담금화

수학에서, 선형 semisimple Lie 그룹의 강화 표현은 매트릭스 계수가^p L 공간에 있는 기초를 가진 표현이다.

L^2+ε(G)

어떤 > > 0에 대해서도.

공식화

이 조건은, 방금 주어진 바와 같이, 행렬 계수가 정사각형 통합이 가능한 조건보다 약간 약하다, 다시 말하면, 다음과 같다.

L²(G),

즉, 이산형 영상 시리즈 표현에 대한 정의일 수 있다.G가 최대 콤팩트 부분군 K를 갖는 선형 반실행 Lie 그룹인 경우, 위의 조건이 ρ의 K-피니트 행렬 계수에 대해 유지된다면 G의 허용 가능한 표현 ρ은 담금질된다.

위의 정의는 또한 p-adic Lie 그룹과 semisimple real 대수 그룹의 유한한 중앙 확장 같은 더 일반적인 그룹에도 사용된다."성격표현"의 정의는 임의의 비정형 로컬 컴팩트 그룹에는 이치에 맞지만, semisimple Lie 그룹의 무한 중심 확장 같은 무한중심이 있는 그룹에서는 잘 동작하지 않고 대개 약간 다른 정의로 대체된다.더 정확히 말하면, 중심 Z로 제한했을 때 단일성일 경우 수정성 표현을 담금질이라고 하며, 행렬 계수의 절대값이^2+ε L(G/Z)에 있다.

반실행형 Lie 집단에 대한 강화 표현은 Harish-Chandra에 의해 처음 정의되고 연구되었다(다르지만 동등한 정의를 사용). Harish-Chandra는 그들이 정확히 Planchrel 정리에 필요한 표현이라는 것을 보여주었다.그들은 Knapp와 Zuckerman에 의해 분류되었고, Langlands 분류에서 Langlands가 축소된 Lie 그룹 G의 축소 불가능한 표현에 대해 사용하였다.

역사

하리쉬-찬드라는 반실현 Lie 집단에 대한 조화 분석에 관한 연구에서 Planchrel 측정에 기여하는 표현으로 식별했다.특정 기술적 이점을 갖는 강화 표현에 대한 원래 정의는 그 하리쉬-찬드라 캐릭터가 "성질 분배"여야 한다는 것이다(아래 섹션 참조).하리쉬-찬드라의 결과에서 보다 기초적인 정의에 해당한다는 결과가 나온 것이다.담금질 표현도 자동형식 이론에 근본적인 역할을 하는 것 같다.이러한 연결은 아마도 사타케(라마누잔-피터슨 추측의 맥락에서)와 로버트 랭랜즈에 의해 처음 실현되었을 것이며, 랭랜즈가 더 작은 강화 표현에 있어서 실제 및 p-addiculative 대수집단의 무적합한 표현에 대한 그의 분류 체계를 발전시키는 동기가 되었을 것이다.그룹. 자동형 스펙트럼에서 강화형 표현 위치를 식별하는 정확한 추측들은 나중에 제임스 아더에 의해 공식화되었으며, 현대 자동형식 이론에서 가장 활발하게 발전하는 부분 중 하나이다.

조화해석

강화 표현은 반실현 Lie 그룹에 대한 조화 분석에 중요한 역할을 한다.반실행형 Lie 그룹 G에 대한 불가해한 단일적 표현은 G의 Planchrel 측정치를 지지하는 경우에만 강화된다.즉, 강화 표현은 정확하게 그룹의 L² 함수의 스펙트럼 분해에 나타나는 G의 표현 등급이다(반면 이산 직렬 표현은 개별 표현에 양의 스펙트럼 측정치가 있다는 특성이 더 강하다).이는 스펙트럼 분해를 완전히 설명하기 위해 다른 종류의 표현이 필요한 아벨리안 및 보다 일반적인 해결 가능한 Lie 그룹의 상황과 대조된다.이는 이미 실수의 첨가 그룹 R의 가장 단순한 예에서 볼 수 있는데, 이 예에서는 수정 불가능한 표현들의 행렬 요소가 무한에서 0으로 떨어지지 않는다.

랭글랜즈 프로그램에서, 진짜 리 그룹의 강화 표현은 랭글랜즈 농담에 의한 토리의 단일 캐릭터에서 나온 것이다.

예

• 반실행된 리 그룹에 대한 플랑쉐럴 정리는 이산형 시리즈가 아닌 표현을 포함한다.이는 그룹 SL₂(R)의 경우 이미 명확해진다.SL₂(R)의 주요 직렬 표현은 강화되며 그룹의 쌍곡선 요소에서 지원되는 기능의 스펙트럼 분해를 설명한다.단, 그것들은 SL₂(R)의 정규 표현에서 이산적으로 발생하지 않는다.
• SL₂(R)의 이산 직렬 표현에 대한 두 가지 한계는 강화되지만 이산 직렬 표현은 아니다(비확정 단일적 표현 목록에서 "구체적으로" 발생함).
• 진짜로 번호 및 푸우리에 적분의 가군 R의 예에서 보여지듯이non-semisimple 리 그룹에 대해서는 L2+ε에 매트릭스 계수가 표현이 항상 Plancherel 정리에,;사실상, R의 모든 더 이상 줄일 수 없는 단일 표시는 Plancherel 조치 있으나 이들은 아무도 매트릭스 coefficie이 기여하면 충분하지 않는다.ntsL에^2+ε
• SL₂(R)의 보완적 직렬 표현은 강화되지 않은 수정 불가능한 단일 표현이다.
• 그룹 G의 사소한 표현은 G가 압축되지 않는 한 강화되지 않는 수정 불가능한 단일 표현이다.

분류

반실현 Lie 그룹의 수정 불가능한 담금질 표현은 Knapp와 Zuckerman(1976, 1982년)에 의해 분류되었다.사실 그들은 기본적인 표현이라고 불리는 더 일반적인 종류의 표현들을 분류했다.P=MAN이 포물선 부분군의 랭글랜드 분해인 경우, 기본 표현은 M의 이산 직렬 표현 한계와 연관된 파라볼릭 유도 표현과 아벨리아 그룹 A의 단일 표현으로 정의된다.이산 직렬 표현 한계치가 사실 이산 직렬 표현이라면, 기본 표현을 유도 이산 직렬 표현이라고 한다.모든 수정 불가능한 강화 표현은 기본 표현이고, 반대로 모든 기본 표현은 제한적인 수정 불가능한 강화 표현 수의 합이다.보다 정확히 말하면, 순서 2^r(R-그룹이라고 함)의 초등 아벨리아 그룹 R(R-그룹이라 함)의 문자에 의해 지수화된^r 2개의 수정 불가능한 강화 표현들의 직접적인 합계다.모든 기본 표현, 그리고 결과적으로 수정 불가능한 강화 표현은 유도 이산형 시리즈 표현에 대한 합이다.그러나 수정 불가능한 강화표현을 유도 이산형 시리즈표현으로 나타내는 것이 항상 가능한 것은 아니며, 이것이 사람들이 더 일반적인 계층의 기초표현을 고려하는 이유다.

그래서 수정 불가능한 담금질 표현은 수정 불가능한 기본 표현일 뿐이며, 모든 기본 표현을 나열하고 다시 말해서 수정 불가능한 것, 즉 사소한 R-그룹을 가진 것을 골라 분류할 수 있다.

강화분포

최대 콤팩트 부분군 K로 반이행 Lie 그룹 G를 수정한다.Harish-Chandra(1966, 섹션 9)는 G의 슈워츠 공간에 정의된 경우, G에 대한 분포를 강화한다고 정의했다.슈워츠 공간은 G의 리 대수인 G의 보편적 포락 대수적 요소에 의해 왼쪽이나 오른쪽에서 작용하여 f로부터 얻은 실제 r과 함수 g의 경우 함수 f의 부드러운 함수 공간으로 정의된다.

${\displaystyle(1+\sigma )^{r}g/\Xi }$

경계가 있다여기서 ξ은 K에 의해 좌우 곱셈 아래에 불변하는 G의 어떤 구면함수로서, σ은 p의 로그의 규범으로서 G의 원소 g는 K에 대해 : g=kp, P에 P로 표기한다.

참조

• 코울링, M, 해거업, U, 하우, R.거의 L 행렬² 계수 J. 레이네 안젤루.수학. 387 (1988), 97–110
• Harish-Chandra (1966), "Discrete series for semisimple Lie groups. II. Explicit determination of the characters", Acta Mathematica, 116 (1): 1–111, doi:10.1007/BF02392813, ISSN 0001-5962, MR 0219666, S2CID 125806386
• Knapp, Anthony W.; Zuckerman, Gregg (1976), "Classification of irreducible tempered representations of semi-simple Lie groups", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 73 (7): 2178–2180, Bibcode:1976PNAS...73.2178K, doi:10.1073/pnas.73.7.2178, ISSN 0027-8424, JSTOR 65732, MR 0460545, PMC 430485, PMID 16592331
• Knapp, Anthony W.; Zuckerman, Gregg J. (1982), "Classification of irreducible tempered representations of semisimple groups. Pat I", Annals of Mathematics, Second Series, 116 (2): 389–455, doi:10.2307/2007066, ISSN 0003-486X, JSTOR 2007066, MR 0672840 Knapp, Anthony W.; Zuckerman, Gregg J. (1982), "Classification of irreducible tempered representations of semisimple groups. Part II", Annals of Mathematics, Second Series, 116 (3): 457–501, doi:10.2307/2007019, ISSN 0003-486X, JSTOR 2007019, MR 0672840 Knapp, Anthony W.; Zuckerman, Gregg J. (1984), "Correction", Annals of Mathematics, Second Series, 119 (3): 639, doi:10.2307/2007089, ISSN 0003-486X, JSTOR 2007089, MR 0744867
• Knapp, Semisimple 그룹의 표현 이론: 예에 기반한 개요.ISBN 0-691-09089-0
• 왈라크, 놀런.진짜 환원 그룹. I. 순수 및 응용 수학, 132.1988년 보스턴, 보스턴, 아카데미 프레스xx+412 페이지.ISBN 0-12-732960-9