Hilbert 공간의 컴팩트 연산자

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기능 분석에서 힐버트 공간의 콤팩트 연산자의 개념은 유한차원 벡터 공간에 작용하는 매트릭스 개념의 확장이다. 힐버트 공간에서 콤팩트 연산자는 연산자 규범이 유도하는 위상에서 정확하게 유한 순위 연산자(유한 차원 행렬로 표현 가능)의 폐쇄다.이와 같이, 매트릭스 이론의 결과는 때때로 유사한 주장을 사용하는 소형 연산자로 확장될 수 있다.이와는 대조적으로, 무한 차원 공간에 대한 일반 운영자들의 연구는 종종 진정으로 다른 접근법을 필요로 한다.

예를 들어 바나흐 공간에 대한 콤팩트 연산자의 스펙트럼 이론은 요르단 표준 행렬 형태와 매우 유사한 형태를 취한다.힐버트 공간의 맥락에서 정사각형 행렬은 그것이 정상인 경우에만 단위 대각선으로 대각선이 가능하다.해당 결과는 힐버트 공간의 일반 컴팩트 연산자에 대한 것이다.더 일반적으로, 소형성 가정은 삭제될 수 있다.위에 기술한 바와 같이 스펙트럼 정리와 같은 증명에 사용되는 기법은 스펙트럼에 대한 연산자 값 측정을 수반하는 기법이 다르다.

힐버트 공간의 콤팩트 연산자에 대한 일부 결과는 콤팩트 연산자의 하위 클래스를 고려하기 전에 일반 속성부터 논의될 것이다.

정의

Let ${\displaystyle H}$ be a Hilbert space and ${\displaystyle L(H)}$ be the set of bounded operators on ${\displaystyle H}$. Then, an operator ${\displaystyle T\in L(H)}$ is said to be a compact operator if the image of each bounded set under ${\displaystyle T}$ is relatively compact.

일부 일반 속성

우리는 이 절에 콤팩트 연산자의 몇 가지 일반적인 속성을 열거한다.

X와 Y가 힐버트 공간(사실 X Banach와 Y 규범이면 충분할 것이다), T : X → Y는 약한 위상(규범 위상)을 가진 X에서 Y까지의 지도로 볼 때 연속되는 경우에만 압축된다.(주 2007, 정리 1.14, 페이지 11)을 참조하고 이 참고문헌에서 균일한 경계선은 F ⊆ X가 만족하는 상황(∀φ hom Hom(X, K) sup{x***(φ) = ((x) : x} < ∞, 여기서 K는 기초적인 영역이다.표준 위상이 있는 Hom(X, K)이 Banach 공간이 될 것이므로 균일한 경계 원리가 적용되며, 지도 x*** : Hom(X,K) → K는 이 위상에 관한 연속적인 동형상이다.)

콤팩트 연산자 패밀리는 L(H)의 표준 닫힘, 양면 *이상이다.따라서 H가 무한 차원이라면 소형 연산자 T는 경계 역치를 가질 수 없다.ST = TS = I이면 ID 연산자는 콤팩트, 즉 모순이 된다.

강한 연산자 위상 및 T의 경계 연산자_n B → B → C_n → C의 시퀀스가 콤팩트하면 ${\displaystyle {}_{}}$ T ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$$TC_{n}^{*}}}$은(는) 표준으로$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ C $∗{\$에 수렴한다$$.^[1]예를 들어 표준 $기준$이 {e_n${\displaystyle \}}$인${\displaystyle Hilbert\mathbf{}}$공간 l 2 ( N ) , ${\displaystyle$ l$^{2}(\mathbf${N$}),}$을(를) 고려하십시오.P를_m {e₁ ...의 선형 스팬에 대한 직교 투영으로 두십시오.e_m}. 시퀀스_m {P}이(가) ID 연산자 I에 강하게 수렴되지만 균일하지는 않다.$T{\displaystyle }$ by T by T ${\displaystyle {en}_{}}$= ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}{}_{}}$. ${\displaystyle Te_{n}={\tfrac {1}{n^{2$}}$e_{n}.$$}}$ $T$는 콤팩트하며, 위에서 주장한 대로, 균일한 연산자 토폴로지에서 PT_m → IT = T: 모든 x에 대해,

${\displaystyle \좌측\P_{m}Tx-Tx\우측\\\leq \좌측({\frac {1}{m+1}\우측)^{2}\x\ .}$

각 P는_m 유한계급 연산자임을 주목한다.유사한 추론은 T가 소형이라면 T는 유한 순위 연산자의 일부 시퀀스의 균일한 한계임을 보여준다.

콤팩트한 연산자의 이상에 의한 규범폐쇄에 의해서, 그 반대의 경우도 참이다.

소형 연산자 L(H) modulo의 지수 C*-algebra는 소형 섭동까지의 연산자의 특성을 고려할 수 있는 칼킨 대수라고 불린다.

콤팩트 자체 승인 연산자

Hilbert 공간 H의 경계 연산자 T는 T = T*일 경우 자칭 또는 동등하게,

$\displaystyle \langle Tx,y\langle =\langle x,Ty\angle,\quad x,y\in H.}$

뒤이어 <Tx, x>는 모든 x ∈ H에 대해 실재하므로, 존재했을 때 T의 고유값은 실재한다.H의 닫힌 선형 아공간 L이 T에 따라 불변인 경우, T에서 L까지의 제한은 L에 대한 자칭 연산자이며, 나아가 L의 직교보완 L도^⊥ T에 따라 불변인 것이다.예를 들어, 공간 H는 T의 커널과 커널의 직교보완제(커널 T)^⊥의 두 T-invariant 닫힌 선형 서브스페이스의 직교직교직교직접합으로 분해될 수 있다.이러한 기본적인 사실들은 아래의 스펙트럼 정리의 입증에 중요한 역할을 한다.

에르미트어 n × n 행렬에 대한 분류 결과는 스펙트럼 정리다.M = M*이면 M은 단위 대각선이 가능하며, M의 대각화는 실제 입력값을 갖는다.Hilbert 공간 H에서 T를 콤팩트한 자기 적응 연산자가 되게 하라.우리는 T에 대해 동일한 진술을 증명할 것이다: 연산자 T는 각각 실제 고유값에 해당하는 고유 벡터의 직교 집합에 의해 대각선화 될 수 있다.

스펙트럼 정리

정리 실제 또는 복잡한 Hilbert 공간 H에 대한 모든 콤팩트 자기 적응 연산자 T에 대해 T의 고유 벡터로 구성된 H의 정형화된 기초가 존재한다.구체적으로는 T의 직교보완물로서 T의 고유 벡터의 유한직교문근거 또는 T의 고유벡터의 무한정직교문근거 {e_nn} 중 하나를 인정하며, 이에_n 상응하는 고유값 {}} ⊂ R을 가지고 있다.

즉, 소형 자기 적응 연산자를 단위 대각선으로 할 수 있다.이것이 스펙트럼 정리다.

H가 분리될 수 있을 때, 기본 {e_n}을(를) T의 커널에 대한 카운트 가능한 정형근거와 섞고, 그러한 μ_n → 0과 같은 실제 고유값 {μ_n}의 T의 고유 벡터로 구성된 H에 대해 정형근거 {f_n}를 얻을 수 있다.

Corolary 실제 또는 복잡하게 분리할 수 있는 무한 차원 Hilbert 공간 H에 대한 모든 콤팩트 자기 적응 연산자 T에 대해 해당_n 고유값 {μ_n} μR R과 함께 T의 고유 벡터로 구성된 H의 무한한 직교 기준 {f_n}이(가) 존재한다.

아이디어

우선 유한차원의 증거에 대해 논의합시다.그것은 하나의 고유 벡터 x의 존재를 보여주는 Emeritian n × n 매트릭스 T에 대한 스펙트럼 정리를 증명한다. 일단 이것이 이루어지면, Emeriticity는 x (차원 n-1)의 선형 스팬과 직교보완 모두 T의 불변 하위공간이라는 것을 암시한다.원하는 결과는 T ${\displaystyle {x{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\perp }^{}}_{}}$ ${\$에 대한 유도를 통해 얻는다$.$

고유 벡터의 존재는 (적어도) 두 가지 대안적 방법으로 나타낼 수 있다.

1. 사람은 대수적으로 다음과 같이 주장할 수 있다.T의 특성 다항식은 복합 루트를 가지므로 T는 해당 고유 벡터를 가진 고유값을 갖는다.
2. 고유값은 다음과 같이 다양하게 특성화할 수 있다.가장 큰 고유값은 함수 f의 닫힌 단위 구간의 최대값이다²ⁿ: R → R = f(x) = x*Tx = <Tx, x>로 정의된다.

참고. 유한 차원 사례에서 첫 번째 접근법의 일부는 훨씬 더 큰 일반성에서 작동한다; 반드시 은둔자가 아닌 모든 사각 행렬에는 고유 벡터가 있다.힐버트 공간의 일반 운영자들에게는 단순히 사실이 아니다.무한 차원에서도 특징적인 다항식의 개념을 일반화하는 방법이 당장 나오지는 않는다.

콤팩트 자가 적응증에 대한 스펙트럼 정리는 유사하게 얻을 수 있다: 위의 두 번째 유한차원 주장을 확장하여 고유 벡터를 찾은 다음 유도를 적용한다.우리는 먼저 행렬에 대한 논쟁을 스케치한다.

R에서²ⁿ 닫힌 단위 구체 S는 콤팩트하고, f는 연속적이기 때문에, f(S)는 실제 라인에서 콤팩트하기 때문에, 따라서 어떤 단위 벡터 y에서 S에 최대치를 도달한다. 라고랑주의 승수 정리로는 y를 만족시킨다.

$\displaystyle \bla f=\bla y^{*}}Ty=\lambda \cdot \nabla y^{*}y}$

some쯤으로Emeriticity에 의해 Ty = yy.

또는 z ∈ C를ⁿ 어떤 벡터가 되게 한다.단위 벡터 y가 단위 구면(또는 단위 공)에서 <Tx, x>를 최대화하는 경우, Rayleigh 지수 또한 최대화한다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle g(x)={\frac {\langle Tx,x\rangle }{\\x\{2}}:\qquad 0\neq x\in \mathbf {C} ^{n}}.}$

다음 기능을 고려하십시오.

${\displaystyle {\begin}h:\mathbf {R} \mathbf {R} \\h(t)=g(y+tz)\case}}}$

미적분학으로 h′(0) = 0, 즉,

${\displaystyle {\begin{aligned}h'(0)&=\lim _{t\to 0}{\frac {h(t)-h(0)}{t-0}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {g(y+tz)-g(y)}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left({\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle }{\ y+tz\ ^{2}}}-{\frac {\langle Ty,y\rangle }{\ y\ ^{2}}}\right)\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\왼쪽({\frac {\langle T(y+tz),y+tz\angle -\\langle Ty,y\}{\y\{2}}}\오른쪽)\\&={\frac {1}{\ y\ ^{2}}}\lim _{t\to 0}{\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle -\langle Ty,y\rangle }{t}}\\&={\frac {1}{\ y\ ^{2}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle }{\langle y+tz,y+tz\rangle }}\right)(0)\\&=0.\end{정렬}}}$

정의:

${\displaystyle m={\frac {\langle Ty,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}}$

일부 대수학 후에 위의 식이 된다(복잡한 숫자의 실제 부분을 나타냄)

${\displaystyle \mathrm {Re}(\langle Ty-my,z\angle )=0.}$

그러나 z는 임의적이므로 Ty - my = 0이다.이것은 모체 케이스에서 스펙트럼 정리에 대한 증명의 핵심이다.

라그랑주 승수는 무한 차원 케이스에 일반화되지만 단위 구형의 소형성은 상실된다는 점에 유의하십시오.여기서 연산자 T가 콤팩트하다는 가정이 유용하다.

세부 사항

클레임 If T가 0이 아닌 Hilbert 공간의 콤팩트한 자체 승인 연산자 H 및

$[\displaystyle m(T):=\supp {\bigl \{} \langle Tx,x\rangele :x\in H,\\\\\\\\\\\\\leq 1{\bigr \},}$

m(T) 또는 -m(T)은 T의 고유값이다.

m(T)이 0이면 T = 0이 양극화 정체에 의한 것이며, 이 경우는 분명하다.함수를 고려하십시오.

${\displaystyle {\reason{case}f:H\to \mathbf {R}\\f(x)=\langle Tx,x\angle \case}}}$

Replacing T by −T if necessary, one may assume that the supremum of f on the closed unit ball B ⊂ H is equal to m(T) > 0. If f attains its maximum m(T) on B at some unit vector y, then, by the same argument used for matrices, y is an eigenvector of T, with corresponding eigenvalue λ = <λy, y> = <Ty, y> = f(y) = m(T).

Banach-Alaoglu 정리 및 H의 반사성에 의해 닫힌 단위공 B는 약하게 콤팩트하다.또한 T의 콤팩트함(위 참조)은 T : 위상이 약한 X → 표준 위상이 있는 X가 연속적인 것을 의미한다.이 두 가지 사실은 f가 약한 위상이 장착된 B에서 연속적이고, 따라서 f는 일부 y ∈ B에서 B에서 최대 m에 도달한다는 것을 의미한다.최대성 기준으로 $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Vert }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle$\$y\ =1,}$은(는) y도 Rayleigh 지수 g(x)를 최대화함을 의미한다(위 참조).이는 y가 T의 고유 벡터라는 것을 보여주고, 청구에 대한 증거를 끝낸다.

참고. T의 콤팩트함이 결정적이다.일반적으로 단위 볼 B의 약한 위상에 대해 f가 연속적일 필요는 없다.예를 들어, H가 무한 차원일 때 압축되지 않는 ID 연산자가 T가 되도록 한다.정형외과적 수열 {y_n}을(를) 모두 취하십시오.그런 다음 y는_n 약하게 0으로 수렴하지만, 림 f(y_n) = 1 ≠ 0 = f(0)이다.

Hilbert 공간 H에서 콤팩트한 연산자가 되게 하라 T의 고유 벡터의 유한한(아마도 비어 있을 것이다) 또는 카운트다운 무한정 직교 순서 {e_n}이(가) 해당 0이 아닌 고유값을 가지고 다음과 같이 유도에 의해 구성된다.Let H₀ = H, T₀ = T. m(T₀) = 0이면 T = 0이며, 어떠한 고유 벡터 e도_n 생성하지 않고 공사가 중단된다.직교 고유 벡터 e₀, ..., T의 e가_{n − 1} 발견되었다고 가정합시다.그 다음_n E:= span(e₀, ..., e_{n − 1})은 T 하에서는 불변성이며, 자기 적응성에 의해_n E의 직교보완 H는_n T의 불변 부공간이다.T는_n T에서 H까지의_n 제약을 나타낸다. m(T_n) = 0이면_n T = 0이면 공사가 중단된다.그렇지 않으면 T에_n 적용된 클레임에 의해 H에_n T의 표준 1개의 고유 벡터 e가_n 있고 이에 상응하는 비제로 고유값 λ_n = ± m(T_n)이 있다.

Let F = (span{e_n}),^⊥ 여기서 {e_n}은 귀납 과정에 의해 생성된 유한 또는 무한 시퀀스이며, 자기 적응성에 의해 F는 T에 따라 불변한다.S는 T에서 F까지의 제한을 나타내도록 하자.마지막 벡터 e를_m−1 사용하여 여러 단계를 거쳐 공정이 중지된 경우, 시공에 의해 F= H_m 및 S = T = 0_m.무한대의 경우 T의 압축성과 e_n ~ 0의 약합성은 Te_n = λe_nn → 0, 따라서 λ_n → 0을 의미한다. N마다 F가 H에 포함되기_n 때문에 m(S) ≤m({T_n}) = λ_n, 따라서 m(S) = 0. 이것은 다시 S = 0을 의미한다.

S = 0이라는 사실은 F가 T의 커널에 포함되어 있다는 것을 의미한다.반대로 x x ker(T)인 경우, x는 0이 아닌 고유값을 가진 모든 고유 벡터 {e_n}에 직교한다.F = ker(T) 및 {e_n}은(는) T의 커널의 직교보충에 대한 직교 기준이다.낟알의 직교 기준을 선택하면 T의 대각선을 완성할 수 있다.이것은 스펙트럼의 정리를 증명한다.

보다 짧지만 추상적인 증거는 다음과 같다: 조른의 보조정리법에 의해 U의 모든 원소는 T의 고유 벡터, 그들은 규범 1을 가지며 U의 어떤 두 개의 뚜렷한 원소는 직교한다.F는 U의 선형 스팬의 직교보완물이 되게 한다. 만약 F 0 {0}이(가) T의 비종교적 불변성 하위공간이며, 초기 청구에 의해 F에 T의 표준 고유벡터 y가 존재해야 한다.그러나 U ∪ {y}은(는) U의 최대성과 모순된다. F = {0}을(를) 따라서 스팬(U)은 H로 조밀하다.이것은 U가 T의 고유 벡터로 구성된 H의 정형근거임을 보여준다.

기능성 미적분학

T가 무한 차원 Hilbert 공간 H에서 콤팩트하면 T는 반전할 수 없으므로 T의 스펙트럼인 ((T)은 항상 0을 포함한다.스펙트럼 정리는 σ(T)이 T의 고유값 {λ_n}과 0으로 구성됨을 보여준다(0이 이미 고유값이 아닌 경우).집합 σ(T)는 복합수의 콤팩트한 부분집합이며, 고유값은 σ(T)로 밀도가 높다.

모든 스펙트럼 정리는 기능적 미적분학의 관점에서 재구성될 수 있다.현재의 맥락에서 우리는 다음과 같은 것을 가지고 있다.

정리.C(csu(T)는 σ(T)의 연속적인 기능의 C*-알지브라(c*-algebra)를 나타내도록 한다.φ(1) = I, f가 정체함수 f(λ) = λ이면 ((f(T) = T. 게다가 ((T) = f(() = f(() = f(() = f(T)와 같은 독특한 등축 동형성 φ : C( moreover)(T) → L(H)가 존재한다.

기능적 미적분 지도 φ은 자연적인 방법으로 정의된다: {e_n}은(는) 해당 고유값이 {}}인_n H에 대한 고유 벡터의 정형화된 기준이 되게 한다. f ∈ C(σ(T)의 경우, 정형화된 기준 {e_n}에 대해 대각선인 연산자 φ(f)는 설정에 의해 정의된다.

${\displaystyle \Phi(f)(e_{n})=f(\lambda _{n}e_{n}}}}}$

매 n마다φ(f)는 정사각형 기준과 관련하여 대각선이기 때문에, 그 규범은 대각선 계수의 계수의 우량성과 동일하다.

${\displaystyle \Phi(f)\\\sup _{\lambda _{n}\in \sigma(T)}f(\lambda _{n} =\f\{C(\sigma(T))}.}$

φ의 다른 성질은 쉽게 검증할 수 있다.반대로, 정리의 요건을 충족하는 모든 동형성 Ⅱ는 f가 다항식일 때 Ⅱ와 일치해야 한다.위어스트라스 근사정리법에 의해 다항 함수는 C(σ(T)에 밀도 있고, ψ = φ를 따른다.이것은 φ이 독특하다는 것을 보여준다.

힐버트 공간의 경계 선형 연산자에 대해 보다 일반적인 연속 기능 미적분학을 정의할 수 있다.여기서 설명하는 콤팩트 케이스는 이 기능적 미적분학의 특히 단순한 예다.

동시대각화

힐버트 공간 H(예: 유한 차원 Cⁿ)와 자기 승인 연산자의$$ 통근 세트 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ 홈 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (H}$, ${\displaystyle H}$ $){\displaystyle {\mathcal$ {$F}\subseteq \operatorname {H}(H,$H, H$)}$을 고려하십시오.그런 다음 적절한 조건 하에서 동시에(단일적으로) 대각선으로 만들 수 있다.Viz, 연산자를 위한 공통 고유 벡터로 구성된 직교 기준 Q가 존재한다.

${\displaystyle(\all {q\in Q,T\in {\mathcal {F}))\exists {\sigma \in \mathbf {C})(T-\sigma )q=0}$

보조정리. $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 모든 연산자가 콤팩트하다고$$ 가정합시다.그 다음 닫힌 모든 비 0 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\${\$mathcal$ {$F}$ - invariant$$ 하위 $공간{\displaystyle }$ S ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle H}${\$displaystyle S\subseteq$ H$}$에는 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\${\$mathcal {F}$에 대한 공통 고유 벡터가 있다$$$.$

증명. 사례 I: 모든 운영자는 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 각각 정확히 하나의 고유값을 가지고 있다$.$ 단위 길이의$$ $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle$ s$\in$ S$}$을(를) 취한다.그것은 흔한 고유 벡터다.

Case II: there is some operator ${\displaystyle T\in {\mathcal {F}}}$ with at least 2 eigenvalues on ${\displaystyle S}$ and let ${\displaystyle 0\neq \alpha \in \sigma (T\upharpoonright S)}$. Since T is compact and α is non-zero, we have ${\displaystyle S':=\ker(T\$$upharpoonright S-\alpha )}$ is a finite-dimensional (and therefore closed) non-zero ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-invariant sub-space (because the operators all commute with T, we have for ${\displaystyle T'\in {\mathcal {F}}}$ and ${\displaystyle x\in \ker(T\upharpoonright S-\alpha )$$\}\}$ , that${\displaystyle }$( T${\displaystyle }$-${\displaystyle {}^{}\alpha }$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ α${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) =${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle \text{T}}$x${\displaystyle }$) - ${\displaystyle {}^{}}$ T ${\displaystyle {\prime }^{}x}$) = 0 ${\displaystyle (T-\alpha )(T'x)=(T')=(T~x)-\alpha T$'x$)=0}.$이후 α은 단지 하나의 S{S\displaystyle}에 T{T\displaystyle}의 eigenvalues 특히, 저희는 정말로 희미한 ⁡ S′<>희미한 ⁡ S{\displaystyle \dim S'<, S\dim}. 따라서 원칙적으로 유도에 의해 치수, S이익을 주장할 수 있′⊆ S{\displaystyle S'\subseteq S}일반적인 eigenvect도 있습니다.또는 나가$r{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$

정리 1.$F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 모든 연산자가 소형이라면$$ 연산자는 동시에(단일적으로) 대각선으로 될 수 있다.

증명. 다음 세트

${\displaystyle \mathbf {P} =\{A\subseteq H:A{\text{{\text}는 }{\mathcal{F}}}에 대한 공통 고유 벡터의 정형화된 집합이다.$

포함에 의해 부분적으로 주문된다.이것은 분명히 조른의 속성을 가지고 있다.따라서 Q를 최대 멤버로 삼으면 Q가 Hilbert 전체 공간 H의 기본이라면 우리는 끝이다.If this were not the case, then letting ${\displaystyle S=\langle Q\rangle ^{\bot }}$, it is easy to see that this would be an ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-invariant non-trivial closed subspace; and thus by the lemma above, therein would lie a common eigenvector for the operators (necessarily orthogonal to Q).그러나 그 다음에는 P 내에서 Q의 적절한 확장이 있을 것이다; 그것의 최대성에 대한 모순이다.

정리2.$F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 주입식 콤팩트 연산자가 있는 경우 연산자는 동시에(단일적으로) 대각선을 이룰 수 있다.

증명. T ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F\mathcal{}}$ ${\$ 콤팩트$$ 주입액을 수정하십시오.힐버트 공간의 콤팩트 대칭 연산자의 스펙트럼 이론에 의해,

${\displaystyle H={\overline {\bigoplus _{\lambda \in \sigma(T_{0})}\ker(T_{0}-\sigma )},},}$

여기서 $\sigma {\displaystyle }$( ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \sigma (T_{0})$는 이산형이고 계산 가능한 양의 실수 부분 집합이며$$, 모든 아이겐스페이스는 유한 차원이다.$F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 통근용$$ 세트로 되어 있기 때문에, 모든 에겐스페이스는 불변이다.에겐스페이스(한정차원)로 제한된 연산자는 자동적으로 모두 콤팩트하기 때문에 이것들 각각에 정리 1을 적용하면 되고, ${\displaystyle \mathrm{케르}}$ ${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}\sigma }$) ${\displaystyle \ker(T_{0}-\sigma )}$에 대한 정형근거 Q를_σ 찾을 수 있다$.$ T가₀ 대칭적이기 때문에, 우리는 그런 것을 가지고 있다.

$\displaystyle Q:=\bigcup _{\\sigma \in \sigma(T_{0})}Q_{\sigma }}$

정형외과 세트야그것은 또한 우리가 처음 말한 분해에 의해 H에 대한 기초가 된다.

정리 3.H가 유한 차원 힐버트 공간과 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \mathrm{Hom}(}$ (${\displaystyle H}$,${\displaystyle H}$ )$${\$displaystyle${\$mathcal {F}\subseteq \operatorname {Hom}(H, H)}$ 연산자 집합이$$ 서로 대각선이 가능하고 동시에 대각선이 가능하다.

증명. 사례 1: 모든 연산자는 정확히 하나의 고유값을 갖는다.그러면 H에 대한 어떤 근거라도 될 것이다.

Case II: Fix ${\displaystyle T_{0}\in {\mathcal {F}}}$ an operator with at least two eigenvalues, and let ${\displaystyle P\in \operatorname {Hom} (H,H)^{\times }}$ so that ${\displaystyle P^{-1}T_{0}P}$ is a symmetric operator.이제 α를 $P{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}}$의 고유값$(\displaystyle P^{-1}T_{0}P})$으로 하자$.$ 그러면 다음 두 가지를 모두 쉽게 알 수 있다.

$\displaystyle \ker \left(P^{-1}~)T_{0}(P-\alpha )\right),\quad \cker \left(P^{-1}~)T_{0}(P-\alpha )\오른쪽)^{\bot }}}$

비교 $P{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathcal{}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle$ P$^{-1}{\mathcal{F}P}$ - invariant$$ 하위 영역임.치수 이상으로 유도함으로써 우리는 서브스페이스에 대해 선형적으로 독립적인 베이스₁ Q, Q가₂ 있다는 것을 알 수 있으며, $이$는${\displaystyle {}^{}}$P - ${\displaystyle {}^{}\mathcal{}}$ F ${\displaystyle P}${\$displaystyle$P^{-$1}{\mathcal {F}P}$의 연산자가 서브스페이스에서 동시에 대각선이 가능하다는$$ 것을 증명한다.분명히 $P{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ Q ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle P(Q_{1}\컵 Q_{2})$는 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 연산자를 동시에 대각선화할 수 있음을 보여준다$$$$.

우리는 이 증명에서 행렬의 기계를 직접 사용할 필요가 전혀 없었다.다른 버전들도 있다.

우리는 모든 운영자들이 단지 그들의 연관을 가지고 통근하는 경우에 위 사항을 강화할 수 있다. 이 경우 우리는 대각화에서 "직교"라는 용어를 제거한다.Weyl-Peter로 인한 표현에서 발생하는 운영자의 결과가 약하다.G를 고정된 로컬 콤팩트 하우스도르프 그룹으로 하고, $H{\displaystyle }$= ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle H=L^{2}(G)}($G에 대한 고유한 스케일 업 스케일 하어 측정에 대한 사각 통합 가능한 측정 가능한 함수의 공간).연속적인 시프트 동작을 고려하십시오.

${\displaystyle {\displaysty}G\time H\to H\\(gf)(x)=f(g^{-1}x)\end{case}}}$

G가 압축된 경우 H를 유한 차원, 불변성 서브스페이스의 계수 가능한 직접 합으로 분해하는 독특한 현상이 있다(이는 본질적으로 연산자 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \subseteq }$ U${\displaystyle }$( ${\displaystyle H}$ $){\displaystyle G\subseteq U(H)}).$ 만약 G가 압축되지 않았지만 아벨리안이었다면 대각화는 달성되지 않는다.우리는 H를 1차원 불변 부공간으로 연속 분해하는 독특한 결과를 얻는다.

컴팩트 노멀 연산자

에르미트 행렬의 집단은 단위 대각선이 가능한 행렬의 적절한 부분집합이다.매트릭스 M은 정상인 경우에만 단위 대각선이 가능하다. 즉, M*M = MM*. 유사한 문장은 소형 정상 연산자에 대해 유지된다.

T를 콤팩트하게 하고 T*T = TT*으로 한다.데카르트 분해를 T에 적용: 정의

${\displaystyle R={\frac {T+}T^{*}}:{2}},\quad J={\frac {T-T^{*}}{2i}}.}$

자칭 콤팩트 연산자 R과 J는 각각 T의 실물과 상상의 부분으로 불린다.T는 콤팩트 평균 T*이며, 따라서 R과 J는 콤팩트하다.더욱이, T의 정규성은 R과 J의 통근을 의미한다.따라서 그들은 동시에 대각선화 될 수 있으며, 그 청구로부터 그 청구를 따른다.

저음속 콤팩트 연산자(특히 보통 이하의 연산자)는 정상이다.

유니터리 연산자

단일 운영자 U의 스펙트럼은 복잡한 평면의 단위 원 위에 있다. 전체 단위 원일 수 있다.그러나 U가 아이덴티티와 콤팩트한 섭동인 경우 U는 유닛 서클에서 1에 해당하는 유한 집합 또는 시퀀스를 포함하는 계수 가능한 스펙트럼만 갖는다.보다 정확하게는, U = I + C, 여기서 C가 콤팩트하다고 가정해 보자.방정식 UU* = U*U = I 및 C = U - C가 정상임을 나타낸다.C의 스펙트럼은 0이며, 0으로 향하는 유한 집합 또는 시퀀스를 포함할 수 있다.U = I + C이기 때문에 U의 스펙트럼은 C의 스펙트럼을 1씩 이동하여 얻는다.

예

• H² = L([0, 1])으로 한다.다음에 의해 정의된 곱셈 연산자 M

${\displaystyle (x)=xf(x),\quad f\in H,\,\,x\in [0,1]}$

고유 벡터가 없으므로 스펙트럼 정리에 의해 압축할 수 없는 H에 대한 경계 자가 적응 연산자다.

• [0, 1]²에 K(x, y)를 제곱합으로 하고 H에 T를_K 정의한다.

${\displaystyle (T_{K}f)(x)=\int _{0}^{0}^{1}K(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y.}$

그리고 나서 T는_K H에 콤팩트하다; Hilbert-Schmidt 연산자다.

• 커널 K(x, y)가 Emidentity 조건을 만족한다고 가정합시다.

${\displaystyle K(y,x)={\overline {K(x,y)}}},\quad x,y\in [0,1].}$

그러면 T는_K H에 콤팩트하고 자기 적응력이 있다. {;}이(가_n) 고유값이 {λ_n}인 고유 벡터의 정형근거라면, 그것은 증명할 수 있다.

${\displaystyle \lambda _{n}^{2}<\infit ,\ K(x,y)\\sim \lambda _{n}\varphi _{n}{n(x){\overline {\varphi _{n}}},},},},}$

여기서 일련의 기능들의 합은 [0, 1]²의 르베그 측정에 대한² L 수렴으로 이해된다.Mercer의 정리는 [0, 1]²에서 시리즈가 K(x, y)로 점으로, 균일하게 수렴되는 조건을 제공한다.

참고 항목

• 칼킨 대수
• 콤팩트 연산자
• 스펙트럼 분해(기능 분석)콤팩트성 가정이 제거되면 운영자는 일반적으로 계산할 수 있는 주파수를 가질 필요가 없다.
• 단수 값 분해#힐버트 공간의 바인딩된 연산자.단수 값의 개념은 행렬에서 소형 연산자로 확장될 수 있다.

참조

• J. 블랭크, P. 엑너, M.Havlicek, 미국 물리 연구소 양자 물리학의 힐버트 우주 운영자, 1994.
• M. 리드와 B.사이먼, Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis, Academic Press, 1972.
• Zhu, Kehe (2007), Operator Theory in Function Spaces, Mathematical surveys and monographs, vol. 138, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3965-2