머서의 정리

수학, 구체적으로는 기능 분석에서 머서의 정리는 제품 기능의 수렴 순서의 합으로 정사각형 위에 대칭적인 양의-확정 함수를 나타낸 것이다.(Mercer 1909)에서 제시된 이 정리는 제임스 머서(1883–1932)의 작품에서 가장 주목할 만한 결과 중 하나이다.적분 방정식 이론에서 중요한 이론적 도구로, 예를 들어 카루넨-로브 정리 등 확률적 과정의 힐베르트 우주 이론에서 사용되며, 대칭적 양의 반정확한 알맹이를 특징짓는 데도 사용된다.^[1]

소개

Mercer의 정리를 설명하기 위해, 우리는 먼저 중요한 특별한 경우를 고려한다; 더 일반적인 공식화는 아래를 참조하라.이 맥락에서 커널은 대칭 연속함수다.

${\displaystyle K:[a,b]\time [a,b]\오른쪽 화살표 \mathb {R}}$

여기서 대칭은 모든${\displaystyle }x$에 $대해$ K${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle K}$( ${\displaystyle y}$, x${\displaystyle }$) ${\displaystyle K(x,y)=K(y,x)},$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in [,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ],}$ ${\displaystyle x,y\in [a,b]}$을(으)를 의미한다$.$

K는 음이 아닌 확정체(또는 양수)라고 하며, 만약의 경우에 한한다.

${\displaystyle \sum \sum _{i=1}\sum _{j=1}^{n}K(x_{i},x_{j}c_{i_{j}c_{j}}c_{j}\geq 0}}$

모든₁ 유한한 점 x, ..., [a, b]의_n x 순서와 실제 숫자 c₁, ..., cf_n(양수-변수 커널)의 모든 선택에 대하여.

K와 관련된 연산자는 (특히 힐버트-슈미트 적분 연산자) 적분으로 정의된 함수에 대해 선형 연산자(Hilbert-Schmidt 적분 연산자)이다.

${\displaystyle [T_{K}\varphi ](x)=\int _{a}^{b(x,s)\varphi(s)\,ds.}$

기술적 고려를 위해 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$이(가) 사각 통합형 실제 값 함수의 L²[a, b] 공간(Lp space 참조)을 통과할 수 있다고$$ 가정한다.T는_K 선형 연산자이기 때문에 T의_K 고유값과 고유특성에 대해 이야기할 수 있다.

정리.K가 연속적인 대칭 비 음의 한정된 커널이라고 가정하자.그 다음 T의_K 고유 특성으로 구성된 L²[a, b]의 정형근거 {e_ii}_i이(가) 있어 해당 고유값 { {}_i의 순서가 음이 아닐 수 있다.0이 아닌 고유값에 해당하는 고유특성은 [a, b]에 연속적이며 K는 그 표현을 가지고 있다.

${\displaystyle K(s,t)=\sum _{j=1}^{\\inful }\lambda _{j}\,e_{j}\,e_{j}(t)}$

수렴이 절대적이고 균일하게 이루어지는 곳.

세부 사항

이제 우리는 머서의 정리 증명의 구조, 특히 그것이 콤팩트 연산자의 스펙트럼 이론과 어떻게 관련되는지 더 자세히 설명한다.

• 지도 K → T는_K 주입식이다.
• T는_K L²[a,b]의 음이 아닌 대칭 콤팩트 연산자, 더욱이 K(x, x) ≥ 0이다.

콤팩트함을 나타내려면 T등분_K 하의 L²[a,b] 단위볼의 이미지를 보여주고 아스콜리의 정리를 적용하여 단위볼의 이미지가 C([a,b]에서는 비교적 콤팩트하고 L²[a,b]에서는 포티오리가 있음을 보여준다.

이제 힐버트 공간의 콤팩트 연산자에 대한 스펙트럼 정리를 T에_K 적용하여 L²[a,b]의 정형근거 {e_i}_i의 존재를 보여준다.

${\displaystyle \lambda _{i}e_{i}(t)=[T_{K}e_{i}](t)=\int _{a}^{b(t,s)e_{i}\,ds.}$

λ_i ≠ 0일 경우 고유벡터(유전함수) e는_i [a,b]에 연속적으로 나타난다.지금

${\displaystyle \sum \{i=1}^{\infit }\lambda _{i}e_{i}e_{i}s) \leq \sup _{x\in [a,b]}K(x,x) ,}$

그 순서는 그 순서가

${\displaystyle \sum \{i=1}^{\infit }\da _{i}e_{i}e_{i}s}}$

커널 K와 동일한 연산자를 정의하기 위해 쉽게 보이는 커널 K에 절대적이고₀ 균일하게 수렴한다.따라서 Mercer의 정리가 따르는 K=K₀.

Finally, to show non-negativity of the eigenvalues one can write ${\displaystyle \lambda \langle f,f\rangle =\langle f,T_{K}f\rangle }$ and expressing the right hand side as an integral well approximated by its Riemann sums, which are non-negative by positive-definiteness of K, implying ${\$$displaystyle \langle$ f$,f\rangle \geq$ 0$},$${\displaystyle <img\; alt="\backslash lambda\; \backslash langle\; f,f\backslash rangle\; \backslash geq\; 0"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/40537dab5c166526486724ebbf1f37f2ce712641"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:11.017ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="88">}implying{\displaystyle }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$\ \$da \geq$ 0$}$을(를) 의미한다$.$

트레이스

다음은 즉각적이다.

정리.K가 연속적인 대칭 비 음의 한정된 커널이라고 가정하고, T에는_K 음이 아닌 고유값 {}.}_i의 시퀀스가_i 있다고 가정한다.그러면

$\displaystyle \int _{a}^{b}K(t,t)\,dt=\sum _{i}\lambda _{i}.}$

이것은 연산자 T가_K 추적 클래스 연산자임을 보여준다.

${\displaystyle \operatorname {trace}(T_{K})=\int _{a}^{b(t,t)\,dt.}$

일반화

머서의 정리 그 자체는 어떤 대칭적인 양의-세미드피니트 행렬이 벡터 집합의 그래미안 행렬이라는 결과를 일반화한 것이다.

첫 번째 일반화는^{[citation needed]} 간격 [a, b]을 콤팩트 하우스도르프 공간으로 대체하고, [a, b]에 대한 르베그 측정치는 X의 보렐 대수학에서 유한 계수적 첨가 측정 μ로 대체한다.이는 X의 비어 있지 않은 부분 집합 U에 대해 μ(U) > 0을 의미한다.

최근의 일반화는^{[citation needed]} 이러한 조건을 다음과 같이 대체한다: 집합 X는 보렐(완전) 측정 μ를 부여한 최초의 카운트 가능 위상학적 공간이다. X는 μ의 지지 공간이며, X의 모든 X에 대해 x를 포함하고 유한한 측정값을 갖는 오픈 세트 U가 있다.그리고 본질적으로 동일한 결과가 다음을 지탱한다.

정리.K가 X에 대한 연속적인 대칭 양-확정성 커널이라고 가정하자.함수 κ이 L¹_μ(X)인 경우, 여기서 X의 모든 X에 대해 κ(x)=K(x,x)는 L²_μ(X)의 정형 집합 {e_i}_i이(가) 있으며, 이는 고유값 {λ_i}_i의 해당 순서가 음수가 아닌 것과_K 같은 것이다.0이 아닌 고유값에 해당하는 고유특성은 X에 연속적이고 K는 표현을 한다.

${\displaystyle K(s,t)=\sum _{j=1}^{\\inful }\lambda _{j}\,e_{j}\,e_{j}(t)}$

X의 콤팩트 서브셋에서 수렴이 절대적이고 균일하다.

다음 일반화는^{[citation needed]} 측정 가능한 커널의 표현을 다룬다.

(X, M, μ)를 σ-피니트 측정공간으로 한다.X의 L²(또는 사각형 통합형) 커널은 함수임

${\displaystyle K\in L_{\mu \otimes \mu }^{2}(X\times X).}$

L² 커널은 공식에 의해 경계 연산자 T를_K 정의한다.

${\displaystyle \langle T_{K}\varphi ,\psi \rangele =\int_{X\time X}K(y,x)\varphi(y)\d[\mu \otimes ](y,x).}$

T는_K 콤팩트한 연산자(실제로도 힐버트-슈미트 연산자)이다.만약 커널 K가 대칭이라면, 스펙트럼 정리에 의해_K T는 고유 벡터의 직교 기준을 갖는다.0이 아닌 고유값에 해당하는 고유 벡터는 시퀀스 {e_i}(_i분리 가능성과 무관)로 정렬할 수 있다.

정리.K가 (X, M, μ)에 있는 대칭 양립자 커널이라면,

${\displaystyle K(y,x)=\sum _{i\in \mathb {N}}\lambda _{i}e_{i}e_{i}(x)}$

여기서² L 규범의 수렴이 이루어진다.커널의 연속성을 가정하지 않으면 팽창은 더 이상 균일하게 수렴되지 않는다는 점에 유의한다.

머서의 상태

수학에서는 모든 제곱합성함수 g(x)가 가지고 있는 경우 실제값함수 K(x,y)가 머서의 조건을 충족시킨다고 한다.

${\displaystyle \iint g(x)K(x,y)g(y)\,dx\,dy\geq 0.}$

이산 아날로그

이것은 양성-세미드핀 행렬의 정의와 유사하다.이것은 모든 $벡터{\displaystyle }$ g ${\$displaystyle g$\}$ 속성인 모든 벡터 g {\$displaystyle$ $g}$을$($를) 만족하는 차원 $N$의$매트릭스$ K {\$displaystyle K}$이다.

${\displaystyle (g,kg)=g^{$$T}{{\cdot }kg=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{n}\,g_{i}\,K_{ij}\,g_{j}\$g_{j}\$geq$ 0$}$.

예

양의 상수 함수

${\displaystyle K(x,y)=c\,}$

그 때 후비니의 정리에 의해 적분이 되는 머서의 상태를 만족시킨다.

${\displaystyle \iint g(x)\,c\,g\,dxdy=c\int \!g(x)\,dx\int \!g(y)\,dy=c\left(\int \!g(x)\,dx\rig\rig)^{2}}$

음성이 아닌 것 같군

참고 항목

• 커널 트릭
• 대표자 정리
• 스펙트럼 이론

메모들

참조

• Adriaan Zaanen, Linear Analysis, North Holland Publishing Co.
• 페레이라, J. C., 메네가토, V. A., 매끄러운 양의 한정된 커널, 적분 방정식과 연산자 이론에 의해 정의된 적분 연산자의 고유값, 64(2009), 제1, 61–81호. (계량적 공간에 대한 머서의 정리의 일반화)결과는 첫 번째 계산 가능한 위상학적 공간에 쉽게 적응된다.)
• 콘래드 요르겐스, 1982년 보스턴 핏먼의 선형 적분 연산자
• Richard Courant와 David Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol 1, Interscience 1953,
• 로버트 애쉬, 도버 출판사의 정보 이론, 1990년
• Mercer, J. (1909), "Functions of positive and negative type and their connection with the theory of integral equations", Philosophical Transactions of the Royal Society A, 209 (441–458): 415–446, Bibcode:1909RSPTA.209..415M, doi:10.1098/rsta.1909.0016,
• "Mercer theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• H. König, 콤팩트 연산자의 아이겐값 분포, Birkhauser Verlag, 1986. (유한 측정 μ에 대한 Mercer의 정리 일반화)