초라파렐 정리

쌍곡 기하학에서 두 선은 교차하거나, 초경사선이거나, 평행으로 제한될 수 있다.

초경직 정리는 (간결한) 초경직선의 모든 쌍이 고유한 공통 직각(두 선에 모두 수직인 쌍곡선)을 가지고 있다고 명시하고 있다.

힐베르트의 건축

r과 s를 두 개의 초경사선이 되게 하라.

의 A와 C 지점 두 개에서 R의 B와 B'로 수직인 AB와 CB를 그린다.

만약 AB = CB'가 발생하면, 원하는 공통 수직선은 AC와 BB의 중간점(Saccheri 4각형 ACB'B의 대칭에 의해)과 결합한다.

그렇지 않다면 우리는 일반성을 잃지 않고 AB < CB>를 가정할 수도 있다. E를 C에서 A의 반대편에 있는 선 s의 점이 되게 하라. A'B' = AB'가 되도록 CB에 A'를 취한다. A'를 통해 E에 더 가까운 쪽에 선 s' (A'E')를 그려 각도 BAE와 동일하도록 한다. 그러면 s'는 보통 점 D'에서 s를 만난다. AD = A'D'가 되도록 레이 AE에 점 D를 생성한다.

그럼 D' ≠ D. 그들은 r로부터 같은 거리이고 둘 다 s에 놓여있다. 따라서 D'D의 수직 이등분자(s의 한 부분)도 r에 수직이다.^[1]

(r과 s가 초경사선보다 점증적으로 평행하다면, s'가 s를 충족하지 못하기 때문에 이 공사는 실패할 것이다. 차라리 s'는 s와 r. 둘 다에 점증적으로 평행할 것이다.)

Poincaré 하프 평면 모델의 증거

내버려두다

$a를 표시하다.$

카르테시안 비행기의 근사점에서 4개의 뚜렷한 점이다. ${\displaystyle p}$ ${\$$displaystyle p}$과 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$을(를$$) 각각 b {\$displaystyle ab}$과 ${\displaystyle c}$ d ${\displaystyle cd}$의 직경을 가진 압시사 위 반원형으로 한다$$. 그런 다음 Poincaré 하프 평면 모델 $HP$에서 p ${\displaystyle p}$ 및 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$은 초경사선을 나타낸다$$.

다음 두 쌍곡선 운동을 구성하십시오.

$x-a} 표시 스타일 x\to x-a}$

$장치 세미스크린에 있는 {\displaystyle {\mbox{inversion.}}}$

$그러면$ $a{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \infty ,}$ ${\displaystyle b}$→ ${\displaystyle (b}$- ${\displaystyle a{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$,${\displaystyle {}^{}c}$→${\displaystyle }$( c${\displaystyle }$- a${\displaystyle {}^{}}$) - 1, ${\displaystyle 1{}^{}}$ d${\displaystyle }$→${\displaystyle }$( ${\displaystyle d}$- ${\displaystyle a{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$. ${\to \potto$,\$quad b\to (b-a)^{-1},\quad c\to (c-a)^{-1},\quad\to (d-a)^{-1}.$$}$

이제 다음 두 가지 쌍곡선 동작을 계속하십시오.

${\displaystyle x\to x-(b-a)^{-1}$

${\displaystyle x\to \left[(c-a)^{-1-(b-a)^{-1}\오른쪽]^{-1}x}$

$그런{\displaystyle }$ 다음, ${\displaystyle a}$이(가) $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \$$inflt$$$$\},$${\displaystyle }b{\displaystyle }$ → ${\displaystyle 0}$→${\displaystyle }c{\displaystyle }$ → ${\displaystyle 1}${\$displaystyle$ c$\to 1$${\displaystyle d}$ → z$${\$displaystyd\to$ z$}($예$$: $원점$에 ${\displaystyle \mathrm{중심}}$을$$두고 1 z {\displaystyle $1z}$의 반경에 수직인 고유한 반경은 다른 반경에 접하는 반경을 가져야 한다$$. 압시사와 수직 반지름에 의해 형성된 오른쪽 삼각형은 길이 ${\displaystyle \begin{array}{c}\frac{1}{}\end{array}}$ ${\displaystyle 2\begin{array}{c}\end{array}}$( ${\displaystyle \mathrm{z}}$+ 1 $){\displaystyle {\begin{matrix}{\frac$ {$1}{1}:{$2}}\$end{matrix}}(z+1$)의 저선사용이 있다$.$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}\frac{2}{}\end{array}}$( ${\displaystyle \mathrm{z}}$- 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle${\$begin{matrix}{\frac${1$}{1}:{2}}:\end{matrix}}(z-1$)은$$1 z {\displaystyle $1z}$에 대한 세미커클의 반지름이기 때문에$$ 찾는 공통 수직은 반지름-제곱을 가진다$.$

${\displaystyle {\frac {1}{4}\왼쪽[(z+1)^{2}-(z-1)^{2}\오른쪽]=z.}$

위의$$ $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$을(를) 생성했던 네 개의 쌍곡선 모션을 각각 반전시켜 원점 및 $반지름{\displaystyle \sqrt{}}$ z$${\$displaystyle {\sqrt{z}}$의 반원 순서로 적용하여$$ 초경량선 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyp}$과 $q{\displaystyle }$ ${\displaystystyles$}에$$ 수직인 고유한 쌍곡선을 산출할 수 있다.$q}$.

Beltrami-Klein 모델의 증거

쌍곡 기하학의 Beltrami-Klein 모델에서:

• 두 개의 초경사선(초경사선)은 두 개의 비응축 화음에 해당한다.
• 이 두 선의 극은 화음의 끝점에서 경계 원에 대한 접선 선의 각 교차점이다.
• 선 l에 수직인 선은 확장자가 l의 극을 통과하는 화음으로 모델링된다.
• 따라서 우리는 주어진 두 선의 극 사이에 독특한 선을 그리고 경계 원과 교차한다; 교차점의 화음은 원하는 초경사선의 공통 수직선이 될 것이다.

만약 화음 중 하나가 직경이라면, 우리는 극을 가지고 있지 않지만, 이 경우 직경에 수직인 화음은 벨트라미-클레인 모델에서도 수직이기 때문에, 공통의 직각을 얻기 위해 직경을 교차하는 다른 선의 극을 통해 선을 그린다.

증명서는 이 구조가 항상 가능하다는 것을 보여줌으로써 완성된다.

• 두 화음이 모두 직경일 경우 교차한다. (경계 원의 중심)
• 만약 하나의 화음만이 직경이라면, 다른 화음은 그 내부에 포함된 첫 번째 화음의 한 부분까지 직교적으로 투영되며, 직경에 직교하는 극에서 직교하는 선은 직경과 화음을 모두 교차한다.
• 두 선이 모두 직경이 아닌 경우 각 극에서 끌어온 접선을 확장하여 그 안에 단위 원이 새겨진 사각형을 만들 수 있다.^[how?] 극은 이 사각형의 정점이고, 화음은 정점의 인접한 면 사이에 그려진 선이며, 반대쪽 모서리에 걸쳐 있다. 4각형은 볼록하므로 극 사이의 선은 모서리를 가로질러 그려진 두 개의 화음과 교차하며, 화음 사이의 선 부분은 다른 두 개의 화음에 수직으로 필요한 화음을 정의한다.^[why?]

또는, 우리는 다음과 같이 초경직선의 공통 수직선을 구성할 수 있다: Beltrami-Klein 모델의 초경직선은 두 개의 비절연 화음이다. 하지만 그들은 실제로 원 밖에서 교차한다. 교차점의 극성은 원하는 공통 수직이다.^[2]

참조

• Karol Borsuk & Wanda Szmiew(1960) 기하학의 기초, 291페이지.