타원체

타원체는 방향성 비늘 또는 보다 일반적으로 아핀 변환에 의해 변형됨으로써 구체로부터 얻을 수 있는 표면이다.

타원체는 4차원 표면이다. 즉, 세 변수에서 2차 다항식의 0 집합으로 정의될 수 있는 표면이다.4차원 표면 중 타원체는 다음 두 가지 특성 중 하나로 특징지어진다.모든 평면 단면은 타원형이거나 비어 있거나 단일 점으로 축소됩니다(이는 "타원형"이라는 의미인 이름을 설명함).그것은 충분히 큰 구에 둘러싸일 수 있다는 것을 의미한다.

타원체는 타원체의 중심이라고 불리는 대칭의 중심에서 교차하는 세 쌍의 수직 대칭 축을 가지고 있다.타원체에 의해 대칭 축에 구분된 선분을 주축 또는 단순히 타원체의 축이라고 합니다.3개의 축의 길이가 다른 경우는 3축 타원체(희귀한 스칼렌 타원체)이며, 그 축은 일의로 정의된다.

만약 두 축의 길이가 같다면, 타원체는 회전하는 타원체이며, 타원체라고도 불립니다.이 경우, 타원체는 제3축을 중심으로 회전할 때 불변하기 때문에 길이가 같은 두 개의 수직축을 선택하는 방법은 무한히 많다.세 번째 축이 짧으면 타원체는 타원형 구상체이고, 길면 프로레이트 구상체입니다.세 축의 길이가 같으면 타원체는 구면이다.

표준 방정식

원점이 타원체의 중심이고 좌표축이 타원체의 축인 데카르트 좌표계를 사용하여 타원체의 암묵적 방정식은 표준 형태를 갖는다.

${\displaystyle {x^2}} {a^{2}} + {\frac {y^{2}} {b^{2}} + {\frac {z^{2}} {c^{2}} = 1,}$

여기서 a, b, c는 양의 실수입니다.

점(a, 0, 0), (0, b, 0) 및 (0, 0, 0, c)은 표면에 있습니다.원점에서 이들 점까지의 선분은 a, b, c가 주축 길이의 절반이기 때문에 타원체의 주반축이라고 불립니다.이들은 타원의 반장축과 반단축에 해당합니다.

a = b > c이면 타원형 구상체, a = b < c이면 프로레이트 구상체, a = b = c이면 구면체이다.

파라미터화

타원체는 여러 가지 방법으로 매개 변수를 지정할 수 있으며, 이는 타원체 축이 좌표 축과 일치할 때 더 쉽게 표현할 수 있습니다.일반적인 선택은

$(\displaystyle\syn(\theta)x&=sin(\varphi),\y&=b\sin(\theta)\sin(\varphi),\z&=c\cos(\theta),\end{aligned},\!)$

어디에

$\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi , \qquad 0\leq \varphi < 2 \pi }$

이들 파라미터는 구면좌표로 해석할 수 있다.여기서 θ는 극의 각도이고 θ는 ^[1]타원체의 점(x, y, z)의 방위각이다.

막대기보다 중심에서 측정하면

$(\displaystyle\displaystyle\cos(\theta)x&=cos(\theta),\y&=b\cos(\theta),\sin(\theta),\end{aligned},\!)$

어디에

${\displaystyle - {\tfrac {2}} \leq \theta \tfrac \pi } {2}, \qquad 0 \leq \laugda < 2 \pi , }$

θ는 위도, 파라메트릭 위도 또는 편심 이상, θ는 방위각 또는 경도입니다.

외접구가 아닌 타원체 표면에 직접 각도를 측정하는 것

${\displaystyle {bmatrix}x\y\end{bmatrix}=R{\begin{bmatrix}\cos(\gamma)\cos(\cos(\cos(\cos)\sin(\cos(\cosda)\sin(\sin(\camda)\csin(\csin(\sin(\sin)\damplatrix!$

어디에

$디스플레이 스타일R={}&{\frac {c}{\fracrt {c^{2}\left(b^{2}\cos ^{2}\cos +a^{2}\cos ^{2}\fright)\cos ^{2}\cos +a^{2}\cos ^{2}\fright},\frac {3&t}$

θ는 지구 중심 위도이고, θ는 경도입니다.이것들은 타원체의 ^{[citation needed]}중심에 원점이 있는 진짜 구면 좌표입니다.

측지학에서 측지위도는 2축 타원체에 대해 정의된 수직면과 적도면 사이의 각도로 가장 일반적으로 사용됩니다.보다 일반적인 3축 타원체는 타원 위도를 참조하십시오.

용량

타원체로 둘러싸인 부피는

${\displaystyle V=tfrac {4}{3}}\pi abc.}$

주 직경 A, B, C(여기서 A = 2a, B = 2b, C = 2c)의 관점에서 부피는 다음과 같습니다.

$displaystyle$$ABC$

이 방정식은 세 개의 타원 반지름이 모두 같을 때 구체의 부피와 두 개가 같을 때 타원체 또는 프롤레이트 구체의 부피로 감소합니다.

타원체의 부피는 외접 타원 원통의 부피의 2/3이며 외접 상자의 부피는 µ/6이다.내접 상자 및 외접 상자의 부피는 각각 다음과 같습니다.

$({displaystyle V_{\text{inscribed}}=frac {8}{3grt {3}}}}}}},\qquad V_{\text{circumscribed}}=8abc).}$

표면적

일반(삼축) 타원체의^[2][3] 표면적은 다음과 같다.

$\displaystyle S=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi ab}{\sin(\varphi),k}}\left(E(\varphi,k),\sin ^{2}(\varphi,k),\cos ^{2}(\varphi)\right)$

어디에

${\displaystyle \cos(\varphi)=sqquad k^{2}=sqfrac {a^{2}\left(b^{2}-c^{2}\right)}{b^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right)},\qad\ge, c^{q}c}ge, bge$

여기서 F(θ, k)와 E(θ, k)는 각각 ^[4]제1종과 제2종의 불완전한 타원 적분이다.

회전 타원체(또는 타원체)의 표면적은 기본 함수로 표현될 수 있다.

$\displaystyle S_{\text{oblate}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c^{2}}{ea^{2}}}\operatorname {artanh} e\right},\qquad {e^{2}=1-{\frac {c}{c}}}{text}}}{{text}}}}{text}}}}}}}{text}}{text}}}}}}}}}}}{text}}}}}}}}}}}}$

또는

$({displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}}{e}}}\operatorname {artanh} e\right)})$

또는

$({displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\+{e}}\ln {frac {1+e}{1-e}})$

그리고.

$\displaystyle S_{\text{prolate}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin e\right)\qquad {text{}=1-{\frac {a^{2}}{\text}{c}}}{\text{c}}}}{c}}}}}{c}}}}}}}}}}},$

이는 기본 삼각형의 동일성에서와 같이 동등한 식이다(즉, S의_oblate 공식을 사용하여 프로레이트 타원체의 표면적을 계산할 수 있으며 그 반대도 가능하다).어느 경우든 e는 대칭축을 통과하는 단면에 의해 형성된 타원의 편심으로서 다시 식별될 수 있다.(타원 참조).이러한 결과의 파생은 표준 소스(예: Mathworld)^[5]에서 찾을 수 있습니다.

근사 공식

${\displaystyle S\apprough 4\pi {sqrt[{p}}{\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}}{3}},\!}$

여기서 p ≤ 1.6075는 최대 1.061%^[6]의 상대 오차를 생성한다. p = 8/5 = 1.6의 값은 최대 1.14%의 상대 오차로 거의 구형 타원체에 최적이다.

a와 b보다 훨씬 작은 c의 "평탄한" 한계에서 면적은 약 2µab으로, p = log3₂ 1 1.5849625007에 해당합니다.

평면 단면

평면과 구의 교차점은 원(또는 단일 점으로 축소되거나 비어 있음)입니다.타원체는 아핀 변환 시 단위 구체의 이미지이며, 평면은 동일한 변환 시 다른 평면의 이미지입니다.따라서 아핀 변환은 원을 타원형으로 매핑하기 때문에 평면과 타원형의 교점은 타원형 또는 단일점이거나 ^[7]비어 있습니다.분명히, 스페로이드에는 원이 포함되어 있습니다.이는 3축 타원체의 경우에도 해당되지만 명확하지 않습니다(원형 섹션 참조).

평면 단면의 타원 결정

주어진 값: 타원체 x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 및 타원이 공통인 방정식이_x nx + ny_y + nz_z = d인 평면.

Wanted: 타원이 파라메트릭 방정식으로 표현될 수 있도록 3개의 벡터₀ f(가운데)와₁ f, f₂(공역 벡터)

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {f} _{0}+\mathbf {f} _{1}\cos t+\mathbf {f} _{2}\sin t}$

(타원 참조).

솔루션:스케일 u = x/a, v = y/b, w = z/c는 타원체를 단위 구 u² + v² + w² = 1로 변환하고 주어진 평면을 방정식으로 평면으로 변환합니다.

$\displaystyle \n_{x}au+n_{y}bv+n_{z}cw=d.}$

mu + mv_v + mw_w = θ를 새 평면의 헤세 정규형이라고 가정하고_u

$\displaystyle \;\mathbf {m} = scap{bmatrix}m_{u}\m_{v}\m_{w}\end{bmatrix}\;}$

단위 법선 벡터입니다.이런 이유로

$\displaystyle \mathbf {e} _{0}=\display \mathbf {m} \;}$

교점 원의 중심이고

${\displaystyle \;\rho = paramrt {1-\display ^{2}}\;}$

반지름(그림 참조).

여기서_w m = ±1(즉, 평면이 수평)인 경우,

$\displaystyle \\mathbf {e} _{1} = rho \ 0 \ \ 0 \ \ end { bmatrix } , \qquad \ mathbf { e } _ {2} = rho \ 0 \ \ end { bmatrix } 。}$

여기서_w m ≤ ±1은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {e} _{1} = specrt {m_{u}^{2} + m_{v}^2}}, {\spec {bmatrix} m_{v}\\\m_{u}\0\end{bmatrix},\qad \mathbf {e} {e}_2} _f}$

어쨌든₁ 벡터 e, e는₂ 교점평면에 평행하고 길이 θ(원의 반지름)를 가진다.따라서 교차원은 파라메트릭 방정식으로 설명할 수 있다.

$\displaystyle \;\mathbf {u} =\mathbf {e} _{0}+\mathbf {e} _{1}\cos t+\mathbf {e} _{2}\sin t\;}$

역 스케일링(위 참조)은 단위 구를 다시 타원체로 변환하고 e, e₁, e₂, e는₀ 교차 타원의 파라메트릭 표현에 필요한 벡터₀ f, f₁, f에₂ 매핑됩니다.

타원의 정점과 반축을 찾는 방법은 타원에 설명되어 있습니다.

예:다이어그램은 평면 x + y + z = 5로 절단된 반원형 a = 4, b = 5, c = 3을 갖는 타원체를 보여준다.

핀 앤 스트링 구조

타원체의 핀과 스트링 구조는 두 개의 핀과 스트링을 사용하여 타원을 구성하는 아이디어의 전달이다(그림 참조).

회전 타원의 핀 스트링 구조에 의해 회전 타원체의 핀 스트링 구조를 제공한다.

3축 타원체의 점 구성은 더 복잡하다.첫 번째 아이디어는 스코틀랜드의 물리학자 J. C. 맥스웰(1868)^[8]에게 있다.주요 조사와 4진법의 확장은 독일의 수학자 O에 의해 이루어졌다.1882년, 1886년,^[9][10][11] 1898년에 세워졌습니다.타원체와 쌍곡선의 핀 앤 스트링 구조에 대한 설명은 기하학과 D에 의해 쓰여진 상상력에 포함되어 있다. 힐버트 & S.^[12] 보슨도요

시공 단계

1. 초점 원뿔 쌍인 타원 E와 쌍곡선 H를 선택합니다.
   $$(\displaystyle\begin{aligned}E(\varphi)&=(a\cos \varphi,b\sin \varphi,0)\\\\\\H(\psi)&=(c\cosh \psi,0,b\sinh \psi),\cisco c^{2}=a^{2}-b^{2}\end{aligned}}$$

   
   타원의 꼭지점과 원점을 가지고
   $$\displaystyle S_{1}=(a,0,0),\quad F_{1}=(c,0,0),\quad F_{2}=sqc,0,0),\quad S_{2}=sqa,0,0}$$

   
   길이 l의 문자열(빨간색 다이어그램)을 지정합니다.
2. 문자열의 한쪽 끝을 정점₁ S에 핀으로 고정하고 다른 한쪽 끝을 F에 핀으로₂ 고정합니다.문자열은 쌍곡선의 위쪽 부분(그림 참조) 뒤에서 S에서₁ P로 이동하고 쌍곡선을 자유롭게 슬라이드할 수 있도록 양의 y 좌표와 z 좌표가 있는 점 P에서 단단히 고정됩니다.P에서 F로 이어지는₂ 문자열 부분은 타원 앞으로 이동하고 미끄러집니다.문자열은 쌍곡선의 해당 점을 통과하며, 이 점에 대해 쌍곡선의 거리₁ S P는 최소입니다.문자열의 두 번째 부분과 타원에 대한 유사한 문장도 참이어야 합니다.
3. 그러면: P는 방정식을 가진 타원체의 점입니다.
   $${\displaystyle {displaystyle {x^{2}&{\frac {y}^{2}}+{\frac {z}{2}+{\frac {z}^{2}}=1\&r_{x}=frac {1}{2}+c},{\frac {\frac{2}},\end { aligned}}$$

   
4. 타원체의 나머지 점은 초점 원뿔에서 적절한 문자열 변경으로 구성할 수 있습니다.

반축

생성된 타원체의 반축 방정식은 점 P에 대한 특별한 선택을 통해 도출할 수 있습니다.

$\displaystyle Y=(0,r_{y},0),\quad Z=(0,0,r_{z}).}$

그림의 아래쪽은 F와₂ F도 xy 평면에서 타원의 포치임을 나타냅니다₁.따라서 주어진 타원에 공초점이며 문자열의 길이는 l = 2r_x + (a - c)이다.r에 대한_x 해결은 r = 1/2(l - a + c)를 산출하며_x, 더 나아가²
_y r = r²
_x - c를² 산출합니다.

위 다이어그램에서 우리는 S와₂ S가₁ xz 평면에서 타원 단면의 foci이고 r²
_x = r² - a임을²
_z 알 수 있다.

컨버스

반대로 3축 타원체가 그 방정식으로 주어지면 스텝 3의 방정식으로부터 핀 스트링 구조의 파라미터 a, b, l을 도출할 수 있다.

공초점 타원체

E가 E에 대해 반축의 제곱을 갖는 공초점 타원체인 경우

${\displaystyle {r}_{x}^{2}-\displayda,\displaystyle {r}_{y}^2}=r_{y}^2}-\displayda,\display {r}_{z}^{2}-\displayda}$

그리고 E의 방정식에서

${\displaystyle r_{x}^{2}-r_{y}^^{2}=c^{2},\display r_{x}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2}-c^{2}=b^2}}$

핀과 스트링 구조에 사용되는 해당 초점 원뿔이 타원체 E와 동일한 반축 a, b, c를 갖는다는 것을 알 수 있다.따라서 (타원의 포시와 유사하게) 3축 타원체의 초점 원추형을 (무한히 많은) 포시로 간주하고 그것들을 ^[13]타원체의 초점 곡선이라고 부른다.

converse 스테이트먼트도 true입니다.길이 l의 두 번째 스트링을 선택하고 정의하면

${\displaystyle \displayda = r_{x}^2}-{\overline {r}_{x}^2}$

그럼 방정식은

${{displaystyle {r}_{y}^2}=r_{y}^2}-\subda,\subda({overline {r}_{z}^2}=r_{z}^2}-\subda}$

유효하다는 것은 두 타원체가 공초점임을 의미합니다.

한계 대소문자, 회전 타원체

= c(구형)인 경우 S = F₁ 및 S₂ = F를₂ 얻을₁ 수 있습니다. 즉, 초점 타원이 선 세그먼트로 퇴보하고 초점 쌍곡선이 x축에서 두 개의 무한 선 세그먼트로 축소됩니다.타원체는 x축을 중심으로 회전 대칭이며

${\displaystyle r_{}}$ x ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle l{}_{}}$2, ${\displaystyle r_{}}$ y ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ z ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r\sqrt{{}_{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{x_{\mathrm{}}^{}}}$ - c$2$ { { $displaystyle r _$ { x }$= r$_ { y } =$r_$ { z } =$scrt${$r$_ { $x }$ - $c^$ {2$}$}$$} 。

초점 쌍곡선의 특성

참곡선

만약 누군가가 초점 쌍곡선의 외부 점 V에서 타원체를 볼 때, 그것이 구처럼 보이는 경우, 그것은 원이다.마찬가지로 점 V를 포함한 타원체의 접선은 원뿔의 선으로, 회전축은 ^[14][15]V에서의 쌍곡선의 접선이 된다.만약 중심 V가 무한대로 사라지게 한다면, 초점 쌍곡선의 대응하는 점근선을 그 방향으로 하는 직교 평행 투영을 얻을 수 있다.타원체의 실제 형상 곡선(접선점)은 원이 아닙니다.

그림의 아래쪽은 점근점을 따라 타원체(반축 60, 40, 30)의 평행 투영을 나타내고 오른쪽은 V 지점에서 쌍곡선의 접선에 중심 V와 중심점 H가 있는 중심 투영을 나타냅니다. (H는 V에서 영상 평면으로의 수직의 발).두 투영 모두 겉으로 보이는 모양은 원입니다.병렬의 경우 원점 O의 이미지가 원의 중심이 되고, 중앙의 경우 주점 H가 중심이 됩니다.

탯줄 포인트

초점 쌍곡선은 4개의 ^[16]탯줄 지점에서 타원체와 교차합니다.

초점 타원의 특성

중심 타원은 내부 부분과 함께 r → 0에 대해_z a, b로 결정되는 공초점 타원체 연필의 한계 표면(무한 얇은 타원체)으로 간주할 수 있다.리미트 케이스는

$\displaystyle r_{x}=a,\display r_{y}=b,\display l=3a-c.}$

일반적인 위치

4진수로서

v가 점이고 A가 실제 대칭 양의 정의 행렬이라면, 방정식을 만족시키는 점들의 집합 x는

${\displaystyle(\mathbf {x} -\mathbf {v})^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}, (\mathbf {x} -\mathbf {v})= 1$

는 v를 중심으로 하는 타원체입니다.A의 고유 벡터는 타원체의 주축이고, A의 고유값은 반축의 제곱⁻² a, b⁻² 및^{−2 [17]}c의 왕복수입니다.

구에 적용된 가역 선형 변환은 극성 분해의 결과인 적절한 회전에 의해 위의 표준 형태로 가져올 수 있는 타원체를 생성한다(스펙트럼 정리 참조).선형 변환이 대칭 3 × 3 행렬로 표현되면 행렬의 고유 벡터는 (스펙트럼 정리에 의해) 직교하며 타원체의 축 방향을 나타냅니다. 반축의 길이는 고유값에서 계산됩니다.특이값 분해와 극분해는 이러한 기하학적 관측치와 밀접하게 관련된 행렬 분해입니다.

파라메트릭 표현

일반적인 위치에서 타원체를 파라메트릭으로 표현하는 열쇠는 대체 정의입니다.

타원체는 단위 구체의 아핀 이미지입니다.

아핀 변환은 벡터₀ f와 규칙 3 × 3 행렬 A를 갖는 변환으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {f} _{0} + {\boldsymbol {A} = \mathbf {f} _{0} + x \ mathbf {f} _{1} + y \ mathbf {f} _{2} + z \ mathbf {f} {f} {f} {f}} {f}}} {f}} {f}}} {f}} {f}}$

여기서₁ f, f₂, f는₃ 행렬 A의 열 벡터이다.

일반위치에서의 타원체의 파라메트릭 표현은 단위구(위 참조)의 파라메트릭 표현과 아핀 변환을 통해 얻을 수 있다.

X(θ, φ))f0+f1cos⁡θ. 왜냐하면 ⁡ φ+f2. 왜냐하면 ⁡θ 죄 ⁡ φ+f3죄 ⁡ θ,− π 2<θ<>π 2,0≤φ<>2π{\displaystyle \mathbf{)}(\theta ,\varphi)=\mathbf{f}+\mathbf{f}_{2}\cos +\mathbf{f}_{3}\sin \theta ,\qquad-{\t\sin \varphi \theta _{0}+\mathbf{f}_{1}\cos\cos \varphi \theta.frac{\pi$}{2}}<\theta <{\tfrac$ {$pi }{2}},\tfrac 0\$leq \$varphi <2$\pi}.

벡터₁ f, f₂₃, f가 직교계를 형성하면 벡터₀ f ± f를_1,2,3 갖는 6개의 점이 타원체의 정점이 되고₁ f, f₂, f가₃ 반주축이 된다.

점 x(θ, θ)에서의 표면 법선 벡터는 다음과 같다.

$\displaystyle \mathbf {n}(\theta,\varphi)=\mathbf {f}_{2}\times \mathbf {f}_{3}\times \mathbf {f}_{1}\cos \ta \sinfi {fi}$

모든 타원체에 대해 암묵적인 표현 F(x, y, z) = 0이 존재한다. 단순화를 위해 타원체의 중심이 원점 f₀ = 0인 경우,^[18] 다음 방정식은 위의 타원체를 설명한다.

${\displaystyle F(x,y,z)=\operatorname {det} \left(\mathbf {x}),\mathbf {f} _{2} +\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},mathbf}3)\right)^{2}=0}$

적용들

타원체 모양은 다음과 같은 여러 가지 실용적인 용도로 사용됩니다.

측지

• 지구 타원체, 지구의 모양을 근사한 수학적인 도형입니다.
• 기준 타원체, 일반적으로 행성체의 모양을 근사한 수학 그림.

메카닉스

• 회전하는 강체의 무토크 운동을 시각화하는 기하학적 방법인 포인소의 타원체.
• Lamé의 응력 타원체, 점에서의 응력 상태를 그래픽으로 표현하기 위한 Mohr 원의 대안입니다.
• 조작성 타원체. 로봇의 자유로운 움직임을 묘사하는 데 사용됩니다.
• 회전하는 유체에 의해 형성되는 3축 타원체인 야코비 타원체

결정학

• 지표 타원체, 결정 내 굴절률의 방향과 상대적인 크기를 나타내는 타원체의 도표입니다.
• 결정학에서 결정 구조에서 원자의 열 진동의 크기와 방향을 나타내는 데 사용되는 열 타원체입니다.

조명.

• 타원형 반사경 투광 조명
• 타원형 반사경 스포트라이트

약

• 전립선의 MRI 영상으로 얻은 측정은 근사 L × W × H × 0.52 (여기서 0.52는 µ/^[19]6에 대한 근사치)를 사용하여 글랜드의 부피를 결정하는 데 사용할 수 있다.

동적 속성

균일한 밀도 θ의 타원체의 질량은 다음과 같다.

${\displaystyle m=V\rho=tfrac {4}{3}}\pi abc\rho .}$

균일한 밀도의 타원체의 관성 모멘트는 다음과 같다.

$디스플레이 스타일I_{\mathrm {xx}}&=btfrac {1}{5}m\left(b^{2}+c^{2})}\오른쪽)&I_{\mathrm {y}}&=btfttfrac {1}{5}m\left(c^{2}+a^{2})}\오른쪽)& I_{\mathrm {zz}}&=btfrac {1}{5}m\left(a^{2}+b^{2})}\right),\[3pt]I_{\mathrm {xy} }&=I_{\mathrm {yz}}=I_{\mathrm {zx}}=0.\end { aligned}}$

a = b = c의 경우 이러한 관성 모멘트는 균일한 밀도의 구에 대한 모멘트로 감소한다.

타원체와 입방체는 주축 또는 부축을 따라 안정적으로 회전하지만 중심축을 따라 회전하지는 않습니다.이것은 약간의 회전으로 지우개를 던짐으로써 실험적으로 볼 수 있다.또한 관성 모멘트는 장축을 따라 회전하는 것이 ^[20]단축을 따라 회전하는 것보다 더 쉽게 교란된다는 것을 의미한다.

이것의 한 가지 실질적인 효과는 하우메아 같은 스칼렌 천체들이 일반적으로 그들의 작은 축을 따라 회전한다는 것입니다; 게다가, 조석 고정 때문에, 미마스 궤도와 같은 동기 궤도에 있는 위성들은 그들의 행성에 방사상으로 정렬되어 있습니다.

균질 자기중력유체의 방적체는 정압평형 상태에서 적당한 회전속도를 위해 맥로린 구상체(오블레이트 구상체) 또는 야코비 타원체(스카렌 타원체)의 형태를 취한다.회전 속도가 빠를 경우 비박리성 원형 또는 난형 형태를 예상할 수 있지만 안정적이지 않습니다.

유체 역학

타원체는 고체 형태 주변의 유체의 흐름을 계산할 수 있는 가장 일반적인 형태입니다.계산에는 유체를 통해 변환하고 유체 내에서 회전하는 데 필요한 힘이 포함됩니다.응용 분야에는 큰 분자의 크기와 모양, 작은 입자의 침하 속도, 미생물의 ^[21]수영 능력 등이 포함된다.

확률과 통계에서

다변량 정규 분포를 일반화하고 재무에 사용되는 타원 분포는 밀도 함수로 정의할 수 있습니다.이러한 함수가 존재할 경우 밀도 함수 f는 다음과 같은 구조를 가집니다.

${\displaystyle f(x)=k\cdot g\left(\mathbf {x} - {\boldsymbol {mu }){-1}(\mathbf {x} - {\boldsymbol {T}}} {\오른쪽)$

여기서 k는 스케일 팩터이고, x는 중앙 벡터 μ(후자가 존재하는 경우 평균 벡터이기도 한)를 갖는 n차원 랜덤 행 벡터이고, δ는 공분산 행렬이 존재하는 경우 공분산 행렬에 비례하는 양의 유한 행렬이며, g는 음이 아닌 실에서 음이 아닌 실에 대한 유한한 미운수 영역을 제공하는 함수 매핑이다.커브를 ^[22]돌다.다변량 정규 분포는 2차 형식 z에 대해 g(z) = expµz/2인 특수한 경우입니다.

따라서 밀도 함수는 2차식의 스칼라 대 스칼라 변환입니다.또한 등밀도 표면의 방정식은 2차식이 그 밀도 값에 특정한 상수이며 등밀도 표면이 타원체임을 나타낸다.

고차원으로

치수$n{\displaystyle }$({$displaystyle$n$\})$의 유클리드 $공간$에서${\displaystyle }$치수 ${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1({$displaystyle$n-1$$})의 초지질(hyperrelipsoid)은 2차 다항식으로 정의되는 4차원 초지질면이며, 2차 형태의 2차 균질한 부분을 가진다.

가역 아핀 변환 하의 구상으로서 과지질체를 정의할 수도 있다.스펙트럼 정리는 다시 형식의 표준 방정식을 얻기 위해 사용될 수 있다.

${{displaystyle {x_{1}^{2}}{\frac {x_{2}^{2}}+{cdots +{\frac {x_{n}^2}{a_{n}^2}}{a_{n}=1}.}$

n차원 과립체의 부피는 R을 과구체의 부피 공식에서 반축₁₂ aa...a의_n 곱으로 대체함으로써ⁿ 얻을 수 있다.

${\displaystyle V=frac {\pi ^{\frac {n}{2}}{\Gamma \leftfrac {n}{2}}+1\오른쪽)}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$

(여기서 δ는 감마 함수입니다).

「 」를 참조해 주세요.

• 타원체 돔
• 타원체법
• 타원 좌표
• 통계량에서 타원 분포
• 타원성과 편평도라고도 불리는 평탄화는 각각 회전하는 타원 또는 타원체를 형성하기 위해 지름에 따라 원이나 구를 압축하는 척도이다.
• 포컬로이드, 두 개의 동심원, 공초점 타원체로 둘러싸인 껍질
• 타원체 측지학
• 가장 적합한 타원체로 모델링된 지구 중력 측정 기준
• 호모에이드, 두 개의 동심원 유사 타원체로 둘러싸인 껍질
• 표면 목록
• 수페렐립소이드

메모들

레퍼런스

• Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8

외부 링크

• Jeff Bryant의 "Elipsoid", 울프램 데모 프로젝트, 2007.
• 타원체 및 2차 표면, 산술 세계.