코시 적분 정리

복소해석학에서 코시 적분 정리(, )는 복소평면에서의 복소함수에 대한 선적분에 대한 중요한 진술로, 아우구스틴-루이 코시(Augustin-Louis Cauchy)와 에두아르 구르사트(Edouard Goursat)의 이름을 따서 붙인 것입니다. 기본적으로 $f(z)$ ( $f(z)$ $f(z)$ 가 단순히 연결된 도메인 ω에서 동형인 경우, ω ω에서 $단순히$ 닫힌 윤곽 C ${\displaystyle$ C}에 대해 해당 윤곽 적분은 0임을 나타냅니다.

\int_{C}f(z)\,dz=0.

진술

복소수 선적분에 대한 기본 정리

$f (z)$ 가 열린 영역 $U$ 의 홀로포밍 함수이고, $\gamma$ γ ${\$ displaystyle $\gamma$ \gamma}가 z $0$ {\ $displaystyle$ z_{ $z_{1}$ }에서 $z_{1}$ z 1 {\ $displaystyle$ z_{1}}까지의 U 안의 $곡선$ 인 경우,

\int_{\gamma }f'(z)\, dz=f(z_{1})-f(z_{0}).

또한 열린 영역 $U$ 에서 $f (z)$ 가 단일 값 반도함수를 갖는 경우, 경로 적분 ${\textstyle \int _{\gamma }f'(z)\,dz}$ ∫ γ f' ( $)$ $dz$ {\ $textstyle \int_{\gamma }$ f'( $z)\,$ dz}는 U의 모든 $경로$ 에 대해 경로 독립적입니다.

단순하게 연결된 영역에 대한 공식화

$U$ ⊆ C {\ $displaystyle$ U $\subseteq \mathbb$ {C}를 단순히 연결된 열린 집합이라고 하고, $f:U\to \mathbb {C}$ $f:U\to \mathbb {C}$ → C ${\displaystyle$ f: $U\to \mathbb {C} }$ 은 $f:U\to \mathbb {C}$ 전형 함수입니다. γ $\gamma :[a,b]\to U$ : [ $,$ b] → U {\displaystyle \ gamma :[a, b]\to U}를 매끄러운 폐곡선이라고 합니다. 그러면.

\int_{\gamma }f(z)\, dz=0.

(

U

{\

displaystyle U}

이

U

(가) 간단히 연결되어 있다는 조건은

U

{\

displaystyle

U

}

에 "홀"이 없다는

U

것을 의미하거나,

즉

U

{\

displaystyle

U}의 기본 그룹이

U

사소하다는 것을 의미합니다.)

일반식

$U$ ⊆ C {\ $displaystyle$ U $\subseteq \mathbb$ {C}를 열린 집합이라고 $f:U\to \mathbb {C}$ , $f:U\to \mathbb {C}$ $U$ → C ${\displaystyle$ f: $U\to \mathbb {C} }$ 은 $f:U\to \mathbb {C}$ 전형 함수입니다. γ $\gamma :[a,b]\to U$ : [ $,$ b] → U {\displaystyle \ gamma :[a, b]\to U}를 매끄러운 폐곡선이라고 합니다. γ ${\displaystyle$ \gamma}이(가) 상수 곡선과 동형인 경우:

\int_{\gamma }f(z)\, dz=0.

(곡선에서 상수 곡선으로 매끄러운 호모토피(

U {\display

U

}

내

U

가 존재하는 경우 곡선은 상수 곡선과 동소성임을 기억하십시오. 직관적으로 이는 공간을 빠져나가지 않고도 곡선을 한 점으로 축소할 수 있음을 의미합니다. 첫 번째 버전은 단순히 연결된 집합에서 모든 폐곡선이 상수곡선과 동소성을 갖기 때문에 이에 대한 특별한 경우입니다.

주요예시

두 경우 모두 곡선 $\gamma$ γ {\displaystyle $\gamma$ \gamma}가 정의역의 "구멍"을 둘러싸지 않거나, 그렇지 않으면 정리가 적용되지 않는다는 점을 기억하는 것이 중요합니다. 유명한 예로는 다음과 같은 곡선이 있습니다.

\gamma(t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right],

그것은 단위 원을 추적합니다. 여기서 적분은 다음과 같습니다.

\int_{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=2\pii\neq 0,

는 0이 아닙니다.

f(z)=1/z

서는

f(z)=1/z

) = 1

f(z)=1/z

/ z {\

displaystyle

f(z) = 1/

f(z)=1/z

}가 z = 0 {\displaystyle z = 0}에서 정의되지 않으므로 코시 적분 정리가 적용되지 않습니다. 직관적으로 γ {\displaystyle \ gamma }는 f {\displaystyle f} 도메인의 "구멍"을 둘러싸고 있습니다. 따라서

\gamma

γ

{\displaystyle

\ gamma }은(는) 공간을 빠져나오지 않고 점으로 축소할 수 없습니다. 따라서 이 정리는 적용되지 않습니다.

논의

에두아르 구르사트가 보여주었듯이, 코시의 적분 정리는 복소 $f'(z)$ f $f'(z)$ $f'(z)$ ${\displaystyle$ f $'(z)}$ 가 U ${\displaystyle$ U $}$ 의 모든 곳에 존재한다고 $f'(z)$ 가정할 때만 증명될 수 있습니다 $U$ 그러면 이러한 함수에 대한 코시의 적분 공식을 증명할 수 있기 때문에 이것은 중요합니다. 그리고 그 추론으로부터 이 함수들은 무한히 구별될 수 있습니다.

The condition that $U$ be simply connected means that $U$ has no "holes" or, in homotopy terms, that the fundamental group of $U$ is trivial; for instance, every open disk ${\displaystyle U_{z_{0}}=\{z:$ $\mathbb$ {C}의 $z_{0}\in \mathbb {C}$ \ $left$ $z_{0}\right <r$ $\},$ z 0 $∈$ C {\displaystyle $z_{$ 0}\에 대해 자격이 부여됩니다. 상태가 매우 중요합니다.

\gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right]

단위 원을 추적하고 경로 적분을 수행합니다.

\oint _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}(ie^{it}\,dt)=\int _{0}^{2\pi }i\,dt=2\pi i

는 0이 아닙니다.

f(z)=1/z

(

f(z)=1/z

= 1

f(z)=1/z

/

f(z)=1/z

z {\

displaystyle

f(z) = 1 / z는 z = 0 {\displaystyle z = 0}에서 정의되지 않기 때문에 여기에는 코시 적분 정리가 적용되지 않습니다.

이 정리의 중요한 결과 중 하나는 단순히 연결된 도메인에 대한 홀로모픽 함수의 경로 적분이 미적분학의 기본 정리에서 익숙한 방식으로 계산될 수 있다는 것입니다. $U$ ${\displaystyle$ U $}$ 를 $\mathbb {C}$ $\mathbb {C$ 의 단순히 연결된 열린 부분 집합이라고 하고 $\mathbb {C}$ $f:U\to \mathbb {C}$ : $f:U\to \mathbb {C}$ → C ${\displaystyle f:$ $U\to \mathbb {C} }$ be a holomorphic function, and let $\gamma$ be a piecewise continuously differentiable path in $U$ with start point $a$ and end point $b$ . If $F$ is a complex antiderivative of $f$ , 그리고나서

\int_{\gamma }f(z)\,dz=F(b)-F(a).

코시 적분 정리는 위에서 주어진 것보다 약한 가설로 유효합니다. 예를 들어, $\mathbb {C}$ ${\$ 의 단순히 연결된 열린 부분 $U$ U ${\displaystyle$ U $}$ 가 주어지면 $\mathbb {C}$ we can weaken the assumptions to $f$ being holomorphic on $U$ and continuous on ${\textstyle {\overline {U}}}$ and $\gamma$ a rectifiable simple loop in ${\textstyle {\overline {U}}}$ .^[1]

코시 적분 정리는 코시 적분 공식과 잔차 정리로 이어집니다.

증명

복소함수의 편미분이 연속적이라고 가정하면, 코시 적분 정리는 그린 정리와 $f=u+iv$ = $f=u+iv$ + $f=u+iv$ {\ $displaystyle$ f = u+iv}의 실수 부분과 허수 부분이 γ {\displaystyle \ gamma }에 의해 경계지어지는 영역과 더욱이 이 영역의 열린 이웃 U에서 코시-리만 방정식을 만족해야 한다는 사실의 직접적인 결과로 증명될 수 있습니다. 코시는 이 증명을 제공했지만, 나중에 구르사트에 의해 벡터 미적분학의 기술, 즉 편미분학의 연속성을 요구하지 않고 증명되었습니다.

적분기 $f$ ${\displaystyle f$ 와 미분 $dz$ $dz$ 를 실수 및 허수 성분으로 $dz$ 분해할 수 있습니다.

f=u+iv

dz= dx+i\,dy

이 경우 우리는

\point _{\gamma }f(z)\, dz=\point _{\gamma }(u+iv)(dx+i\,dy)=\point _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)+i\point _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)

그런 다음 그린의 정리를 통해 닫힌 등고선 $\gamma$ γ ${\$ displaystyle $\gamma$ \gamma} 주변의 적분을 $D$ D ${\displaystyle$ D} 전체의 적분으로 대체할 수 있으며 $,$ 이 영역은 다음과 같이 γ ${\displaystyle$ \gamma}로 $\gamma$ 있습니다.

\point_{\gamma }(u\,dx-v\,dy)=\iint_{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\partial u}{\partial y}\right)\,dx\,dy

\point_{\gamma }(v\,dx+u\,dy)=\iint_{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\partial v}{\partial y}\right)\,dx\,dy

그러나 $도메인$ $D$ $D$ 에서 동형인 함수의 실수부와 허수부이므로 $D$ u $u$ 와 $u$ $v$ $v$ 는 다음과 같은 코시-리만 방정식을 $v$ 만족해야 합니다.

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}

{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}

따라서 우리는 두 적분(따라서 그들의 적분)이 모두 0임을 발견합니다.

\iint_{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\partial u}{\partial y}\right)\,dx\,dy=\iint_{D}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial u}{\partial y}\right)\,dx\,dy=0

\iint_{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint_{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial x}\right)\,dx\,dy=0

이것은 원하는 결과를 제공합니다.

\point _{\gamma }f(z)\, dz=0

참고 항목

참고문헌

^ Walsh, J. L. (1933-05-01). "The Cauchy-Goursat Theorem for Rectifiable Jordan Curves". Proceedings of the National Academy of Sciences. 19 (5): 540–541. doi:10.1073/pnas.19.5.540. ISSN 0027-8424. PMC 1086062. PMID 16587781.

Kodaira, Kunihiko (2007), Complex Analysis, Cambridge Stud. Adv. Math., 107, CUP, ISBN 978-0-521-80937-5
Ahlfors, Lars (2000), Complex Analysis, McGraw-Hill series in Mathematics, McGraw-Hill, ISBN 0-07-000657-1
Lang, Serge (2003), Complex Analysis, Springer Verlag GTM, Springer Verlag
Rudin, Walter (2000), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill series in mathematics, McGraw-Hill

외부 링크

"Cauchy integral theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Cauchy Integral Theorem". MathWorld.
Jeremy Orloff, 2018년 봄 매사추세츠 공과대학교: MIT OpenCourseWare Creative Commons.

[1] Walsh, J. L. (1933-05-01). "The Cauchy-Goursat Theorem for Rectifiable Jordan Curves". Proceedings of the National Academy of Sciences. 19 (5): 540–541. doi:10.1073/pnas.19.5.540. ISSN 0027-8424. PMC 1086062. PMID 16587781.

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