랭글런즈–샤히디법

수학에서는 랭글런즈-Shahidi method는 많은 경우 수 필드에 걸쳐 연결된 환원 그룹에서 발생하는 자동 L-함수를 정의하는 수단을 제공합니다. 여기에는 일반 선형 그룹의 커스프달 자동 표현을 위한 Rankin-Selberg 제품이 포함됩니다. 이 방법은 아이젠슈타인 급수를 통해 전역 이론과 연결되는 국소 계수 이론을 발전시킵니다. 결과 L-함수는 중요한 함수 방정식을 포함한 여러 분석 특성을 만족합니다.

국소 계수

설정은 로컬 필드 F에 대해 정의된 Levi 부분군 M과 함께 연결된 준분할 환원 그룹 G의 일반성에 있습니다. 예를 들어, G = G가 랭크 l의 고전적인 그룹이라면, 그것의 최대 Levi 부분군은 GL(m) × G의 형태이며, 여기서 G는 랭크 n의 고전적인 그룹이며 G와 같은 타입, l = m + n. F입니다. Shahidi는 M(F)의 축소 불가능한 일반 표현에 대한 국소 계수 이론을 발전시킵니다.^[1] 로컬 계수는 일반 표현에서 포물선 유도로 얻은 표현에 대한 얽힘 연산자 이론과 쌍을 이루는 휘태커 모델의 고유 특성을 통해 정의됩니다.

랭글런즈의 아이젠슈타인 급수^[2] 이론의 함수방정식에 등장하는 전역적 얽힘 연산자는 국소적 얽힘 연산자의 곱으로 분해될 수 있습니다. M이 최대 Levi 부분군일 때, 국소 계수는 적절하게 선택된 Eisenstein 급수의 푸리에 계수에서 발생하며 부분 L-함수의 곱을 포함하는 조함수 방정식을 만족합니다.

국소인자와 함수방정식

유도 단계는 전 세계적으로 일반적인 cuspidal automorphic 표현 π = ⊗ $'$ π v {\displaystyle \pi =\otimes '\pi _{v}의 조함수 방정식을 부분 L-함수 및 γ-인자의 개별 함수 방정식으로 정제합니다.

L^{S}(s,\pi ,r_{i})=\prod _{v\in S}\gamma _{i}(s,\pi _{v},\psi _{v})L^{S}(1-s,{\tilde {\pi }},r_{i}).

세부 사항은 기술적입니다: 복잡한 변수, $r=\oplus r_{i}$ 외부의 v에 대해 $\pi _{v}$ π v가 ${\displaystyle$ \pi_{v}인 (기본 전역 필드의) 유한 집합, r = ⊕ r {\displaystyle $r$ =\opplus r_{i}는 G의 랭글런즈 이중 그룹의 특정 부분군의 복소 리 대수에 대한 M의 인접 작용입니다. G가 특수 선형 그룹 SL(2)이고 M = T가 대각 행렬의 최대 토러스일 때, π은 그뢰 ß엔 문자이고 해당 γ 인자는 테이트의 논문의 로컬 인자입니다.

γ 인자는 함수 방정식에서의 역할과 포물선 유도에 대한 다중성을 포함한 지역 특성 목록에 의해 고유하게 특징지어집니다. 이들은 v가 최대치에 로컬 필드를 제공하거나 v가 비 최대치이고 $\pi _{v}$ π v ${\displaystyle$ \pi_{v}가 M(F)의 분할되지 않은 주계열 표현의 구성요소일 때 L-함수에서 Art와 루트 번호에서 Art를 포함하는 관계를 만족합니다. 로컬 L-함수 및 루트 번호 $(s,\pi _{v},r_{i,v},\psi _{v})$ ε( $(s,\pi _{v},r_{i,v},\psi _{v})$ π v $(s,\pi _{v},r_{i,v},\psi _{v})$ ri, v, $(s,\pi _{v},r_{i,v},\psi _{v})$ ψ $(s,\pi _{v},r_{i,v},\psi _{v})$ v) ${\displaystyle(s,\pi_$ {v}, r_{i,v},\psi_{v}}은(는) p-adic 그룹에 대한 Langlands 분류를 통해 $v$ ∈ S {\displaystyle v\in S}을 $포함$ 한 $v\in S$ 위치에서 정의됩니다. 함수방정식은 다음과 같은 형태를 띨 것입니다.

L(s,\pi,r_{i})=\epsilon (s,\pi ,r_{i})L(1-s,{\tilde {\pi }},r_{i}),

여기서 $L(s,\pi ,r_{i})$ π $,$ r) ${\displaystyle$ L( $s,\pi,$ r_{ $\epsilon (s,\pi ,r_{i})$ ϵ $($ s, π, r) ${\displaystyle$ \epsilon(s,\pi,r_{i})}은 완료된 전역 L-함수 및 루트 번호입니다.

자동 L-함수의 예

$L(s,\pi _{1}\times \pi _{2})$ × π 2) ${\displaystyle L$ (s $,\pi_{1$ times \pi_{2}}, 커스프달 오토모픽 $\pi _{1}$ 의 랭킨-셀버그 L-함수는 GL( $L(s,\pi _{1}\times \pi _{2})$ )의 $\pi _{1}$ $π$ $1$ {\displaystyle \ $\pi _{2}$ 1}} $및$ GL( $L(s,\pi _{1}\times \pi _{2})$ )의 $\pi _{2}$ π 2 {\displaystyle \pi_{2}입니다.
$L$ × π) {\displaystyle L(s,\tau \times \pi )}, $L(s,\tau \times \pi )$ 기서 τ는 GL(m)의 커스프달 자동 표 $L(s,\tau \times \pi )$ 이고 π는 고전 그룹 G의 글로벌 일반 커스프달 자동 표현입니다.
$L(s,\tau ,r)$ τ, r) ${\displaystyle L(s,\$ tau $L(s,\tau ,r)$ r $L(s,\tau ,r)$ }, τ은 이전과 같고 대칭 사각형, 외부 사각형 또는 GL(n)의 이중 그룹의 아사이 표현입니다.

랭글런즈의 전체 목록-Shahidi L-함수는^[4] 준분할 그룹 G와 최대 Levi 부분군 M에 의존합니다. $보다$ 구체적으로, Dynkin 다이어그램을 이용하여 인접 작용 r = ⊕ $r=\oplus r_{i}$ r {\ $displaystyle$ r=\opplus r_{i}}의 분해를 분류할 수 있습니다. Eisenstein Series 이론을 통한 자동 L-함수에 대한 첫 번째 연구는 Langlands의 Euler Products에서 볼 수 있으며,^[5] 자동 표현은 모든 곳에 라미네이팅되지 않은 상태라는 가정 하에 있습니다. 랭글런즈가 뭐지?Shahidi method는 휘태커 모델의 존재를 요구하는 것 외에 M의 표현에 다른 조건이 없는 L-함수와 근수의 정의를 제공합니다.

L-함수의 해석적 성질

글로벌 L 기능은 다음을 만족하면 좋다고^[6] 합니다.

$L(s,\pi ,r),\ L(s,{\tilde {\pi }},r)$ , $L(s,\pi ,r),\ L(s,{\tilde {\pi }},r)$ L $s,$ π ~, r) {\displaystyle L(s,\pi,r),\L(s,{\tilde {\pi}}}은(는) 복소 변수의 전체 함수로 확장됩니다.
$L(s,\pi ,r),\ L(s,{\tilde {\pi }},r)$ , $L(s,\pi ,r),\ L(s,{\tilde {\pi }},r)$ L $s,$ π ~, r) {\displaystyle L(s,\pi,r),\L(s,{\tilde {\pi}}}은(는) 수직 스트립으로 경계지어집니다.
(함수식) $L(s,\pi ,r)=\epsilon (s,\pi ,r)L(1-s,{\tilde {\pi }},r)$ ( $L(s,\pi ,r)=\epsilon (s,\pi ,r)L(1-s,{\tilde {\pi }},r)$ π, r) = $L(s,\pi ,r)=\epsilon (s,\pi ,r)L(1-s,{\tilde {\pi }},r)$ ϵ $L(s,\pi ,r)=\epsilon (s,\pi ,r)L(1-s,{\tilde {\pi }},r)$ ( $,$ π, $r$ ) L (1 - s, π ~ , r ) {\displaystyle L(s,\pi,r) =\epsilon(s,\pi,r) L(1-s,{\tilde {\pi}}}.

랭글런즈–샤히디 L-함수는 함수 방정식을 만족합니다. 수직 스트립에서 경계성을 향한 진행은 S. S. Gelbart와 F에 의해 이루어졌습니다. 샤히디.^[7] 그리고, 매우 격앙된 캐릭터들에 의해 반전을 포함시킨 후, 랭글런즈-샤히디 L 기능은 완전합니다.^[8]

또 다른 결과는 L-함수의 소멸이 없다는 것입니다. 일반 선형군의 Rankin-Selberg 곱의 경우, $L(1+it,\pi _{1}\times \pi _{2})$ + $L(1+it,\pi _{1}\times \pi _{2})$ π $L(1+it,\pi _{1}\times \pi _{2})$ 1 × $L(1+it,\pi _{1}\times \pi _{2})$ π 2) ${\displaystyle$ L(1+it $,\pi_{1}\$ times \pi_{2}}는 모든 실수 t에 대해 0이 아니라고 합니다.

기능성 및 p-아딕 군의 표현 이론에 대한 적용

고전 그룹의 기능성: 고전 그룹의 커스프달 글로벌 일반 자동 표현은 N이 고전 그룹에 의존하는 GL(N)의 자동 표현에 랭글런즈 함수 리프트를 허용합니다.^[10] 그리고 W. Luo, Z의 라마누잔 경계. GL(N)에 대한 루드닉과 P. 사르낙은^[11] 고전 그룹의 일반화된 라마누잔 추측에 대한 사소한 경계를 산출합니다.
GL(2)에 대한 대칭적 거듭제곱: Langlands에 의해 대칭적 정육면체와 GL(2)의 커스프달 오토모픽 표현의 대칭적^[12] 네 번째 거듭제곱에 대한 함수성의 증명이 가능해졌습니다.샤히디 방법. 더 높은 대칭 파워를 향한 진행은 라마누잔을 향한 가능한 최상의 경계로 이어집니다.GL(2)의 자동적인 커스프 형태에 대한 피터슨 추측.
p-아딕 그룹의 표현: Harish-Chandra μ 함수(Plancherel 공식에서)와 p-adic 환원 그룹의 상보적 시리즈를 포함하는 응용이 가능합니다. 예를 들어, GL(n)은 고전 그룹 G의 시겔 레비 부분군으로 나타납니다. π가 p-adic $I(\pi )=I(0,\pi )$ 의 필드 F에 대한 GL(n, F)의 매끄러운 축소 불가능한 초첨부 표현이고 I $I(\pi )=I(0,\pi )$ π $I(\pi )=I(0,\pi )$ = $I(\pi )=I(0,\pi )$ I(0 $,$ π) {\displaystyle I(\pi ) = I(0,\pi )}가 축소 불가능한 경우:

$I(s,\pi )$ ) ${\displaystyle I($ s,\pi )}은(는) 축소할 수 없으며 0 < s < 1에 대한 상보 시리즈에 있습니다.
$I(1,\pi )$ ) ${\displaystyle I($ 1,\pi)}는 축소 가능하며 고유한 일반적인 비초첨성 이산 시리즈 부분 표현을 갖습니다.
$I(s,\pi )$ ) ${\displaystyle I($ s,\pi )}는 축소할 수 없으며 s > 1에 대한 상보 시리즈에서는 절대 사용할 수 없습니다.

여기서 $I(s,\pi )$ π) {\ $displaystyle I($ s,\pi )}는 다음으로부터 단일 포물선 유도에 의해 얻어집니다.

$\pi \otimes |\det |^{s}$ π $\pi \otimes |\det |^{s}$ ⊗는 $\pi \otimes |\det |^{s}$ G = SO(2n), Sp(2n) 또는 U(n+1, n)인 경우 ${\displaystyle$ \ $pi \otimes \det$ ^{s}}를 감지합니다.
$\pi \otimes |\det |^{s/2}$ G $\pi \otimes |\det |^{s/2}$ SO(2n+1) 또는 U(n, n)인 $\pi \otimes |\det |^{s/2}$ π ⊗ $dets$ / 2 {\displaystyle \pi \otimes \det ^{s/2}}.

참고문헌

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