원형단면

원형 단면이 있는 삼단 타원체

기하학에서 원형 단면은 사방 표면의 원(타원형 또는 하이퍼볼로이드 등)이다. 이 원은 원을 포함하는 평면의 사분면과의 교차점이기 때문에 사분면의 특수 평면 섹션이다.

구의 어떤 평면 섹션은 최소 2개의 점을 포함하는 경우 원형 섹션이다. 어떤 사분면의 혁명은 그 축에 직교하는 평면이 있는 부분으로서 원을 포함한다. 만약 그것이 구가 아니라면 그것은 다른 원을 포함하지 않는다. 3축 타원체, 타원형 실린더 등과 같은 다른 사분면에 원이 더 많이 숨겨져 있다. 그럼에도 불구하고 다음과 같은 것은 사실이다.

타원이 들어 있는 4중 표면은 원도 포함하고 있다.

동등하게, 모든 4중 표면은 포물선 및 쌍곡선 원통과 쌍곡선 포물선을 제외한 원을 포함한다.

사분면에 원이 포함되어 있는 경우, 이 원과 평행한 평면이 있는 사분면의 모든 교차점 또한 원입니다, 최소한 두 개의 점이 포함되어 있다면. 구를 제외하고, 사분면에 포함된 원은 모두 두 개의 고정면 중 하나(혁명의 사분면의 경우 동일함)와 평행하다.

원형 부분은 결정학에 사용된다.^[1]^[2]^[3]

투영 지오메트리 사용

사분면의 원형 섹션은 다음과 같이 사분면의 암묵적 방정식으로 계산할 수 있다. 그것들은 또한 합성 투영 기하학을 사용하여 특성화하고 연구될 수 있다.

$C$ 를 4중 표면 $Q$ 와 평면 $P$ 의 교차점이 되게 한다. 이 절에서 $Q$ 와 $C$ 는 3차원 유클리드 공간에 있는 표면으로 복잡한 숫자에 걸쳐 투영 공간으로 확장된다. 이러한 가설에서 $C$ 곡선은 무한대의 평면과의 교차점이 옴빌릭(방정식 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$ + $x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$ + z $x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$ = 0 ${\displaystyle$ x $^{2}+y^{2}+z^{2}=0})$ 에 포함되는 경우에만 원이다.

고려해야 할 첫 번째 경우는 $무한대$ 에서 평면과의 Q의 교차점이 하나 또는 두 개의 실제 선으로 구성되었을 때, 즉 $Q$ 가 쌍곡선 포물선, 포물선 실린더 또는 쌍곡선 실린더일 때이다. 이 경우 $C$ 의 무한대에 있는 점들은 실제(실제 선이 있는 실제 평면의 단면)이다. 따라서 $Q$ 의 평면 섹션은 원(타원 없이)이 될 수 없다.

$Q$ 가 구체라면 무한대에서 평면과의 교차점은 옴빌릭이며, 모든 평면 부분은 원이다.

$Q$ 가 혁명의 표면인 경우, 옴빌릭과의 교차점은 한 쌍의 복잡한 결합점(이중점)으로 구성된다. 실제 평면은 혁명의 축에 수직인 경우에만 이 두 점을 포함한다. 따라서 원형 섹션은 축에 수직인 평면에 의한 평면 섹션이며 최소 두 개의 실제 지점이 있다.

다른 경우에서, $Q$ 와 옴빌릭의 교차점은 서로 다른 두 쌍의 복잡한 결합점으로 구성된다. $C$ 는 2도의 곡선이기 때문에 무한도에서의 평면과의 교차점은 2개의 점으로 구성되며, 아마도 동일할 수 있다. $따라서$ 이 두 점이 옴빌릭에 있는 이 두 쌍의 복잡한 결합점 중 하나라면 C 곡선은 원이다. 이들 쌍은 각각 $P$ 와 무한대의 평면의 교차점인 실제 선(점들을 통과하는 선)을 정의한다. 따라서 만약 $C$ 가 최소 두 개의 실제 지점을 가지고 있다면, 그리고 $P$ 가 무한에 이러한 선들 중 하나를 포함하고 있는 경우( $P$ 가 무한에서 이 선들에 의해 정의된 두 가지 방향 중 하나에 평행하는 경우)는 원형 단면을 가지고 있다.

사분면의 원형단면 결정

주어진 사분면의 원형 부분을 포함하는 평면을 찾기 위해 다음과 같은 문구를 사용한다.

(S:) 구가 있는 사분면의 공통점이 한 쌍의 평면에 포함되어 있다면, 교차 곡선은 두 개의 원으로 구성된다.

(P:) 평면과 사분면의 교차점이 어떤 평행 평면보다 원인 경우, 사분면의 최소 두 점을 포함하는 사분면의 교차점도 원형으로 교차한다.

따라서 원형 단면 검출 전략은 다음과 같다.

1) 한 쌍의 평면에서 사방과 교차하는 구를 찾아서

2) 검출된 평면에 평행한 평면은 나머지 원형 단면을 전달한다.

삼축 타원체

삼각 타원형(파란색 및 녹색)과 청색 원형의 사분면을 교차하는 보조구(빨간색)가 있는 3각 타원형

구와 교차하는 타원체:

c<{\color {seagreen}r_{1}}<{\color {blue}b}<{\color {purple}r_{2}}<a

<

c<{\color {seagreen}r_{1}}<{\color {blue}b}<{\color {purple}r_{2}}<a

1

c<{\color {seagreen}r_{1}}<{\color {blue}b}<{\color {purple}r_{2}}<a

< b

c<{\color {seagreen}r_{1}}<{\color {blue}b}<{\color {purple}r_{2}}<a

<

c<{\color {seagreen}r_{1}}<{\color {blue}b}<{\color {purple}r_{2}}<a

c<{\color {seagreen}r_{1}}<{\color {blue}b}<{\color {purple}r_{2}}<a

<

c<{\color {seagreen}r_{1}}<{\color {blue}b}<{\color {purple}r_{2}}<a

c<{\color {seagreen}r_{1}}<{\color {purple}r_{2}}:

방정식이 있는 타원체용

{{\frac{x^{2}}+{\frac{y^{2}}:{b^{2}}}+{\frac{z^{2}}}{c^{2}}}}{c^{2}}=1

그리고 세미콜론 a $a>b>c>0$ > $a>b>c>0$ > c $a>b>c>0$ > $a>b>c>0$ $a>b>c>0$ 은 $a>b>c>0$ 방정식이 있는 보조 구를 사용한다.

x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\ .

타원체와의 교차점이 원점을 통과하는 두 평면에 포함되도록 구의 반지름을 선택해야 한다. 타원체 방정식을 $r^{2}$ $r^{2}$ ${\$ 배로 곱하고 $r^{2}$ 구의 방정식을 빼면 다음과 같다.

\left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {r^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}+\left({\frac {r^{2}}{c^{2}}}-1\right)\;z^{2}=0\ .

이 방정식은 3개의 계수 중 하나가 0인 경우 한 쌍의 평면을 설명한다. $\ r=a\$ = ${\$ \ $r=a\}$ $\ r=c\$ $\ r=c\$ = c ${\$ \ $r=c\}$ 의 경우 방정식은 $\ r=c\$ x축 또는 z축에 의해서만 충족된다. $\ r=b\$ = $\ r=b\$ ${\$ \ $r=b\}$ 의 $\ r=b\$ 경우에만 방정식이 있는 평면 쌍을 얻는다.

$\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {b^{2}}{c^{2}}}-1\right)\;z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\tfrac {c}{a}}{\sqrt {\tfrac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}-c^{2}}}}\;x\ ,$

왜냐하면 이 경우에만 나머지 계수는 다른 부호( $a>b>c$ : a $a>b>c$ > $a>b>c$ > $a>b>c$ > $a>b>c$ c {\ $displaystyle$ a $>b>c})$ 를 가지기 때문이다.

이 도표는 구와 타원체 사이의 더 일반적인 교차점에 대한 인상을 주며 예외적인 원형 케이스(파란색)를 강조한다.

반축의 값이 접근하고 있다면 평면(및 원)의 연필 두 자루도 접근한다. $a=b$ = $a=b$ $a=b$ 의 경우 모든 $a=b$ 평면이 z축(회전 축)과 직교한다.

재산증명서(P):
두 원(파란색) 중 하나가 x-y-plane에 놓이도록 타원형을 y 축을 중심으로 돌리면 타원형의 새로운 방정식이 생성된다.

Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+D{\color {red}xz}=E

$z=0$ = $z=0$ $z=0$ 의 $z=0$ $Ax^{2}+By^{2}=E$ $Ax^{2}+By^{2}=E$ 의 방정식이 되어야 하는 A $Ax^{2}+By^{2}=E$ $Ax^{2}+By^{2}=E$ B $Ax^{2}+By^{2}=E$ y 2 = E {\displaystyle $Ax^{2}+By^{2}=E}$ 를 얻는다 $Ax^{2}+By^{2}=E$ $A=B\neq 0,\ E>0$ = $A=B\neq 0,\ E>0$ $A=B\neq 0,\ E>0$ $A=B\neq 0,\ E>0$ E $A=B\neq 0,\ E>0$ > $A=B\neq 0,\ E>0$ $A=B\neq 0,\ E>0$ 인 경우에만 해당된다 $A=B\neq 0,\ E>0$ 방정식 $z=z_{0}$ = $z=z_{0}$ $z=z_{0}$ ${\$ (x-y-plane과 평행) 평면에 의한 타원체의 교차점에는 방정식이 있다.

A(x^{2}+y^{2})+Dz_{0}x=E-Cz_{0}^{2}

( x

A(x^{2}+y^{2})+Dz_{0}x=E-Cz_{0}^{2}

+

A(x^{2}+y^{2})+Dz_{0}x=E-Cz_{0}^{2}

A(x^{2}+y^{2})+Dz_{0}x=E-Cz_{0}^{2}

)

A(x^{2}+y^{2})+Dz_{0}x=E-Cz_{0}^{2}

+ D

A(x^{2}+y^{2})+Dz_{0}x=E-Cz_{0}^{2}

A(x^{2}+y^{2})+Dz_{0}x=E-Cz_{0}^{2}

=

A(x^{2}+y^{2})+Dz_{0}x=E-Cz_{0}^{2}

- C

A(x^{2}+y^{2})+Dz_{0}x=E-Cz_{0}^{2}

A(x^{2}+y^{2})+Dz_{0}x=E-Cz_{0}^{2}

A(x^{2}+y^{2})+Dz_{0}x=E-Cz_{0}^{2}

{\

2}}.

이 방정식은 원이나 점 또는 빈 집합을 설명한다. 원의 중심과 반경이 정사각형을 완성하고 있음을 알 수 있다.

1시트의 타원형 하이퍼볼로이드

한 장의 하이퍼볼로이드

방정식이 있는 단일 시트의 하이퍼볼로이드의 경우

{\frac{x^{2}}:}+{\frac {y^{2}}-{b^{2}}-{z^{2}}:{c^{2}}:{c^{2}}:{c^{}}=1\\>b\ ,c>0

유사하게 $\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\$ x $\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\$ + $\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\$ 2 + $\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\$ $\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\$ = $\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\$ 2 $\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\$ {\ $displaystyle \x^{2$ }+ $y^{2$ }+z $^{2}=$ r^{ $2}\}$ 등식이 $\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\$ 있는 교차점에 도달한다.

\left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {r^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-\left({\frac {r^{2}}{c^{2}}}+1\right)\;z^{2}=0\ .

$\ r=a\$ = ${\$ \ $r=a\}$ 에 대해서만 한 쌍의 평면을 얻을 수 있음 $\ r=a\$ :

\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-\left({\frac {a^{2}}{c^{2}}}+1\right)\;z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {c}{b}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+c^{2}}}}\;y\ ,\

타원형 실린더

타원형 원통

등식이 있는 타원형 실린더의 경우

{\frac{x^{2}}+{\frac{y^{2}}:{b^{2}}:{b^}=1\,\flash a>b\ ,

방정식을 얻다

\left({\frac{r^{2}}-1\오른쪽)\;x^{2}+\왼쪽^\frac\frac{r^{2}}:{b^{2}}-1\오른쪽)\;y^{2}-z^{2}=0\

$\ r=a\$ = ${\$ \ $r=a\}$ 에 대해서만 한 쌍의 평면을 얻을 수 있음 $\ r=a\$ :

\left({\frac{a^{2}}-{2}}-1\오른쪽)\;y^{2}-z^{2}=0\\\\lfrightrow \pm\\pm\sqrt {a^{2}-b^{2}}:{b\}}}}}}}}}}

타원형 파라볼로이드

방정식이 있는 타원형 파라볼로이드의 경우

ax^{2}+by^{2}-z=0\,\cHB a{\color {red}{{}b\,

정점(정점)을 포함하고 축(z-축)에 중심이 있는 구를 선택한다.

x^{2}+y^{2}+{2}+(z-r)^{2}=r^{2}\reft \reftrightarrow \reft x^{2}+y^{2}+z^{2}-2rz=0\

선형 부품을 제거한 후 방정식을 얻는다.

(2ra-1)\;x^{2}+(2rb-1)\;y^{2}-z^{2}=0\ .

$r={\tfrac {1}{2a}}$ = $r={\tfrac {1}{2a}}$ $r={\tfrac {1}{2a}}$ a ${\$ r $={\tfrac {1}{2}}:}$ 평면 $r={\tfrac {1}{2a}}$ 한 쌍:

\frac \{b}{a}-1\right)\;y^{2}-z^{2}=0\not \leftrightarrow \pm\\sqrt{b-a}\frac {b-a}\y\}}}}}}

두 장의 타원형 하이퍼볼로이드

방정식이 있는 두 장의 하이퍼볼로이드

-{\frac{x^{2}}-{\frac {y^{2}}:{b^{2}}:}+{\frac{z^{2}}:{c^{2}}:{c^{2}}:}=1\,\>b\,\},}},

처음에는 하나의 꼭지점이 원점(s. diagram)이 되도록 이동한다.

{\displaystyle -{\frac {x^{2}}-{\frac {y^{2}}:{b^{2}}+{\frac {(z+c)^{2}}}{c^{2}}:}=1\190\frac \{x^{2}}-{a^{2}}-{{b^{2}}:}+{\frac{z^{2}}:}+{{b^{2}}:}+{{c^{2}}}}+{\frac{2z}}}}}{c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{

파라볼로이드 케이스와 유사하게 z축에 중심이 있는 원점을 포함하는 구를 선택한다.

x^{2}+y^{2}+{2}+(z-r)^{2}=r^{2}\reft \좌우타로우 \reftrightarrow \x^{2}+y^{2}+z^{2}-2zr=0\

선형 부품을 제거한 후 방정식을 얻는다.

\left(-{\frac {r}{a^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;x^{2}+\left(-{\frac {r}{b^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;y^{2}+\left({\frac {r}{c^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)z^{2}=0\ .

r $r={\tfrac {a^{2}}{c}}$ = $r={\tfrac {a^{2}}{c}}$ $r={\tfrac {a^{2}}{c}}$ ${\$ 에 $r={\tfrac {a^{2}}{c}}$ 한 쌍의 평면이 제공됨:

\left(-{\frac {a^{2}}{b^{2}c}}+{\frac {1}{c}}\right)\;y^{2}+\left({\frac {a^{2}}{c^{3}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {c}{b}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+c^{2}}}\;y\ .

타원뿔

등식이 있는 타원형 원뿔

{\frac{x^{2}}+{\frac{y^{2}}:{b^{2}}:{b^}-z^{2}=0\,\flash a>b\,

정점이 원점이 아니도록 이동한다(s. 다이어그램).

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-(z-1)^{2}=0\quad \leftrightarrow \quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z^{2}+2z=1.

이제 원점에 중심이 있는 구가 적합하다.

x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\ .

$x^{2}$ 2 ${\$ x $^{2}}$ 회 $x^{2}$ 수확량:

{\displaystyle({\frac{a^{2}}-1)\;y^{2}-(1+a^{2}\;z^{2}+2a^{2}z=a^{2}-r^{2}\}\}

이 경우 사각형을 완성하면 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

{\frac{a^{2}-b^{2}}:{b^{2}}:}\;y^{2}-(1+a^{2})\왼쪽(z-{\frac{a^{2}}:{1+a^{2}{1+a^{2}){2}}}}\오른쪽)^{2}=a^{2}-{\frac{a^{4}{1+a^{2}}-r^{2}\

평면 쌍의 방정식을 얻으려면 방정식의 오른쪽 부분이 0이어야 하는데, 이 $r={\tfrac {a}{\sqrt {1+a^{2}}}}\ .$ 은 $r={\tfrac {a}{\sqrt {1+a^{2}}}}\ .$ r $r={\tfrac {a}{\sqrt {1+a^{2}}}}\ .$ = 1 + $r={\tfrac {a}{\sqrt {1+a^{2}}}}\ .$ 2 $r={\tfrac {a}{\sqrt {1+a^{2}}}}\ .$ . {\ $displaystyle$ r={\ $tfrac$ {a $}{\sqrt {1+a^{2$ }에 대해 참이다. $}}}\ .}$ z용 솔루션은 $r={\tfrac {a}{\sqrt {1+a^{2}}}}\ .$ 다음을 제공한다.

z={\frac {a^{2}}{1+a^{2}}}}}\pm {\frac{1}{b}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}:{1+a^{2}{2}}}}\;y\ .

참조

H. F. 베이커: 기하학의 원리, 3권, 캠브리지 대학 출판부, 2010, ISBN 978-1-108-01779-4.
D. M. Y. Sommerville: 3차원의 해석 기하학, 캠브리지 대학 출판부, 1959, ISBN 978-1-316-60190-7, 페이지 204.
K. P. 그로테미어: 분석 기하학. 괴셴-베를라크, 1962년, 페이지 143.
H. Scheid, W. Schwarz: Elemente der Linearen 대수학 및 분석. 스펙트룸, 하이델베르크, 2009년 ISBN 978-3-8274-1971-2, 페이지 132.

^ W. H. 웨스트팔: 피시칼리체스 Wörterbuch: 아이넴 밴드의 Zwei Teile. Springer-Verlag, 1952년 ISBN 978-3-662-12707-0, 페이지 350.
^ H. Tertsch: Die Festigkeitserscheinungen der Kristalle. Springer-Verlag, Wien, 1949, ISBN 978-3-211-80120-8, 페이지 87.
^ G. 매싱: 르르부흐 데르 알게마이넨 메탈쿤데. 1950년 베를린 스프링거-베를라크, ISBN 978-3-642-52-993-1, 페이지 355.

외부 링크

H. 비너, P. 트루틀린: 원형 단면을 사용한 3축 타원형 타원형 및 타원형 파라볼로이드 모델(페이지 15 참조) [1](PDF).

[1] W. H. 웨스트팔: 피시칼리체스 Wörterbuch: 아이넴 밴드의 Zwei Teile. Springer-Verlag, 1952년 ISBN 978-3-662-12707-0, 페이지 350.

[2] H. Tertsch: Die Festigkeitserscheinungen der Kristalle. Springer-Verlag, Wien, 1949, ISBN 978-3-211-80120-8, 페이지 87.

[3] G. 매싱: 르르부흐 데르 알게마이넨 메탈쿤데. 1950년 베를린 스프링거-베를라크, ISBN 978-3-642-52-993-1, 페이지 355.

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