 있다$.$

두 개의 닫힌 세이퍼트 지향 또는 비방향성 섬유는 동일한 정규화된 기호를 갖는 경우에만 방향성 또는 방향성이 없는 섬유와 같은 이형성이다.단, 두 개의 세이퍼트 다지관이 서로 다른 정규화된 기호를 가지고 있어도 동형체일 수 있는 경우가 있는데, 이는 몇 개의 다지관(렌즈 공간 등)이 하나 이상의 세이퍼트 진동을 가질 수 있기 때문이다.또한 방향 변경에 따른 방향 진동은 모든 bs의 기호가 변경된 Saifert 진동이 되며, 정상화된 후에는 기호가 주어진다.

${\displaystyle \-b-r,(\epsilon ,g);(a_{1},a_{1}-b_{1}),\ldots ,(a_{r},a_{r}-{r}-b_}\}}}}}}}}$

그리고 이것은 방향성이 없는 다지관으로서 동형상이다.

합 $b{\displaystyle }$ +${\displaystyle \sum }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$/ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 방향성 섬유에 대한 불변성으로, B의 유한 표지를 취한 후 진동이 경미한 상태가 되는 경우에만 0이다.

Orbifold B의 Oiler 특성 $\chi {\displaystyle }$ ${\displaystyle (B}$) ${\displaystyle \chi (B)}$은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \chi }$(${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) -${\displaystyle \sum }$( ${\displaystyle 1_{}}$- ${\displaystyle 1{}_{}}$/ i${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \chi (B)=\chi (B_{0})-\sum(1-1/a_{i$

여기서 $\chi {\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle \chi (B_{0})$는 오비폴드 B의 기초$$ 위상학적 표면 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 일반적인 오일러 특성이다$$.M의 거동은 크게 B의 오비폴드 오일러 특성의 기호에 달려 있다.

기본군

M의 기본 그룹은 정확한 순서에 적합하다.

${\displaystyle \pi _{1}(S^{1}})\오른쪽 화살표 \pi \{1}(M)\오른쪽 화살표 \pi _{1}(B)\오른쪽 화살표 1}$

여기서 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle B}$) ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$은(는) B의 오비폴드 기본 그룹(기본 위상학 다지관의 기본 그룹과 동일하지 않음)이다$$.그룹 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})$의 이미지는 주기적이고$$ 정상적이며, 일반 섬유로 대표되는 요소 h에 의해 생성되지만, π₁(S¹)에서 π₁(M)까지의 지도가 항상 주입적인 것은 아니다.

M의 기본 집단은 발전기 및 관계별로 다음과 같은 프레젠테이션을 한다.

B 방향 지정 가능:

${\displaystyle \langle u_{1}, v_{1},...u_{g},v_{g},q_{1},...q_{r},h u_{i}h=h^{}u_{i},v_{i}h^{\epsilon{{v_}{i},q_{i}h_{j}^{j}^{j_}^{j_}}}}}{j}^{b_}}}}=1,q_{1}...q_{r}[u_{1},v_{1}]...[u_{g},v_{g}]=h^{b}\rangele }$

여기서 ε은 o형의₁ 경우 1이고 o형의₂ 경우 -1이다.

B 방향 불포함:

${\displaystyle \langle v_{1},..., v_{g},q_{1},...q_{r},h v_{i}h=h^{\epsilon _{i}v_{i}},q_{i}h_{i}^{j}^{a_{j}}}{j}h^{b_{j}}}}=1,q_{1}...q_{r}v_{1}^{2}...v_{g}^{2}=h^{b}\rangele }$

여기서 ε은_i 해당 발전기 v가_i 광섬유의 방향을 유지 또는 반전시키는지에 따라 1 또는 -1이다.(그래서 ε은_i 타입 n의₁ 경우 모두 1이고, 타입 n의₂ 경우 모두 -1이며, 첫 번째 것은 타입 n의₃ 경우 1이고, 처음 두 개만 타입 N의₄ 경우 1이다.)

양의 궤도형 오일러 특성

양의 오비폴드 오일러 특성을 가진 세이퍼트 섬유에 대한 정규화된 기호는 아래 목록에 제시되어 있다.이러한 세이퍼트 다지관은 종종 많은 다른 세이퍼트 섬유질을 가지고 있다.그들은 기본 그룹이 유한하면 구형 Thurston 기하학, 그리고 기본 그룹이 무한하면² S×R Thurston 기하학을 가지고 있다.동등하게, 다지관이 방향성이 없거나 b + bb/_ia_i= 0이면 기하학이 S²×R이고, 그렇지 않으면 구형 기하학이 된다.

{b; (o₁, 0);} (b 적분)은 b=0의 경우 S²×S이고¹, 그렇지 않으면 렌즈 공간 L(b,1)이다.특히 {1; (o₁, 0);} =L(1,1)은 3-sphere이다.

{b; (o₁, 0);(a₁, b₁)}(b 적분)은 렌즈 공간 L(ba₁+b₁,a₁)이다.

{b₁₂; (o₁, 0);(a₁, b₁), (a₂, b)}(b 적분₂)은 baa+ab₁₂+ab₂₁+ab = 0이면 S×S이고, 그렇지² 않으면 렌즈¹ 공간 L(ba₁₂+ab₁₂+ab₂₁, ma₂+nb₂)은 ma₁ - n(ba₁ +b₁) = 1이다.

{b; (o₁, 0);(2, 1), (2, 1), (a₃₃, b)}(b 적분)이것은 순서 4a₃ (b+1)a₃+b의₃ 기본 그룹과 순서 4 (b+1)a₃+b의₃ 첫 번째 호몰로지 그룹을 가진 프리즘 다지관이다.

{b; (o₁, 0), (2, 1), (3, b₂₃), (3, b)}(b 적분)기본 집단은 순환 집단에 의한 순서 12의 사면 집단의 중심 확장이다.

{b; (o₁, 0);(2, 1), (3, b₂), (4₃, b)}(b 적분)기본 그룹은 순서 12b+6+4b₂+3b의₃ 순환 그룹과 순서 24의 팔면 그룹 중 순서 48의 이중 커버의 산물이다.

{b; (o₁, 0), (2, 1), (3, b₂₃), (5, b)}(b 적분)기본 집단은 m=30b+15+10b₂+6b의₃ 주기적 집단의 산물이며, 이도사면 집단의 완벽한 이중 덮개 120개의 주문이다.다지관은 순서 m의 주기적 그룹에 의한 푸앵카레 호몰로지 영역의 인용구다.특히 {-1; (o₁, 0);(2, 1) 3, 1, (5, 1)}은 푸앵카레 구이다.

{b; (n₁, 1);} (b는 0 또는 1)이것들은² S×R 기하학을 가진 방향성이 없는 3-매니폴드들이다.만약 b가 원과 곱한 투영 평면에 대해 동형이고, 그렇지 않으면 2-sphere의 방향 역방향 자동형성에 관련된 표면 다발에 동형이다.

{b; (n₁, 1);(a₁, b₁)}(b는 0 또는 1)이것들은² S×R 기하학을 가진 방향성이 없는 3-매니폴드들이다.ba₁+b가₁ 원과 곱한 투영 평면에 대해 동형이고, 그렇지 않으면 2-sphere의 방향 반전 자동형과 연관된 표면 다발에 동형이다.

{b; (n₂, 1);}(b 적분)이것은 순서 4 b의 기본 그룹과 순서 4의 첫 번째 호몰로지 그룹을 가진 프리즘 다지관인데, 실제 투사 공간의 2 합일 때는 b=0이고, 순서 4의 기본 그룹이 있는 렌즈 공간일 때는 b=1을 제외한다.

{b; (n₂, 1);(a₁₁, b)}(b 적분)이것은 순서 4a₁ ba₁ + b의₁ 기본 그룹과 순서 4a의₁ 첫 번째 호몰로지 그룹을 가진 (유일한) 프리즘 다지관이다.

제로 오비폴드 오일러 특성

오비폴드 오일러 특성이 0인 세이퍼트 섬유 정규화 기호는 아래 목록에 제시되어 있다.다지관은 방향성이 없거나 b + σb/_ia_i= 0일 경우 유클리드 Thurston 지오메트리가 있으며, 다른 경우에는 nil 지오메트리가 있다.동등하게, 다지관의 기본 집단이 유한 지수의 아벨 그룹인 경우에만 유클리드 기하학을 가진다.유클리드 다지관은 10개가 있지만 이 중 4개는 두 개의 서로 다른 세이퍼트 섬유질을 갖고 있다.미량 2, 1, 0, -1 또는 -2의 2-토러스 자동화와 관련된 모든 표면 번들은 오비폴드 오일러 특성이 0인 세이퍼트 섬유(다른 (아노소프) 자동화를 위한 것은 세이퍼트 섬유 공간이 아니라 솔 지오메트리를 가지고 있다.영일 기하학을 가진 다지관은 모두 독특한 세이퍼트 진동(Seifert fibration)을 가지고 있으며, 그 기본 집단이 특징적이다.총 공간은 모두 순환한다.

{b; (o₁, 0); (3, b₁), (3, b₂), (3, b), (b)} (b 적분₃, b는_i 1 또는 2) b + orb/_ia_i= 0의 경우 원 위에 있는 방향 유클리드 2-토러스 번들로, 2-토우스의 주문 3(추적 -1) 회전과 관련된 표면 번들이다.

{b; (o₁, 0); (2,1), (4, b₂), (4, b)}(b 적분₃, b는_i 1 또는 3) b + orb/_ia_i= 0의 경우 원 위에 있는 방향 유클리드 2토러스 번들로, 2토우스의 주문 4 (추적 0) 회전과 관련된 표면 번들이다.

{b; (o₁, 0); (2, 1); (3, b₂), (6₃, b)}(b 적분, b는₂ 1, 2, b는₃ 1 또는 5) b의 경우, b + _i=b_i/a= 0의 경우 원 위에 있는 방향 유클리드 2토러스 묶음이며, 2토러스 순번(추 1) 회전에 관련된 표면 묶음이다.

{b; (o₁, 0); (2, 1); (2, 1), (2, 1)}, (b 적분)이것들은 2-토러스 자동화를 위한 2-토러스 묶음이다.b=-2의 경우, 이것은 원 위의 방향 유클리드 2-토러스 번들(주문 2-토러스 회전과 관련된 표면 번들)이며 {0; (n₂, 2)에 대해 동형이다.

{b; (o₁, 1); }(b 적분)이것은 원 위의 방향 2-토러스 묶음이며, 2-토루스의 미량 2 자동형과 관련된 표면 묶음으로 주어진다.b=0의 경우, 이것은 유클리드이며, 3토러스(2토루스의 신원 지도와 관련된 표면 번들)이다.

{b; (o₂, 1); } (b는 0 또는 1) 원 위에 두 개의 방향성이 없는 유클리드 클라인 병 묶음이다.첫 번째 호몰로지로는 b=0일 경우 Z+Z+Z/2Z, b=1일 경우 Z+Z이다.첫 번째는 클라인 병 곱하기 S이고¹ 다른 것은 클라인 병의 딘 트위스트와 관련된 표면 묶음이다.그것들은 토러스 번들 {b; (n₁, 2);}에 대해 동형이다.

{0; (n₁, 1); (2, 1) 방향성이 없는 유클리드 클라인 병 묶음 {1; (n₃, 2);}, 첫 번째 호몰로지 Z + Z/4Z.

{b; (n₁, 2); } (b는 0 또는 1) 고정된 점이 없는 2토루스의 방향 역순서와 관련된 비방향성 유클리드 표면 묶음이다.첫 번째 호몰로지로는 b=0일 경우 Z+Z+Z/2Z, b=1일 경우 Z+Z이다.클라인 병 묶음 {b; (o₂, 1);}과(와) 동형이다.

{b; (n₂, 1); (2, 1); (2, 1)} (b 적분) b=-1의 경우 이것은 지향적인 유클리드다.

{b; (n₂, 2); } (b 적분) b=0의 경우, 이것은 방향 유클리드 다지관이며, 2-토루의 순서 2 회전과 연관된 치클^{[check spelling]} 위로 2-토러스 번들 {-2; (o₁, 0; (2, 1); (2, 1); (2, 1); (2, 1) 1)의 동형이다.

{b; (n₃, 2); } (b는 0 또는 1) 다른 두 개의 방향성이 없는 유클리드 클라인 병 묶음.b = 1이 있는 것은 {0; (n₁, 1); (2, 1); (2, 1)}에 대한 동형이다.첫 번째 호몰로지로는 b=0일 경우 Z+Z/2Z/2Z, b=1일 경우 Z+Z/4Z이다.이 두 클라인 병 묶음은 y-홈모피즘과 관련된 표면 묶음이며 이것과 트위스트의 산물이다.

음의 궤도형 오일러 특성

이것이 일반적인 경우다.그러한 모든 세이퍼트 섬유는 그들의 근본적인 집단에 의해 이형성까지 결정된다.총 공간은 비구체적이다(즉, 모든 상위 호모토피 집단은 사라진다).그들은 일부 유한 커버가 제품으로서 분할되지 않는 한, SL₂(R)의 범용 커버 형식의 Thurston 기하학적 형상을 가지고 있으며, 이 경우 그들은 H₂×R 유형의 Thurston 기하학적 형상을 가지고 있다.다지관이 방향성이 없거나 b + σb/_ia_i= 0일 경우 이런 현상이 발생한다.

참조

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• 프랭크 레이먼드(Frank Raymond, Classification of the circulations on 3 manifolds, Transactions of the American Mathemical Society, (1968) 51–87.
• William H. Jaco, 3-manifold topology ISBN 0-8218-1693-4에 대한 강의
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