라마누잔타우 함수

라마누잔(1916년)이 연구한 라마누잔타우 함수는${\displaystyle }$identity : ${\displaystyle N\mathbb{}}$→ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$의 함수다.

${\displaystyle \sum \{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\n\gueq 1}\좌측(1-q^{n}\오른쪽)^{24}=\eta(z)^{24}=\Delta (z),}}$

여기서 q = exp(2πiz) Im z > 0과 η이 있는 dedekind eta 함수, Δ(z)는 중량 12와 수준 1의 홀로모르픽 쿠스프 형태로서 판별 모듈형 형태라고 알려져 있다.그것은 정수를 24제곱의 합으로 표현하는 방법의 수를 계산하는 것과 관련된 "오류 용어"와 관련하여 나타난다.이안 G. 맥도날드에 의한 공식은 다이슨(1972년)에서 주어졌다.

가치

tau 함수의 처음 몇 값은 다음 표에 제시되어 있다(OEIS의 순서 A000594).

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
τ(n)	1	−24	252	−1472	4830	−6048	−16744	84480	−113643	−115920	534612	−370944	−577738	401856	1217160	987136

라마누잔의 추측

라마누잔(1916년)은 τ(n)의 다음 세 가지 특성을 관찰했지만 증명하지는 못했다.

• τ(mn) = gcd(m,n) = 1일 경우 ((n)은 곱셈함수라는 의미)
• τ(p^{r + 1}) = τ(p)τ(p^{rr − 1}) - p¹¹ p p prime 및 r > 0.
• τ(p) ≤ 2p^11/2 모든 primes p.

처음 두 속성은 모르델(1917년)에 의해 증명되었고, 세 번째 속성은 라마누잔 추측이라고 불리며 1974년 델랭에 의해 웨일 추측에 대한 증거의 결과로 증명되었다(특히 그는 쿠가사토 품종에 그것들을 적용하여 추론했다).

타우 함수에 대한 조합

k ∈ $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$및 n$$ ∈ Z ${\$에 대해,$$_>0σ_k(n)을 n의 구분자의 k번째 힘의 합으로 정의한다.타우 함수는 몇 가지 합치 관계를 만족시킨다. 이들 중 다수는_k ((n) 단위로 표현할 수 있다.다음은 몇 가지:^[1]

1. ${\displaystyle \tau(n)\equiv \equiv \iquiv \ma _{11}\\bmod}{11}{\text{{}}{}}}{}n\equiv 1\\\\\bmod {\}}}}}}$^[2]
2. ${\displaystyle \tau(n)\equiv 1217\programma _{11}(n)\\\\bmod}{13}{\text{{}}{}n\equiv 3\{\bmod}}}}$^[2]
3. ${\displaystyle \tau(n)\equiv 1537\equiv_{11}(n)\\\bmod {\2}}^{12}{\text{{{}}}{}n\equiv 5\{\bmod {\}}}}$^[2]
4. ${\displaystyle \tau(n)\equiv 705\equiv 705\bma _{11}(n)\\\bmod{14}{\text{{}}{}}}{}n\equiv 7\{\bmod{\}}}}}}$^[2]
5. ${\displaystyle \tau(n)\equiv n^{-bmod}\{1231(n)\{\bmod{}{6}{\text{{}}{}}}}}{}n\equiv 1\{\bmod {\}}}}}}}$^[3]
6. ${\displaystyle \tau(n)\equiv n^{-bmod}\{1231(n)\{\bmod{7}{\text{{}{}}}{}n\equiv 2\{\bmod {\}}}}$^[3]
7. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-30}\ma _{71}(n)\{\bmod{\}{\text{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}*n\equiv 0\bmod {\bmod {\}$^[4]
8. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n\bma _{9}(n)\{\bmod {\}}{{\text{{{}}}{}}}}}}}{}n\equiv 0,2,4\{\bmod {\}}}}$^[5]
9. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n\bma _{9}(n)\\\bmod {\}{{}\n\equiv 3,5,6\{\bmod {\}}}}$^[5]
10. ${\displaystyle \tau (n)\equiv \equiv \iquiv \{11}(n)\\\bmod {\ }}}}691.}$^[6]

p^[1][7] 23 p 프라임은

11. ${\displaystyle \tau(p)\equiv 0\{\\bmod {\}}{}}}}}{{p}\ext{{}}인 경우:-1}$
12. ${\displaystyle \tau (p)\equiv \equiv \{11}(p)\\\bmod {\}{2}}:p{\text{{}}}{}}}}{{}\text{}}}}}}}{}}}}}}}}}}}}}}의 형식인 경우:$^[8]
13. ${\displaystyle \tau(p)\equiv -1\ {\bmod {\}}}{}}}}$

τ(n)에 대한 추측

f가 중량 k 정수 새로운 형태이고 푸리에 계수 a(n)가 정수라고 가정하자.문제를 고려하십시오.f가 복잡한 곱셈을 가지고 있지 않다면, 거의 모든 prime p가 a(p) ≠ 0(mod p)의 속성을 가지고 있다는 것을 증명한다.실제로 대부분의 프라임은 이 속성을 가져야 하며, 따라서 그것들은 보통이라고 불린다.n coprime to p에 대한 a(n) (mod p)를 결정하는 Galois 표현에 대한 Deligne와 Serre의 큰 진전에도 불구하고, 우리는 a(p) (mod p)를 계산하는 방법에 대한 어떠한 실마리도 가지고 있지 않다.이와 관련하여 유일한 정리는 모듈형 타원곡선에 대한 엘키스의 유명한 결과로서, 실제로 a(p) = 0인 프리타임 p가 무한히 많으며, 이는 명백히 0(mod p)이다.우리는 무한히 많은 primes p에 대해 a(p) 0 0 (mod p)이 2보다 큰 비-CM f의 어떤 예도 알지 못한다(거의 p에 대해 사실이어야 하지만).우리는 또한 무한히 많은 p에 대해 a(p) ≡ 0 (mod p)이 있는 어떤 예도 알지 못한다.어떤 사람들은 a(p) ≡ 0(mod p)이 무한히 많은 p를 위해 정말로 그럴까 의심하기 시작했었다.그 증거로 많은 이들이 라마누잔의 )(p) (중량 12의 경우)를 제공했다.τ(p) ≡ 0(mod p)이 있는 것으로 알려진 가장 큰 p는 7758337633이다.식 ((p) 0 0(mod p)에 대한 10까지의¹⁰ 해법은 2, 3, 5, 7, 2411, 7758337633밖에 없다.^[9]

르메르(1947)는 모든 n에 대해 ((n) 0을 추측했는데, 이것은 때때로 르메르의 추측으로 알려진 주장이다.레머는 n에 대한 추측을 214928639999까지 검증했다(Apostol 1997, 페이지 22).다음 표에는 이 조건이 모든 n ≤ N에 대해 유지하는 N의 큰 값을 연속적으로 찾는 진행률이 요약되어 있다.

N	참조
3316799	레머 (1947년)
214928639999	레머 (1949년)
1000000000000000	세레(1973, 페이지 98), 세레(1985)
1213229187071998	제닝스(1993)
22689242781695999	조던과 켈리(1999년)
22798241520242687999	보스만(2007)
982149821766199295999	쩡앤인(2013년)
816212624008487344127999	데릭스, 반회이, 쩡(2013년)

메모들

참조

• Apostol, T. M. (1997), "Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory", New York: Springer-Verlag 2nd Ed.
• Ashworth, M. H. (1968), Congruence and identical properties of modular forms (D. Phil. Thesis, Oxford)
• Dyson, F. J. (1972), "Missed opportunities", Bull. Amer. Math. Soc., 78 (5): 635–652, doi:10.1090/S0002-9904-1972-12971-9, Zbl 0271.01005
• Kolberg, O. (1962), "Congruences for Ramanujan's function τ(n)", Arbok Univ. Bergen Mat.-Natur. Ser. (11), MR 0158873, Zbl 0168.29502
• Lehmer, D.H. (1947), "The vanishing of Ramanujan's function τ(n)", Duke Math. J., 14 (2): 429–433, doi:10.1215/s0012-7094-47-01436-1, Zbl 0029.34502
• Lygeros, N. (2010), "A New Solution to the Equation τ(p) ≡ 0 (mod p)" (PDF), Journal of Integer Sequences, 13: Article 10.7.4
• Mordell, Louis J. (1917), "On Mr. Ramanujan's empirical expansions of modular functions.", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19: 117–124, JFM 46.0605.01
• Newman, M. (1972), A table of τ (p) modulo p, p prime, 3 ≤ p ≤ 16067, National Bureau of Standards
• Rankin, Robert A. (1988), "Ramanujan's tau-function and its generalizations", in Andrews, George E. (ed.), Ramanujan revisited (Urbana-Champaign, Ill., 1987), Boston, MA: Academic Press, pp. 245–268, ISBN 978-0-12-058560-1, MR 0938968
• Ramanujan, Srinivasa (1916), "On certain arithmetical functions", Trans. Camb. Philos. Soc., 22 (9): 159–184, MR 2280861
• Serre, J-P. (1968), "Une interprétation des congruences relatives à la fonction ${\displaystyle \tau }$ de Ramanujan", Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 14
• Swinnerton-Dyer, H. P. F. (1973), "On l-adic representations and congruences for coefficients of modular forms", in Kuyk, Willem; Serre, Jean-Pierre (eds.), Modular functions of one variable, III, Lecture Notes in Mathematics, vol. 350, pp. 1–55, doi:10.1007/978-3-540-37802-0, ISBN 978-3-540-06483-1, MR 0406931
• Wilton, J. R. (1930), "Congruence properties of Ramanujan's function τ(n)", Proceedings of the London Mathematical Society, 31: 1–10, doi:10.1112/plms/s2-31.1.1