글로벌 필드

수학에서 글로벌 분야는 두 종류의 분야 중 하나(다른 하나는 지역 분야)로, 가치를 이용한 것이 특징이다.글로벌 분야에는 두 가지 종류가 있다.^[1]

• 대수적 숫자 필드: $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 유한 확장
• 전역 함수 필드:유한장에 대한 대수곡선의 함수 필드, 동등하게 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$(${\displaystyle T}$) ${\displaystyle F_{q}(T)}$의 유한 확장, $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ 요소를$$ 가진 유한장 위에 한 변수의 합리적 함수 필드$.$

가치평가 이론을 통한 이러한 분야의 자명한 특성화는 1940년대에 에밀 아르틴과 조지 와플스에 의해 주어졌다.^[2][3]

형식 정의

글로벌 필드는 다음 중 하나이다.

대수수장

대수적 숫자 필드 F는 합리적인 숫자 Q의 필드의 유한한 (따라서 대수적) 필드 확장이다.따라서 F는 Q를 포함하고 있으며 Q에 대한 벡터 공간으로 간주될 때 유한한 치수를 갖는 장이다.

유한장위에 걸친 대수곡선의 함수장

품종의 기능장은 그 품종에 대한 모든 합리적인 기능들의 집합이다.유한장에 대한 대수 곡선(즉, 1차원 다양성 V)에서, 우리는 개방형 부속품 U의 합리적 함수는 U의 부속품 좌표 링에서 두 다항식의 비율로 정의되며, 모든 V에 대한 합리적 함수는 개방형 부속품의 교차점에 동의하는 그러한 지역 데이터로 구성된다고 말한다.모든 하위 집합은 밀도가 높기 때문에 기술적으로 V에 대한 합리적인 기능을 개방형 부속품 하위 집합의 부착 좌표 링 분율의 영역으로 정의한다.

두 종류의 필드 사이의 유사점

두 종류의 분야 사이에는 많은 형식적인 유사점이 있다.두 유형의 필드는 모든 보완 항목이 로컬로 압축된 필드라는 속성을 갖는다(로컬 필드 참조).어떤 유형의 모든 분야는 모든 0이 아닌 이상이 유한 지수를 갖는 데데킨드 영역의 분율 영역으로 실현될 수 있다.각 경우에 0이 아닌 원소에 대한 제품 공식이 x:

${\displaystyle \prod _{v} x _{v}=1.\ }$

두 종류의 분야 사이의 유추는 대수적 숫자 이론에서 강력한 동기 부여력이 되어 왔다.숫자 분야와 리만 표면 사이의 유사성에 대한 생각은 리차드 데데킨드와 하인리히 M으로 거슬러 올라간다. 19세기에 웨버.대수곡선으로서의 리만 표면의 측면이 유한장에 걸쳐 정의된 곡선에 매핑되는 '글로벌 필드' 아이디어에 의해 표현된 보다 엄격한 비유는 1930년대에 구축되어 안드레 웨일이 1940년에 정착한 유한장 위에 걸친 곡선에 대한 리만 가설로 정점을 찍었다.그 용어는 그의 기본 수론(1967년)을 부분적으로 써서 평행론을 펴낸 Weil 때문일 것이다.

기능 필드 케이스에서 작업한 다음 숫자 필드 쪽에서 병렬 기법을 개발하려고 시도하는 것이 일반적으로 더 쉽다.아라켈로프 이론의 발달과 모르델 추측에 대한 그의 증명에서 게르트 팔팅스에 의한 그것의 착취는 극적인 예다.이와사와 이론의 전개와 주요 추측에도 그 유추가 영향을 미쳤다.랭글랜드 프로그램의 기본 보조정리 증명서는 또한 기능 필드 케이스로 숫자 필드 케이스를 축소하는 기법을 사용하였다.

정리

하세-밍코프스키 정리

Hasse-Minkowski 정리는 글로벌 영역에 걸쳐 두 개의 이차적 형태가 모든 장소에서 국소적으로 동일한 경우에만 동등하다는 수 이론의 근본적인 결과물이다. 즉, 필드의 완성 때마다 동등하다.

아르틴 상호주의 법칙

아르틴의 상호주의 법칙은 하세 지역-글로벌 원리에 바탕을 둔 글로벌 필드 K의 절대 갈루아 집단의 아벨리아화(Abelianization)에 대한 설명을 내포하고 있다.코호몰로지 측면에서 다음과 같이 설명할 수 있다.

LUTK는_vv 갈루아 그룹 G와 함께 현지 필드의 갈루아 확장체가 되게 한다.지역상호법칙은 정반대의 이형성을 기술하고 있다.

$\displaystyle \theta _{v:K_{v}^{\time }/{L_{v}/{v}/{v}}(L_{v}^{\time }})\to G^{\text{ab},},}$

지역 아르틴 기호, 지역 상호주의 지도 또는 표준 잔여물 기호라고 한다.^[4][5]

LUTK는 글로벌 분야의 갈루아 확장이며_L C는 L의 아이들 클래스 그룹을 의미한다.K의 다른 장소들에 대한 지도 θ은_v Idel 클래스의 로컬 구성요소를 곱하여 하나의 글로벌 기호 맵으로 조립할 수 있다.아르틴 상호주의 법칙의 진술 중 하나는 이것이 규범적 이형성을 초래한다는 것이다.^[6][7]

인용구

참조