드린펠트 모듈

수학에서 드린펠트 모듈(또는 타원형 모듈)은 칼리츠 모듈을 일반화하면서 유한장 위에 있는 곡선의 함수 링 위에 있는 대략 특수한 종류의 모듈이다.느슨하게 말하면, 그것들은 복잡한 곱셈 이론의 기능장 아날로그를 제공한다.슈투카(F-shheaf 또는 chtouca라고도 함)는 드린펠트 모듈의 일종으로, 곡선 위의 벡터 번들로 구성되며, 번들의 "Frobenius 트위스트"를 "수정"으로 식별하는 어떤 추가 구조와 함께 구성된다.

드린펠트 모듈은 드린펠트(1974년)에 의해 도입되었는데, 드린펠트(1974년)는 일부 특수한 경우에 대수 함수 분야의 GL에₂ 대한 랭글랜드 추측을 증명하는 데 사용했다.그는 후에 슈카스를 발명했고 GL에₂ 대한 랭글랜드 추측의 나머지 사례들을 증명하기 위해 2위 슈카들을 사용했다.로랑 라포르그는 n등급의 슈카 모듈리 스택을 연구함으로써 기능 분야의 GL에_n 대한 랭글랜드 추측을 증명했다.

슈투카(Shtuka)는 '한 권'을 뜻하는 러시아어 단어 ууура로, 독일 명사 '스튜크(Stück)'에서 따온 것으로, '피스, 아이템, 유닛'을 뜻한다.러시아어에서 슈투카라는 말은 속어로도 쓰이지만 속성은 알 수 있지만 화자의 마음 속에는 이름이 없다.

드린펠트 모듈

가법 다항식의 고리

$L$ $L$ 을(를) 특성 $p>0$ > $p>0$ $p>0$ 의 필드가 되도록 $L$ 했다 $p>0$ 링 $L\{\tau \}$ a_ $L\{\tau \}}}$ 은 $a_{0}+a_{1}\tau +a_{2}\tau ^{2}+\cdots$ 는) 0 + 1 + 1 + $a_{0}+a_{1}\tau +a_{2}\tau ^{2}+\cdots$ + $a_{0}+a_{1}\tau +a_{2}\tau ^{2}+\cdots$ + ${\displaystyle a_{0}+a_{1$ 의 링으로 정의된다 $L\{\tau \}$ . $L {\\$ $displaystyle L$ $}$ $위에 }\\tau$ ^{2}+\ $cdots$ $}($ 으 $L$ 로 $a_{0}+a_{1}\tau +a_{2}\tau ^{2}+\cdots$ 곱하기

\displaystyle \tau a=a^{p}\tau,\quad a\in L.}

The element $\tau$ can be thought of as a Frobenius element: in fact, $L$ is a left module over $L\{\tau \}$ , with elements of $L$ acting as multiplication and $\tau$ acting as the Frobenius endomorphism of ${\disp$ $레이스타일 L$ 링 $L\{\tau \}$ { $}$ {\ $displaystyle$ L\{\ $tau \}}}$ 은(절대적으로) 첨가된 모든 다항식의 링이라고도 생각할 수 있다 $L\{\tau \}$ .

a_{0}x+a_{1}x^{p}+a_{2}x^{p^{2}}+\cdots =a_{0}\tau ^{0}+a_{1}\tau +a_{2}\tau ^{2}+\cdots \,

$L[x]$ [ $L[x]$ $L[x]$ ${\$ $displaystyle L$ $[x]}$ 에서 $L[x]$ 다항식 $f$ {\ $displaystyle$ f $}이($ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ) $f(x+y)=f(x)+f(y)$ + y $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ) $f(x+y)=f(x)+f(y)$ = f $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ) $f(x+y)=f(x)+f(y)$ + f $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ${\$ $displaystyle f(x$ $L[x,y]$ $y)=f(x)+f(y)}($ $L[x,y]$ [ $x,y]})$ 의 요소로서 첨가물이라고 한다. $L[x,y]$ 가법 다항식의 링은 다항식 $\tau =x^{p}$ = x $\tau =x^{p}$ ${\$ 에 $L$ $의해$ L $L$ 에 대한 대수로서 생성된다 $\tau =x^{p}$ 가법 다항식의 링에 있는 곱셈은 다항식의 구성에 의해 주어지며, 다항식의 곱셈에 의해서 주어지지 않고, 역행하지 않는다.

Drinfeld 모듈의 정의

F는 유한한 상수 장을 가진 대수 함수 필드가 되게 하고 장소 $∞{\displaystyle \infult }$ 을 $\infty$ 고정시킨다.가능한 possibly $\infit$ 을(를) 제외한 모든 장소에서 규칙적인 F의 원소 링이 되도록 A를 정의하십시오 $\infty$ 특히 A는 데데킨드 도메인이며 F로 구분된다 $([\displaysty \infty }).$ 예를 들어, 우리는 A를 다항 링 $F_{q}[t]$ $F_{q}[t]$ [ $F_{q}[t]$ $F_{q}[t]$ {\ $displaystyle F_{q$ }[t $]}}$ 로 받아들일 수 있다 $F_{q}[t]$ L은 링 동형성 $\iota :A\to L$ : $\iota :A\to L$ → L ${\displaystyle \iota$ : $A\to$ L $\iota :A\to L$

Drinfeld A-module over L은 고리 동형성

\phi :A\to L\{\tau \}

: A

\phi :A\to L\{\tau \}

→

\phi :A\to L\{\tau \}

{

\phi :A\to L\{\tau \}

{\displaystyle \pi

:

\phi

가 L에 포함되어 있지

않은

A\

to

L

\{\

tau

\}}:

d:L\{\tau \}\to L,\,a_{0}+a_{1}\tau +\cdots \mapsto a_{0}

:

d:L\{\tau \}\to L,\,a_{0}+a_{1}\tau +\cdots \mapsto a_{0}

{

d:L\{\tau \}\to L,\,a_{0}+a_{1}\tau +\cdots \mapsto a_{0}

→

d:L\{\tau \}\to L,\,a_{0}+a_{1}\tau +\cdots \mapsto a_{0}

,

d:L\{\tau \}\to L,\,a_{0}+a_{1}\tau +\cdots \mapsto a_{0}

+

d:L\{\tau \}\to L,\,a_{0}+a_{1}\tau +\cdots \mapsto a_{0}

d:L\{\tau \}\to L,\,a_{0}+a_{1}\tau +\cdots \mapsto a_{0}

+ ⋯ +

a a

\

d:L\{\tau \}\to L,\,a_{0}+a_{1}\tau +\cdots \mapsto a_{0}

\ \

\:

L\{\tau \}\to L,\,a_{0}+a_{1

}\tau +\cdots \mapsto a_{0}

은(는)

\iota :A\to L

:

\iota :A\to L

→

\iota :A\to L

{\displaystyle \iota :

와 일치한다

d:L\{\tau \}\to L,\,a_{0}+a_{1}\tau +\cdots \mapsto a_{0}

.

A\to

L

\iota :A\to L

A의 이미지가 L에 없는 조건은 사소한 경우를 제거하기 위해 삽입된 비지상 조건인 반면, $d\circ \phi =\iota$ $d\circ \phi =\iota$ = $d\circ \phi =\iota$ $d\circi =\iota$ 은(는) 드린펠드 모듈이 단순히 지도 $\iota$ ${\displaysty \iota }$ 의 변형이라는 인상을 준다 $d\circ \phi =\iota$ $\iota$

L{{τ}는 L의 첨가물 그룹의 내형성이라고 생각할 수 있기 때문에 Drinfeld A-module은 L의 첨가물 그룹에 대한 A의 작용으로 볼 수 있고, 다시 말해 기본 첨가물 그룹이 L의 첨가물 그룹인 A-module로 볼 수 있다.

Drinfeld 모듈의 예

한정된 순서 p의 필드 위에 있는 다항식의 통상적인 (계속!) 링인_p F[T]로 A를 정의한다.즉, A는 아핀속 0곡선의 좌표고리다.그러면 Drinfeld 모듈 ψ은 L{{}의 어떤 비정수 요소가 될 수 있는 T의 영상 ((T)에 의해 결정된다.그래서 드린펠드 모듈은 L{{τ}의 비정규적 요소로 식별할 수 있다.(더 높은 속에서는 드린펠드 모듈에 대한 설명이 더 복잡하다)
칼리츠 모듈(Carlitz module)은 ψ(T) = T+τ이 주는 드린펠트 모듈로, 여기서 A는 F_p[T]이고 L은 A를 포함하는 적절한 완전 대수적으로 폐쇄된 필드다.드린펠트 모듈의 일반적 정의가 나오기 훨씬 전인 1935년 L. 칼리츠에 의해 기술되었다.칼리츠 모듈에 대한 자세한 내용은 고스의 책 3장을 참조하십시오.칼리츠 지수(Carlitz 지수)도 참조하십시오.

슈투카스

X가 유한 필드 F에_p 대한 곡선이라고 가정합시다.스키마(또는 스택) U에 대한 랭크 r의 (오른쪽) 슈카(Shtuka)는 다음 데이터에 의해 제공된다.

국소적으로 자유자재로 U×X에 걸쳐 순위 r의 E, E′를 주입 형태와 함께 덮음

E → E′ ← (Fr×1)^*E,

그들의 코커넬은 U에서 X까지의 형태론의 특정 그래프에서 지지되며(슈투카의 0과 극으로 불리며, 보통 0과 ∞으로 표시됨) 그들의 지지대에서는 국소적으로 1위가 없다.여기서 (Fr×1)^*E는 U의 프로베니우스 내형성에 의한 E의 후퇴다.

좌슈카(left shtuka)는 형태론의 방향이 역전되는 것을 제외하고는 동일한 방식으로 정의된다.만약 슈카의 극과 0이 분리된다면, 왼쪽 슈카와 오른쪽 슈카들은 본질적으로 동일하다.

U를 변화시킴으로써, 우리는 R등급의 슈카라는 대수 스택 슈투카^r, Shtuka^r×X에 대한 "범용" 슈투카, 그리고^r Shtuka에서 X×X까지의 형태론 (1978,0)을 얻는데, 이것은 매끄럽고 상대적인 차원 2r - 2이다.스택 슈투카는^r r > 1에 대해 유한한 형식이 아니다.

Drinfeld 모듈은 어떤 의미에서 특별한 종류의 슈카이다.(이것은 정의에서 전혀 명백하지 않다.)더 정확히 말하면, 드린펠드는 드린펠드 모듈에서 슈카를 만드는 방법을 보여주었다.Drinfeld, V. G. Commutative subring of some noncommutative ring을 참조하십시오.재미있다.논어. i Prilovzen. 11 (1977), 1번, 11–14, 96.

적용들

Langlands의 기능장에 대한 추측에 따르면_n GL의 정지 자동형 표현과 Galois 그룹의 특정 표현 사이에 편차가 있다고 한다(매우 대략).드린펠드는 랭글랜드 추측의 몇 가지 특별한 경우를 증명하기 위해 드린펠트 모듈을 사용했고, 이후 드린펠드 모듈을 슈카스에 일반화함으로써 GL에₂ 대한 완전한 랭글랜드 추측을 증명했다.이러한 추측을 증명하는 "힘든" 부분은 특정한 성질을 가진 갈루아 표현을 구성하는 것이고, 드린펠트는 2위 슈투카스의 특정 모듈리 공간의 l-adic cohomology 안에서 그것들을 발견함으로써 필요한 갈루아 표현을 구성했다.

Drinfeld는 R등급의 Shutuka의 모둘리 공간을 GL의_r Langlands 추측을 증명하는 유사한 방법으로 사용할 수 있다고 제안했다; 이 프로그램을 수행하는 데 관련된 가공할 기술적 문제들은 수년간의 노력 끝에 Laforgue에 의해 해결되었다.

참고 항목

참조