접지 단면 경로

접지 단면 경로는 접지 타원체와 평면의 교차점에 의해 정의되는 지구의 경로다. 지구 단면의 일반적인 예로는 대 타원 및 일반 단면이 있다. 혁명의 타원체에서 측지학적 문제의 해결은 여기에서 논의된다. 소위 "선"이라고 불리는 이러한 것들은 일반적으로 평면 곡선이^[a] 아니기 때문에 섹션은 대략적인 해법일 뿐이다. 그럼에도 불구하고, 이 페이지는 관련된 모든 평면 문제를 해결하기 위한 통일된 방법을 제공하고, 그것들이 지오데믹스와 어떻게 비교되는지 보여주는 예를 제공한다.

간접 문제

접지 단면의 간접적인 문제는 다음과 같다: 기준 타원체 표면에$$ $P$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}, ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$2 {\$displaystyle P_{2}},$ P $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $s_{$$12$$\},$ $길이{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {12}_{}}$ ${\$ $s_{$${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$$},$ p$$ $}.$$ystyle P_{2}}:$ 그리고$$$$ 그 곡선의 출발과 도착 방위각(진정한 북쪽으로부터의 각도), ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$} 및 ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$2}}. 오른쪽의 그림은 여기서 사용하는 표기법을 잘못 해석한다. $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$에 측지학적 위도 ${\displaystyle {\varphi }_{}}$ k ${\$와 경도 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$k=1,2)를 두도록$$ 한다. 이 문제는 지구 중심, 지구 고정(ECEF) 데카르트 좌표에서 분석 기하학을 사용하여 가장 잘 해결된다. Let ${\displaystyle R_{1}=ECEF(P_{1})}$ and ${\displaystyle R_{2}=ECEF(P_{2})}$ be the ECEF coordinates of the two points, computed using the geodetic to ECEF transformation discussed here.

횡단면

단면 평면을 ${\displaystyle {정의}_{}}$하려면 R 1 ${\$1$$}부터 R$$2 {\$displaystyle R_{2$}}$$사이의 라인에 없는$$ 세 번째 점 ${\displaystyle {R\_\mathrm{}}_{}}$${0}$을 선택하고$,$ $R{\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\$을 선택하여 P ${\displaystyle 1_{}}$에서 일반 단면을 정의한다$$.${\displaystyle P_{1$ R ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$이 원점이라면$$ 접지 단면이 위대한 타원이다. (원점은 2개의 항정신병 포인트와 함께 선형이 될 수 있으므로 이 경우 다른 포인트를 사용해야 한다.) $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 대한 선택이 무한히 많기 때문에$,$ 위의 문제는 실제로 문제의 한 종류(각 평면당 하나씩)이다. $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을(를) 제공하십시오. To put the equation of the plane into the standard form, ${\displaystyle lx+my+nz=d}$, where ${\displaystyle \ l^{2}+m^{2}+n^{2}=1}$, requires the components of a unit vector, ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} =(l,m,n)}$, normal to the section plane. 이러한 구성 요소는 다음과 같이 계산할 수 있다. The vector from ${\displaystyle R_{0}}$ to ${\displaystyle R_{1}}$ is ${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =\mathbf {R_{1}} -\mathbf {R_{0}} }$, and the vector from ${\displaystyle R_{1}}$ to ${\displaystyle R_{2}}$ is ${\displaystyle {\mathbf{V}}_{\mathbf{1}}={\mathbf{R}}_{\mathbf{2}}-{\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}}$${\displaystyle \mathbf {V_{1}} =\mathbf {R_{2}} -\mathbf {R_{1}} }$. Therefore, ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} =unit(\mathbf {V_{0}} \times \mathbf {V_{1}} )}$), where ${\displaystyle unit(\mathbf {V} )}$ is the unit vector in the direction of ${\displaystyle \$$mathbf {V}$}. 여기서 사용되는 방향 규약은 $N{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{^}}}$ ${\$가 경로$$ 왼쪽을 가리키는 것이다. If this is not the case then redefine ${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =-\mathbf {V_{0}} }$. Finally, the parameter d for the plane may be computed using the dot product of ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} }$ with a vector from the origin to any point on the plane, such as ${\displaystyle$$R_{1}}$, i.e. ${\displaystyle d=\mathbf {\hat {N}} \cdot \mathbf {R_{1}} }$. The equation of the plane (in vector form) is thus ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} \cdot \mathbf {R} =d}$, where ${\displaystyle \mathbf {R} }$ is the position vector of ${\displays$$tyle (x,y,z)}$.

방위각

Examination of the ENU to ECEF transformation reveals that the ECEF coordinates of a unit vector pointing east at any point on the ellipsoid is: ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} =(-\sin \lambda ,\cos \lambda ,0)}$, a unit vector pointing north is ${\displaystyle \hat{\mathbf{n}}=(-\sin \varphi \cos \lambda ,-\sin \varphi \sin \lambda }$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =(-\sin \phi \cos \lambda ,-\sin \phi \sin \lambda ,\cos \phi )}$, and a unit vector pointing up is ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} =(\cos \phi \cos \lambda ,\cos \phi \sin \lambda ,\sin \phi )}$. A vector tangent to the path is: $$${\displaystyle \mathbf {t} =\mathbf {\hat {N}} \times \mathbf {\hat {u}} }$ so the east component of ${\displaystyle \mathbf {t} }$ is ${\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {e}} }$, and the north component is ${\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {\$$hat {n}} }$. Therefore, the azimuth may be obtained from a two-argument arctangent function, ${\displaystyle \alpha =\operatorname {atan2} (\mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {e}} ,\mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {n}} )}$. Use this method at both ${\displaystyle P_{1}}$ and ${\displaystyle P_{}}$${\displaystyle 2_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$및$$ $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$

단면 타원

평면과 타원형의 교차점은 타원이다. 따라서 P ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$}:{$1}부터 P$$2 {\$displaystyle P_{2$}}까지의$$ 단면 경로에 있는 호 길이($s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {12}_{}}$ ${\$는 잘린 직렬 또는 숫자 통합을 사용하여 원하는 정확도로 계산할 수 있는 타원 적분이다. 이 작업을 수행하기 전에 타원을 정의하고 통합의 한계를 계산해야 한다. Let the ellipsoid given by ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1}$, and let ${\displaystyle p={\sqrt {l^{2}+m^{2$$}}}}.$$p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p=0}$인 경우 섹션은$$ ${\displaystyle 반경\sqrt{\mathrm{}}}$ 1${\displaystyle \sqrt{}}$- d ${\displaystyle \sqrt{2\frac{{}^{}}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{{}^{}}{{}^{}}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}}$ ${\dqrt{1-{\frac{d^{$2}}{$b^{2$}}:2 > b {\$displaystyd >b$이면 해결책이 없다.

If ${\displaystyle p>0}$ then Gilbertson^[1] showed that the ECEF coordinates of the center of the ellipse is ${\displaystyle {R_{c}}={\frac {d}{C}}(la^{2},ma^{2},nb^{2})}$, where ${\displaystyle C=a^{2}p^{2}+b^{2}n^{2}}$,

the semi-major axis is ${\displaystyle a^{*}=a{\sqrt {1-{\frac {d^{2}}{C}}}}}$, in the direction ${\displaystyle \mathbf {{\hat {i}}^{*}} =({\frac {m}{p}},{\frac {-l}{p}},0)}$, and the semi-minor axis is ${\displaystyle b$$^{*}={\frac {b}{\sqrt {C}}}a^{*}}$, in the direction ${\displaystyle \mathbf {{\hat {j}}^{*}} =({\frac {ln}{p}},{\frac {mn}{p}},-p)}$, which has no solution if ${\displaystyle d >{\sqrt {C}}}$.

호 길이

위 참조 논문에서는 밀리미터 정확도에 대한 호 길이를 계산하기 위해$$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle e^{2}}$개의 중심 각도와 힘을 포함하는 호 길이 공식에 대한 유래를 제공하며, ${\displaystyle {여기}^{}}$서 $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle (b\frac{{}^{}}{}}$ $∗$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \frac{{\ast }^{}}{}{}^{}}$) 2 ${\$그 호 길이 공식은 $r$이 될 수 있다$.$earranged and put into the form: ${\displaystyle s_{12}=s(\theta _{2})-s(\theta _{1})}$, where ${\displaystyle s(\theta )=b^{*}({C_{0}}\theta +{C_{2}}\sin(2\theta )+{C_{4$$}}\sin(4\theta )+{C_{6}\sin(6\theta$ )}}과$($와) 계수는

${\displaystyle C_{0}=1.0+e^{2}(1/4+13e^{2}/64+45e^{4}/256+2577e^{6}/16384)}$

${\displaystyle C_{2}=e^{2}(1/8+3e^{2}/32+95e^{4}/1024+385e^{6}/4096)}$

${\displaystyle C_{4}=-e^{4}(1/256+5e^{2}/1024+19e^{4}/16384)}$

${\displaystyle C_{6}=-e^{6}(15/3072+35e^{2}/4096)}$

To compute the central angle, let ${\displaystyle P}$ be any point on the section ellipse and ${\displaystyle R=ECEF(P)}$. Then ${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} -\mathbf {R_{c}} }$ is a vector from the center of the ellipse to the point. The central angle ${\displaystyle \theta }$ is the angle from the semi-major axis to ${\displaystyle \mathbf {V} }$. Letting ${\displaystyle \mathbf {\hat {V}} =unit(\mathbf {V} )}$, we have ${\displaystyle \theta$$=\operatorname {atan2} (\mathbf {\hat {V}} \cdot \mathbf {{\hat {j}}^{*}} ,\mathbf {\hat {V}} \cdot \mathbf {{\hat {i}}^{*}} )}$. In this way we obtain ${\displaystyle \theta _{1}}$ and ${\displaystyle \theta _{2}}$.

반면, 단면 타원 매개변수가 스피로이드 매개변수보다 사용된다면 보다 일반적인 사례에서 Meridian 호 공식을 사용할 수 있다. 그러한 급속한 수렴 영상 시리즈 중 하나는 파라메트릭 위도 측면에서 시리즈로 주어진다. If we use ${\displaystyle \varepsilon }$ to denote the spheroid eccentricity, i.e. ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=1-({\frac {b}{a}})^{2}}$, then ${\displaystyle e^{8}}$ ≤ ${\displaystyle \varepsilon ^{8}}$ ≅ 1.8e-9. 이와 유사하게 섹션 타원의 세 번째 평탄화는 스페이드로이드에 대한 해당 값에 의해 제한되며, 스페이드로이드의 $경우{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$ 3 ${\$n^{$3}$ ≅$$ 4.4e-9, $n{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\$ ≅$$ 7.3e-12가 있다. 따라서 파라메트릭 위도 시리즈에서$$ B ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$ ${\$을 초과하는 항은 무시해도 충분할 수 있다. $적용{\displaystyle }$ 방법${\displaystyle (\beta }$) =${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$= +${\displaystyle \frac{{}^{}{}^{}}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{{\ast }^{}}{}}$ 2${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}}$ + ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$2 ${\displaystyle \sin }$ 2${\displaystyle \mathrm{\beta }}$+ ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ 4 ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle 4\beta }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ 6 ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle \beta }$)${\displaysty$ s$(\beta )={\frac {a^{*}+b^{**}$$}}{2}}(B_{0}\beta +B_{2}\sin 2\beta +B_{4}\sin 4\beta +B_{6}\sin 6\beta )}$ in the current context requires converting the central angle to the parametric angle using ${\displaystyle \beta =\tan ^{-1}\left(\tan \theta /((1-f)\right)}$, and using the section ellipse third flattening. 어떤 방법을 사용하든 $\theta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $_$${1$} $$& ${\displaystyle {\theta \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$} 또는$$$$${\displaystyle {\beta \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$& $\beta {\displaystyle {}_{}}$ 2 ${\$}를 사용할$$ 때는 두 점을 연결하는 짧은 호가 사용되도록 주의해야 한다.

직접적인 문제

직접적인 문제는 P ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ {$P_{1$ 거리 s ${\displaystyle {12}_{}}$ ${\$ 출발 방위각 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$1},$ P ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}, 도착$$ 방위각$\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\$$2$}}.

횡단면

${\displaystyle {이\mathbf{}}_{}}$ 문제에 대한 답은 $V{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ 0 ${\$의 선택$,$ 즉 섹션 유형에 따라 달라진다. Observe that ${\displaystyle \mathbf {V_{0}} }$ must not be in span{${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{1},\mathbf {{\hat {e}}_{1}} }$} (otherwise the plane would be tangent to the earth at ${\displaystyle {P_{1}}}$, so no path would result). 그러한 선택을 한 후, 오리엔테이션을 고려하여 다음과 같이 진행한다. Construct the tangent vector at ${\displaystyle {P_{1}}}$, ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{1}=\mathbf {\hat {n}} _{1}\cos {\alpha _{1}}+\mathbf {{\hat {e}}_{1}} \sin {\alpha _{1}}}$, where ${\displaystyle \mathbf {$$\hat{n} _{1},$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{^}}}_{}}$ 1 ${\$은(는) P ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$에서 북쪽과 동쪽을 가리키는 단위 벡터다$.$ 정상 벡터 $N{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{^}}}$ =${\displaystyle u}$ ${\displaystyle n}$ i ${\displaystyle t}$(${\displaystyle {V\mathbf{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$× ${\displaystyle {\stackrel{\mathbf{}}{\mathbf{}}}_{}}$^ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}${\$displaystyle \mathbf {\n}} =단위(\mathbf${$V_$${0}) \time$$\$$hat{t} _$${1$})와 함께 평면을 정의한다$.$ 즉 목적지를 알 수 없기 때문에 접선이 화음을 대신한다는 것이다.

${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$ 찾기

이는 span{${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{^}}}^{}}$ ^${\displaystyle {}^{}}$^,${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}^{\stackrel{}{\mathbf{}}}}$ ${\displaystyle {^}^{}}$ $^{\${\$hat{i}}^,\mathbf${\$j} ^{*}}}$의 2-d 문제인데, 위의 호 길이 공식의 도움으로 해결된다. 호 길이, $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\$가 주어지면$$ 문제는 중앙각 θ ${\$에서 해당하는 변화를 찾아 $\theta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {12}_{}}$ ${\$}=\$1}+\ta _{12}}}}}}$을 계산하고 위치를 계산하는 것이다. $s{\displaystyle }$= ${\displaystyle s}$ (${\displaystyle \theta }$) ${\displaystyle s=s(\theta )}$을(를) 제공하는 시리즈가 있다고 가정할 때, 지금 우리가 찾는 $것$은 ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$2 =${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ ( s${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ + ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {12}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaysty \theta _${2$}=s^{1}+s_{12}}}$이다$.$ 위의 중심 각도 호 길이 시리즈의 역행은 간신을 학점하는 ^[2]랍 1권 8a페이지에서 찾을 수 있다.^[3] $역계열{\displaystyle {}_{}}$ 사용의 대안은 newton $[\$에 대한 뉴턴의 연속 근사법을 사용하는 것이다$.$ 타원체의 역 자오선 문제는 모수각 측면에서 베셀의 호 길이 시리즈에 역행하는 것을 제공한다. Before the inverse series can be used, the parametric angle series must be used to compute the arc length from the semi-major axis to ${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle s_{1}$$=s(\cHB _{1}={\frac {a^{*}+b^{**)$$}}{2}}(B_{0}\beta _{1}+B_{2}\sin 2\beta _{1}+B_{4}\sin 4\beta _{1}+B_{6}\sin 6\beta _{1})}$. Once ${\displaystyle s_{1}}$ is known apply the inverse formula to obtain${\displaystyle \beta _{2}=\beta (s$$_{1}+s_{12})=\mu _{2}+B'_{2}\sin 2\mu _{2}+B'_{4}\sin 4\mu _{2}+B'_{6}\sin 6\mu _{2}}$, where ${\displaystyle \mu _{2}=2(s_{1}+s_{12})/(B_{0}(a^{*}+b^{*}))}$. Rectangular coordinates in the section plane are ${\displaystyle x_2=a^{\ast }\cos {\beta }_2,y_2=b^{\ast }\sin }$${\displaystyle x_{2}=a^{*}\cos \beta _{2},y_{2}=b^{*}\sin \beta _{2}}$. So an ECEF vector may be computed using ${\displaystyle \mathbf {V_{2}} =\mathbf {R_{c}} +(x_{2}\mathbf {{\hat {i}}^{*}} +y_{2}\mathbf {{\hat {j}}^{*}} )}$. Finally calculate geog${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 2 {\$displaystyle {P_{2$}}$$= ECEF_to_Geo${\displaystyle V{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle({V_{2}}){\$displaysty}을(^[4]를) 통한 raphic 좌표 또는 여기에서 Bowring의 1985 알고리즘을 사용한다$.$

방위각

Azimuth may be obtained by the same method as the indirect problem: ${\displaystyle \mathbf {t_{2}} =\mathbf {\hat {N}} \times \mathbf {{\hat {u}}_{2}} }$ and ${\displaystyle {\alpha _{2}}=\operatorname {atan2}$$(\mathbf{t_{2$}} $\cdot \mathbf {{\hat{e}_{2}},\mathbf{t_{2$}}$\cdot \mathbf {{\hat{n}}}}$ $)\}\}$

예

위대한 타원

큰 타원은 타원체와 그 중심을 통과하는 평면을 교차하여 형성된 곡선이다. 따라서 위의 방법을 사용하려면 R ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$${\$$displaystyle R_{0}}$을(를) ${\displaystyle {원점}_{}}$으로 ${\displaystyle 하여{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {V\mathbf{}}_{}}$${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$$$= R 1 {\$displaystyle$ \$mathbf$ {$V_{0$} =\$mathbf$ {$R_{1}}}}}($$R$ 1 {\displaystyle $R_{1$}의 위치 벡터).$$ 이 방법은 구면 삼각법의 난해하고 때로는 모호한 공식을 피하고, 보링의 공식에 대한 대안을 제공한다.^[5] 스피로이드에서 두 점 사이의 가장 짧은 경로는 지오데틱으로 알려져 있다. 그러한 경로는 미분 기하학을 사용하여 개발된다. 적도와 경맥은 지질학적으로도^[b] 훌륭한 타원이다. 큰 타원과 5,000해리 길이의 해당 지오데틱 사이의 최대 길이 차이는 약 10.3m이다. 이들 사이의 측면 편차는 3.7해리만큼 클 수 있다. 두 지점을 연결하는 정상적인 구간은 큰 타원보다 지오데스에 더 가까울 것이다. 단, 길이 적도에 닿지 않는 한 말이다.

On the WGS84 ellipsoid, the results for the great elliptic arc from New York, ${\displaystyle \phi _{1}}$ = 40.64130°, ${\displaystyle \lambda _{1}}$ = -73.77810° to Paris, ${\displaystyle \phi _{2}}$ = 49.00970°, ${\displaystyle \lambda _{2}}$= 2.54800° are:

${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$} =$$ 53.596810°, ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$\ \$_{2$}}$$= 111.537138°, s ${\$ = 5849159.753(m) = 3158.293603603(nm). 지오데틱에 해당하는 숫자는 다음과 같다.

${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$} $$= 53.511007° ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} $$= 111.626714°, s ${\displaystyle {12}_{}}$ ${\$ $$= 5849157.543(m) = 3158.292410(nm).

직접 문제에 대한 섹션 유형에 대한 의존성을 설명하려면 출발 방위각과 트립 거리를 위의 지오데틱의 거리로 하고 큰 타원을 사용하여 직접 문제를 정의하십시오. 이 경우 도착 지점은 ϕ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $$= 49.073057°, ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}$$= 2.586154°, 위에서 정의한 파리 도착지점에서 약 4.1nm 떨어져 있다. 물론 출발 방위각과 큰 타원형 간접 문제로부터의 거리를 사용하면 목적지 ${\displaystyle {위치}_{}}$를 적절하게 파악할 수 있을 것이며, ${\displaystyle {\varphi \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$ $$= l 2 ${\$}}$$= 2.54800°, 도착 방위각 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $$= 111.537138°

일반 단면

$P{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $P_$${1$}의 정상 섹션은 V ${\displaystyle {0\mathbf{}}_{}}$= ${\displaystyle u_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{^}}}_{}}$ 1 ${\$$P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$에서 표면 정규)로 설정하여 결정한다$$.$$ 역수 정규 섹션으로 알려진 또 다른 정규 섹션은 P ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}에서 표면 정규 섹션 사용에서 비롯된다$.$ 두 점이 모두 동일한 평행 또는 동일한 자오선에 있지 않는 한 역수 정규 섹션은 정상 섹션과 다른 경로가 될 것이다. 위의 접근방식은 Bowring과 같은 다른 접근방식에 대한 대안을 제공한다.^[7] 이러한 맥락에서 용어 라인의 의미에 대한 논의뿐만 아니라 측량에서 정상 섹션의 중요성은 Deakin, Sheppard, Ross에 의해 논문에 제시되었다.^[8]

On the WGS84 ellipsoid, the results for the normal section from New York, ${\displaystyle \phi _{1}}$ = 40.64130°, ${\displaystyle \lambda _{1}}$ = -73.77810° to Paris, ${\displaystyle \phi _{2}}$ = 49.00970°, ${\displaystyle \lambda _{2}}$= 2.54800° are:

${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$} $$= 53.521396°, ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}$$= 111.612516°, $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ = 5849157.595(m) = 3158.292438(nm). 뉴욕에서 파리까지의 상호 정상 구간의 결과는 다음과 같다.

${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$} $$= 53.509422°, $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$\ \$_{2$}}$$= 111.624483°, s ${\$ $$= 5849157.545(m) = 3158.292411(nm).

정상 구간과 5,000해리 길이에 해당하는 지오데틱 사이의 최대 길이 차이는 약 5.9m이다. 그들 사이의 측면 편차는 2.8해리만큼 클 수 있다.

직접 문제에 대한 섹션 유형에 대한 의존성을 설명하려면 출발 방위각 및 트립 거리를 위의 지오데틱 거리만큼 하고 NY에서 표면 정규를 사용하여 직접 문제를 정의하십시오. 이 경우 도착점은 ϕ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}} =$$ ${\displaystyle {49\mathrm{}}_{}}$.017378°, , $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$2}}$ = 2.5526°이며, 위에서 정의한 도착 지점에서 약 1/2 nm 떨어져 있다. 물론 출발 방위각과 정상 구간 간접 문제로부터의 거리를 이용하면 파리의 목적지를 제대로 찾을 수 있을 것이다. 아마도 직접적 문제는 도착 지점을 알 수 없을 때 사용되지만 원하는 벡터 V ${\displaystyle {0\mathbf{}}_{}}$ ${\$ 아무거나$$ 사용할 수 있을 것이다. 예를 들어 파리에서 $정상적$인 표면 ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{^}}}_{}}$ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$ ${\$$=$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ {\$displaystyle \phi _$49.00778°, ${\displaystyle {\lambda \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}$$= 2.546842°의 도착점을 나타내며, 위에서 정의된 도착점이다. 레이캬비크에서 표면 정상(아직도 파리로 가는 지오데틱의 출발 방위각과 트립 거리를 사용하는 동안)을 사용하면 파리에서 약 347nm 떨어진 곳에 도착하게 되며, 취리히에서의 정상값은 5.5nm 이내가 된다.

지오데틱에 더 가까운 구간을 탐색한 결과 다음 두 가지 예가 나왔다.

평균 정규 섹션

The mean normal section from ${\displaystyle P_{1}}$ to ${\displaystyle P_{2}}$ is determined by letting ${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =0.5(\mathbf {\hat {u}} _{1}+\mathbf {\hat {u}} _{2})}$. 이것은 항공이나 항해를 위한$$ P ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}부터$$ $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}까지의 지오데틱에 대한 좋은 근사값이다.평균 정상 구간과 5,000해리 길이의 해당 지오데틱 사이의 최대 길이 차이는 약 0.5m이다. 그들 사이의 가로 방향 편차는 약 0.8해리밖에 되지 않는다. 길이 1000해리 경로의 경우 길이 오차는 1mm 미만이며, 최악의 경우 가로 방향 편차는 약 4.4m이다. WGS84에서 뉴욕에서 파리까지 예제를 계속하면 평균 정상 섹션에 대해 다음과 같은 결과가 나온다.

${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$=$$ 53.515409°, $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$\ \$_{2$}}$$= 111.155500°, $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $$= 5849157.19(m) = 3158.29419(nm)이다.

중간점 정규 섹션

The midpoint normal section from ${\displaystyle P_{1}}$ to ${\displaystyle P_{2}}$ is determined by letting ${\displaystyle \mathbf {V_{0}} }$ = the surface normal at the midpoint of the geodesic from ${\displaystyle P_{1}}$ to ${\displaystyle P_{2}}$. This path is only sligh평균 정상 단면보다 지오데믹에 더 가까이 접근한다. 중간점 정상 구간과 5,000해리 길이의 해당 지오데틱 사이의 최대 길이 차이는 약 0.3m이다. 그들 사이의 최악의 경우 가로 방향 편차는 약 0.3해리이다.

Finishing the example from New York to Paris on WGS84 gives the following results for the geodesic midpoint normal section: ${\displaystyle \alpha _{1}}$ = 53.506207°, ${\displaystyle \alpha _{2}}$ = 111.627697° and ${\displaystyle s_{12}}$ = 5849157.545 (m) = 3158.292411 (nm).

토론

오른쪽 차트에 사용된 모든 횡단 경로는 위의 간접적인 방법을 사용하여 정의되었다. 세 번째와 네 번째 차트에서 단자점은 주어진 거리와 초기 방위각의 지오데틱에 대한 직접 알고리즘을 사용하여 정의되었다. 각 섹션에서 일부 점을 선택했고, 지오데틱에서 가장 가까운 점을 배치했으며, 이들 사이의 거리를 계산했다. 이 거리는 지오데틱으로부터의 가로 편차 또는 간략한 지오데틱 편차로 설명되며, 오른쪽의 차트에 표시된다.

첫 번째 차트는 큰 타원이 특이치인 중간위도 사례의 전형이다. 적도에서 가장 멀리 떨어진 지점과 관련된 정상 구간은 이러한 경우에 좋은 선택이다.

두 번째 예는 더 길고 전형적인 적도 횡단 사례로, 큰 타원이 정상 구간을 능가한다. 그러나 두 개의 정상 구간은 지오데틱의 반대편에서 벗어나 평균 정상 구간을 여기에서 선택하는 것이 좋다.

세 번째 차트는 북위 20도에서 시작되는 초기 지오데틱 방위각과 지오데틱 편차가 어떻게 다른지 보여준다. 5000해리 길이의 정상 구간에서 최악의 경우 편차는 약 2.8nm이며 북위 18°에서 132°의 초기 측지 방위각(남위 48° 방위각)에서 발생한다.

네 번째 차트는 적도에서 출발할 때 세 번째 차트가 어떻게 보이는가이다. 적도에는 90°와 270° 방위각의 구간도 측지학이기 때문에 대칭이 더 많다. 따라서 네 번째 차트는 24개 중에서 15도 간격의 구별되는 선만 7개 보여준다. 구체적으로는 방위 15, 75, 195, 255의 선들이 일치하며, 반대편의 105, 165, 285 및 345의 선들이 내측(지오디텍스 제외)으로 가장 일치한다. 다음으로 4개의 지오데틱 선에서 가장 먼 동시선은 방위 30, 60, 210, 240이고 한쪽은 120, 150, 300, 330이다. 바깥쪽 대부분의 선은 방위각 45개, 한쪽은 225개, 다른 한쪽은 135개, 315개다. 출발점이 북쪽으로 이동함에 따라 방위각 90과 270의 선은 더 이상 지오디지컬이 아니며, 다른 동시선은 최대 편차가 달성되는 위도 18°까지 분리되어 팬아웃된다. 이 점을 넘어서면 초기 지점이 북쪽으로 진행되면서 편차가 일본 팬처럼 수축한다. 따라서 84° 위도에 의해 정상 섹션의 최대 편차는 약 0.25 nm이다.

중간점 정규 구간은 항상 (대부분) 좋은 선택이다.

교차점

Let two section planes be given: ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {R} =d_{1}}$, and ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{2}\cdot \mathbf {R} =d_{2}}$. Assuming that the two planes are not parallel, the line of intersection is on both planes. $따라서{\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}_{}}$ N ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{^}}}_{}}$ ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$= ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{^}}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{^}}}_{}}$ 2 ${\$times \mathbf {\$n}$_{1}\$time\mathbf {\n}$ $_{N$} _$\{$2}}.

Since ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{1}}$ and ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{2}}$ are not collinear ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{1}}$, ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{2}}$, ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{3}}$ is a basis for ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Therefore, there exist constants ${\displaystyle C_{1}}$ and ${\displaystyle C_{2}}$ such that the line of intersection of the 2 planes is given by ${\displaystyle R=C_{1}\math$$bf {\hat{N} _{1}+C_{2}\mathbf {\n} _{2}+t\mathbf {\N} _{3$ 여기서 t는 독립적인 매개 변수다.

Since this line is on both section planes, it satisfies both: ${\displaystyle C_{1}+C_{2}(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})=d_{1}}$, and ${\displaystyle C_{1}(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cd$$ot \mathbf {\hat{N} _{2}+C_{2}=d_{2$

Solving these equations for ${\displaystyle {C_{1}}}$ and ${\displaystyle {C_{2}}}$ gives ${\displaystyle C_{1}[1-(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})^{2}]=d_{1}-d_{2}(\mathbf$${\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})}$, and ${\displaystyle C_{2}[1-(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})^{2}]=d_{2}-d_{1}(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})}$.

Define the "dihedral angle", ${\displaystyle \nu }$, by ${\displaystyle \cos \nu ={\mathbf {\hat {N}} _{1}}\cdot {\mathbf {\hat {N}} _{2}}}$. Then ${\displaystyle C_{1}={\frac {(d_{1}-d_{2}\cos \nu )}{\sin ^{2}\nu }}}$ , 및 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle \frac{}{}}$( d ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}_{}}{}}$- d ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\cos }{}}$ ${\displaystyle \frac{\nu }{}}$ ) ${\displaystyle \frac{{\sin }^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ν ${\displaystyle \frac{\nu }{}}$ ${\$2}={\$frac {(d_{2$}-$d_{$1}}\$cos \nu ){\sin ^{2}\nu$ $\}\}.$

On the intersection line we have ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R_{0}} +t\mathbf {\hat {N}} _{3}}$, where ${\displaystyle \mathbf {R_{0}} =C_{1}\mathbf {\hat {N}} _{1}+C_{2}\mathbf {\hat {N}} _{2}}$. Hence: ${\displaystyle x=x_0+t{l}_3}$${\displaystyle x=x_{0}+tl_{3}}$, ${\displaystyle y=y_{0}+tm_{3}}$, and ${\displaystyle z=z_{0}+tn_{3}}$, where ${\displaystyle x_{0}=C_{1}l_{1}+C_{2}l_{2}}$, ${\displaystyle y_{0}=C_{1$$}m_{1}+C_{2}m_{2}}$, and ${\displaystyle z_{0}=C_{1}n_{1}+C_{2}n_{2}}$. and ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{i}=(l_{i}}$,${\displaystyle m_{i}}$,${\displaystyle n_{i}}$), for i=1,2,3.

To find the intersection of this line with the earth, plug the line equations into ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1}$, to get ${\displaystyle At^{2}+2Bt+$$C=0$ 여기서 $A{\displaystyle }$= l ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ 2 ${\displaystyle \frac{{b\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}{}_{}^{}}$ 3 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$}$}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}n_{3}^{2}}$, ${\displaystyle B=x_{0}l_{3}+y_{0}m_{3}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}n_{3}}$, ${\displaystyle C=x_{0}^{2}+y_{0$$}^{2}+{\frac$ {$a^{2}}:{b^{2}}:z_{0}^{2}-a^{2}}.$.

따라서 이 ${\displaystyle \frac{선}{}}$은 $t{\displaystyle }$=${\displaystyle \frac{}{}}$- B${\displaystyle \frac{}{}}$± ${\displaystyle \frac{\sqrt{{\mathrm{}}^{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2\sqrt{{}^{}}}{}}$- A ${\displaystyle \frac{C}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{A}}{}}$ ${\$ t$={\frac {-B\pm{\sqrt {{B}^{2}-AC}}}}}}}}}$에서 지구를 교차한다$.$ B < {\$displaystystyle$ B$^{2}<}$$AC$ 그러면 교차점이 없다. $B{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle$ B$^{2}=$인 경우$AC$ ${\displaystyle \mathrm{그러면}}$ 선이 $t{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- B${\displaystyle }$/ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle$ t$=-B/A}($즉, 단면들이 해당 단일 지점에서 교차함)에서 접선된다.$$

${\displaystyle N_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{^}}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$ ${\$ $\$$mathbf {\$displaystyle$\$mathbf ${\n$$}$ _{1} 및 N ^ 2 {\$displaystyle$ $\mathbf {\n} _{1}$_{2}}: 콜린어가 아닌지$$ 확인하십시오$.$ T를 $R{\displaystyle \mathbf{}}$= ${\displaystyle R{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathbf{}}_{}}$+ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle N_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{^}}}_{}}$ 3 ${\$에 연결하면 접지 섹션의 교차점이 표시된다$.$

예

뉴욕에서 파리까지의 구간이 그리니치 자오선과 교차하는 곳을 찾아라. 기본 자오선의 평면은 $N{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{^}}}$= (${\displaystyle 0,}$ 1, ${\displaystyle 0}$ )${\displaystyle \mathbf {\hat{N}}$ = $(0,1,0)}$ 및$$ $d{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle d=0}$로 설명할 수 있다$.$ 결과는 다음과 같다.

극한 위도 및 고도

최대(또는 최소) 위도는 단면 타원이 단일 점에서 평행선을 교차하는 곳이다. 문제를 설정하려면 N ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{^}}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathbf{}}}$=${\displaystyle }$( l${\displaystyle }$, ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \mathbf {{\hat {{N}_{1$}}$$=$$(${\displaystyle {l\mathrm{}}_{}m}$,n)}, d 1 = d ${\displaystyle d_{1}=d}$을(를) 지정된 섹션 평면이 되도록$$ 한다. 평행도는 N${\displaystyle {\stackrel{\mathbf{}}{\mathbf{}}}_{}}$^${\displaystyle {}_{}{2}_{\mathbf{}}}$= ( ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \mathbf {{\hat {{N}_{2$}} = ($0,0,$1$)\},$ $d{\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ = ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ 0$$${\$$displaystyle d_{2}=$$z_{0}}}}$이며, $여기$서 ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ 0은 교차가 하나만 있도록 $결정$된다. Applying the intersection method above results in ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{3}=\mathbf {\hat {N}} _{1}\times \mathbf {\hat {N}} _{2}=(m,-l,0)}$, ${\displaystyle {\mathbf {\hat {N}} _{1}}\cdot {\mathbf {\hat {N}} _{$$2}}=n}$, ${\displaystyle C_{1}={\frac {1}{p^{2}}}(d-nz_{0})}$ , and ${\displaystyle C_{2}={\frac {1}{p^{2}}}(z_{0}-nd)}$, since ${\displaystyle 1-n^{2}=l^{2}+m^{2$$}}=p^{2$ The resulting linear equations become ${\displaystyle x=x_{0}+tm}$, ${\displaystyle y=y_{0}-tl}$, and ${\displaystyle z=z_{0}}$, where ${\displaystyle x_{0}=C_{1}l}$, ${\displaystyle y_{0}=C_{1}m}$, and ${\displaystyl$$e$ $z_{0}}$을(를) 결정한다. 결과 2차 계수는 A${\displaystyle }$= ${\displaystyle {m\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {p\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$}이다.$}=p^{2}}$, ${\displaystyle B=mx_{0}-ly_{0}=lmC_{1}-lmC_{1}=0}$, ${\displaystyle C=x_0^2+y_0^2+\frac{a^2}{b^2}{z}_0^2-a^2=p^2{C}_1^2+\frac{a^2}{b^2}{z}_0^2-a^2=\frac{1}{p^2}(d-n{z}_0{)}^2+\frac{a^2}{b^2}{z}_0^2-}$${\$$$$}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}=p^{2}C_{1}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}={\frac {1}{p^{2}}}(d-nz_{0})^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}}$. Therefore the intersection will result in only one solution if ${\displaystyle B^{2}=$교류}, 그러나 B=0{B=0\displaystyle}, A>0{\displaystyle A>0}[c], 임계 방정식이 되C=0{C=0\displaystyle}. 이 방정식과 Ez02− 2Fz0+G형태로 투입될 것=0{\displaystyle Ez_{0}^{2}-2Fz_{0}+G=0}, E=2b2p2+n. 2{)$displaystyle E={\frac {a^{2}}{b^{2}}}p^{2}+n^{2}}$, ${\displaystyle F=nd}$, and ${\displaystyle G=d^{2}-a^{2}p^{2}}$. Therefore, ${\displaystyle z_{0}={\frac {F\pm {\sqrt {{F}^{2}-EG}}}{E}}}$ provides the distance from the origin of the desired para일렬 평면 Plugging ${\displaystyle z_{0}}$ into ${\displaystyle C_{1}}$ gives the values for ${\displaystyle x_{0}}$ and ${\displaystyle y_{0}}$. Recall that ${\displaystyle t=-B/A=0}$ so ${\displaystyle x=x_{0}}$, ${\displaystyle y=y_{0}}$ are 교차로에 남아 있는 좌표 그런 다음 ECEF_to_Geo 변환을 사용하여 지리 좌표를 계산할 수 있다.

경맥에도 같은 방법을 적용해 극도의 경도를 찾을 수 있지만, 경도의 모듈화 특성 때문에 결과를 해석하기가 쉽지 않다. 그러나 결과는 항상 다음과 같은 접근법을 사용하여 검증할 수 있다.

The simpler approach is to compute the end points of the minor and major axes of the section ellipse using ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R_{c}} \pm b^{*}\mathbf {\hat {j}} ^{*}}$, and ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R_{c}} \pm a^{*}\mathbf$${\hat{i}$ $^\{*\}\}\}$을(를) 누른 다음 지리 좌표로 변환하십시오. 두 평면의 교차선은 한 평면을 다른 평면에 매핑하는 좌표 회전의 고정점 집합, 즉 회전 축으로 구성된다는 것을 여기서 언급할 가치가 있을 수 있다.

뉴욕 대 파리 사례의 결과는 다음과 같다.

참조

각주

인용구