맥동유동

유체 역학에서 주기적인 변동을 가진 흐름을 맥동 흐름, 또는 워머슬리 흐름이라고 한다.흐름 프로파일은 처음에 John R에 의해 도출되었다. 동맥에 혈류가 흐른 작품 속 워머슬리(1907–^[1]1958).화음동물의 심혈관계는 맥동 흐름이 발견되는 아주 좋은 예지만, 유체를 펌핑하는 회전 메커니즘의 결과로서 엔진과 유압 시스템에서도 맥동 흐름이 관찰된다.null

방정식

휘발성 유동 프로필은 직진 파이프에 다음과 같이 제공된다.

${\displaystyle u(r,t)=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=0}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2})}}\right]e^{in\omega t}\right\}\,,}$

여기서:

u	종방향 유속이다.
r	반지름 좌표,
t	시간이다,
α	차원이 없는 워머슬리 번호야
ω	진동 압력 구배의 푸리에 시리즈 첫 번째 고조파의 각도 주파수,
n	자연적인 숫자야
P'n	주파수 nΩ에 대한 압력 구배 크기,
ρ	유체 밀도,
μ	동적 점성이야
R	파이프 반지름,
J0(·)	제1종류의 베셀함수 0순번이다.
i	상상의 숫자일 뿐 아니라
리{·}	복잡한 숫자의 진짜 부분이야null

특성.

워머슬리 수

맥동 유량 프로필은 워머슬리 수에 따라 모양이 바뀐다.

${\displaystyle \alpha =R\left({\frac {\omega \rho}}{\mu }}}\오른쪽)^{1/2}\,}$

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lesssim }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \alpha \lesssim 2}$의 경우$,$ 비스코스 힘이 흐름을 지배하며, 펄스는 포물선 프로파일의 준정적인 것으로 간주된다.$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gtrsim }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \alpha \gtrsim 2$의 경우 관성력이 중심핵에서 지배적인 반면, 점성력은 경계층 근처에서 지배한다.따라서, 속도 프로파일은 평평해지고, 압력 파와 속도 파 사이의 위상은 중심부를 향해 이동한다.^{[citation needed]}null

함수 한계

하한

Besel 함수의 하한은^[2]

${\displaystyle \lim_{z\to \inflt }J_{0}(z)=1-{\\frac {z^{2}}:{4}\}}}$

Hagen-Poiseuille 흐름 프로파일로 수렴하여 지속적인 흐름 유지

${\displaystyle \lim _{n\to 0}u(r,t)=-{\frac {P'_{0}}}}{4\mu}}}}}\좌측(R^{2}-r^{2}\오른쪽)\}$

또는 포물선 프로파일이 있는 준정적 펄스로 이동한다.

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}u(r,t)=\mathrm {Re} \left\{-\sum _{n=0}^{N}{\frac {P'_{n}}{4\mu }}(R^{2}-r^{2})\,e^{in\omega t}\right\}=-\sum _{n=0}^{N}{\frac {P'_{n}}{4\mu }}(R^{2}-r^{2})\,\cos(n\omega t)\,.}$

이 경우, 압력과 속도파가 위상에 있기 때문에 기능이 실제적이다.null

상한

상한에^[2] 있는 베셀 함수는

${\displaystyle \lim_{z\to \inflt }J_{0}(z\,i)={\frac {e^{z}}{\sqrt{2\pi \}}}\}}}$

로 수렴되는.

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }u(r,t)=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=0}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-e^{\alpha \,n^{1/2}\,i^{1/2}\left({\frac {r}{R}}-1\right)}\right]e^{in\omega t}\right\}=-\sum _{n=0}^{N}{\frac {\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-e^{\alpha \,n^{1/2}\left({\frac {r}{R}}-1\right)}\right]\sin(n\,\omega \,t)\,.}$

이것은 진동하는 플랫 플레이트의 스톡스 층을 연상시키거나, 또는 전기 도체에 교번 자기장이 피부 깊이 침투하는 것을 연상시킨다.표면 $u{\displaystyle (r}$= ${\displaystyle R}$, t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle u(r=R,t)=0$ 그러나 지수 항은 ${\displaystyle \mathrm{\alpha }(1}$ -${\displaystyle }$r /${\displaystyle R}$ )$${\$displaystyle \alpha(1-r/R)}$이 크면 무시해도 될 정도로 커지며, 속도 프로파일은 거의 일정해지고 점도과는 독립적으로 된다.따라서 흐름은 압력 경사에 따라 플러그 프로필로 단순히 진동한다.

${\displaystyle \rho {\frac {\partial u}{\partial t}=-\sum _{n=0}^{N}P'_{n}\,}$

그러나 벽 가까이에서 두께 $O{\displaystyle \mathcal{}}$(${\displaystyle {\mathrm{\alpha }}^{}}$- 1$){\displaystyle {\mathcal {O}(\alpha ^{-1})$의 층에서 속도는 0으로 빠르게 조정된다$.$더욱이, 시간 진동 위상은 계층 전체에 걸친 위치에 따라 빠르게 변화한다.높은 주파수의 기하급수적인 붕괴가 더 빠르다.null

파생

이 비 역류 흐름 속도 프로파일의 분석 솔루션을 도출하기 위해 다음과 같은 가정을 취한다.^[3][4]

• 유체는 균질하고, 압축할 수 없으며, 뉴턴식이다.
• 튜브 벽은 견고하고 원형이다.
• 운동은 층, 축대칭이며 관의 축에 평행하다.
• 경계 조건은 다음과 같다. 중심에는 축대칭이, 벽에는 미끄러짐이 없는 조건.
• 압력 경사는 유체를 구동하는 주기적인 기능이다.
• 중력은 유체에 영향을 주지 않는다.

따라서 Navier-Stokes 방정식과 연속성 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle \rho {\frac {\frac {\fract t}=-{\frac {\frac}{\property x}}\mu \left\frac\frac}{2}}}}{\frac {1}{r}{r}}}},},},},}$

그리고

${\displaystyle {\frac {\property u}{\pair x}=0\}$

각각맥동 흐름을 구동하는 압력 구배는 푸리에 시리즈에서 분해된다.

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}=\sum _{n=0}^{n}P'_{n}e^{in\omega t}\}}$

where ${\displaystyle i}$ is the imaginary number, ${\displaystyle \omega }$ is the angular frequency of the first harmonic (i.e., ${\displaystyle n=1}$), and ${\displaystyle P'_{n}}$ are the amplitudes of each harmonic ${\displaystyle n}$. Note that, ${\displaystyle P'_{0}}$ (stan$n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n=0$에 대한 딩은 정상 상태 압력 구배로서, 부호는 정상 상태 속도(즉, 음의 압력 구배가 양의 흐름을 산출함)와 반대된다.마찬가지로, 속도 프로파일은 압력 구배와 위상에서 푸리에 시리즈에서도 분해된다. 액체는 압축할 수 없기 때문이다.

${\displaystyle u(r,t)=\sum _{n=0}^{N}U_{n}e^{in\omega t}\}}$

여기서 $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$는 주기함수의 각 고조파 진폭이며, 안정 성분(${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyn=0$은 그야말로 Poiseuille flow이다.

${\displaystyle U_{0}=-{\frac {P'_{0}{0}}}{4\mu}}}}}\왼쪽(R^{2}-r^{2}\오른쪽)\,}$

따라서 각 고조파에 대한 Navier-Stokes 방정식은 다음과 같이 읽는다.

${\displaystyle i\rho n\\omega U_{n}=-P'_{n}+\mu \left({\frac {\partial ^{2})U_{n}}{\partial r^{2}}+{\frac {1}{1}{r}{\partial U_{n}}{\partial r}\,\,}$

경계 조건을 만족한 상태에서 진동 부분에 대한 이 일반적인 미분 방정식의 일반적인 해법(${\displaystyle }$≥ ${\displaystyle 1}$ $[\displaystyle n\geq 1$은 다음과 같다.

${\displaystyle U_{n}(r)=A_{n}\,J_{0}\왼쪽(\알파 \,{\frac {R}{R}}}{R}n^{1/2}\,i^{3/2}\오른쪽)++B_{n}\,Y_{0}\좌측(\알파 \,{\frac {r}{R}{R}}{R}n^{1/2}}\,i^{3/2}}\우측)+{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\n\}}$

where ${\displaystyle J_{0}(\cdot )}$ is the Bessel function of first kind and order zero, ${\displaystyle Y_{0}(\cdot )}$ is the Bessel function of second kind and order zero, ${\displaystyle A_{n}}$ and ${\displaystyle B_{n}}$ are arbitrary constants, and ${\displaystyle \alpha =R\surd (\omega \rho /\mu }$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \alpha =R\surd (\omega \rho /\mu )}$은 치수 없는 워머슬리 번호다.The axisymetic boundary condition (${\displaystyle \partial U_{n}/\partial r _{r=0}=0}$) is applied to show that ${\displaystyle B_{n}=0}$ for the derivative of above equation to be valid, as the derivatives ${\displaystyle J_{0}'}$ and ${\displaystyle Y_{0}$$'}$ 무한에 접근하다$$.Next, the wall non-slip boundary condition (${\displaystyle U_{n}(R)=0}$) yields ${\displaystyle A_{n}=-{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}{\frac {1}{J_{0}\left(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\right)}}}$. Hence, the amplitudes$$ $고조파{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$의 속도 프로파일이

${\displaystyle U_{n}(r)={\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2})}}\right]={\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\,,}$

여기서 ${\displaystyle {\lambda n}_{}}$ =${\displaystyle {}_{}\alpha n{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ 2 ${\displaystyle {i\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 3{}^{}{}^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$은 단순화를 위해 사용된다$$.속도 프로필 자체는 펄스의 모든 고조파 합계에서 나온 복잡한 기능의 실제 부분을 취함으로써 얻는다.

${\displaystyle u(r,t)={\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)+\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{in\omega t}\right\}\,.}$

유량

유량은 단면의 속도장을 통합하여 구한다.이후

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[x^{p}J_{p}(a\,x)\right]=a\,x^{p}J_{p-1}(a\,x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{dx}}\left[x\,J_{1}(a\,x)\right]=a\,xJ_{0}(a\,x)\,,}$

그때

${\displaystyle Q(t)=\iint u(r,t)\,dA=\mathrm {Re} \left\{\pi \,R^{2}\,\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {2}{\Lambda _{n}}}{\frac {J_{1}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n}}}}\right]e^{in\omega t}\right\}\,}$

속도 프로파일

속도 프로파일의 형상을 비교하기 위해 다음과 같이 가정할 수 있다.

${\displaystyle u(r,t)=f(r)\,{\frac {Q(t)}{A}\}$

어디에

${\displaystyle f(r)={\frac {u(r,t)}{\frac {Q(t)}{A}}}=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}\left[{\frac {\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n})-\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n})-2\,J_{1}(\Lambda _{n})}}\right]\right\}}$

형상함수다.^[5]이 공식은 관성 효과를 무시한다는 것을 알아두는 것이 중요하다.속도 프로파일은 각각 낮은 또는 높은 워머슬리 숫자에 대한 포물선 프로파일 또는 플러그 프로파일에 가깝다.null

벽전단응력

직선 파이프의 경우 벽 전단 응력은

$\displaystyle \tau _{w}=\mu \left.{\frac {\partial u}{\partial r}\오른쪽 _{r=R}\,}$

베셀함수의 파생상품은

${\displaystyle {\frac {\partial x}\왼쪽[x^{-p}J_{-p}(a\,x)\right]=a\,x^{p^{p+1}(a\,x)\quad \rightarrow \quad {\partial }{partial x\}}}}}}}}J_{0}(a\,x)\right]=-a\,J_{1}(a\,x)\,.}$

그러므로,

${\displaystyle \tau _{w}=\mathrm {Re} \left\{\\\\sum_{n1}{n}{\frac {R}{\lambda _{n}}{\frac {J_{1}(\Lambda _{n}}}}}}){{{}}}}}}}}}}}}}{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}J_{0}(\Lambda _{n})}e^{in\omega t}\right\}\,}$

중심선 속도

압력 $그라데이션{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {Pn}_{}^{}}$ $′{\$을 측정하지$$ 않더라도 중심선에서 속도를 측정하여 얻을 수 있다.측정된 속도는 전체 표현식의 실제 부분만을 다음과 같은 형태로 가지고 있다.

${\displaystyle {\tilde{u}}(t)=\mathrm {Re}(u(0,t))\equiv \sum _{n=1}^{{N}{\tilde{U}\cos(n\,\\omega \t)\,}$

${\displaystyle \mathrm{J}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle J_{0}(0)=1$ 전체 물리적 식이

${\displaystyle u(0,t)=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})-1}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{in\omega t}\right\}}$

중앙선에서측정 속도는 복잡한 숫자의 일부 특성을 적용하여 전체 식과 비교한다.For any product of complex numbers (${\displaystyle C=AB}$), the amplitude and phase have the relations ${\displaystyle C = A B }$ and ${\displaystyle \phi _{C}=\phi _{A}+\phi _{B}}$, respectively.그러므로,

${\displaystyle {\tilde {U}}_{n}=\left {\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})-1}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right \quad \Rightarrow \quad P'_{n}={\tilde {U}}_{n}\left i\,\rho \,n\,\omega \left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})}{1-J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right }$

그리고

${\displaystyle {\tilde {\phi }}=0=\phi _{P'_{n}}+\phi _{U_{n}}\quad \Rightarrow \quad \phi _{P'_{n}}=\operatorname {phase} \left({\frac {i}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {1-J_{0}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n}}}\right]\right)\...}$

마침내 그 결과가 나오는.

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}=\sum _{n=1}^{N}{\tilde {U}}_{n}\left i\,\rho \,n\,\omega \left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})}{1-J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right \,\cos \left\{n\,\omega \,t+\operatorname {phase} \left({\frac {i}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {1-J_{0}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n}}}}\right]\right)\right\}\,}$

참고 항목

• 심혈관계계통
• 혈류역학
• 워머슬리 수
• 유체 해머

참조