정확한 펑터

수학, 특히 동역학 대수학에서 정확한 펑터는 짧은 정확한 순서를 보존하는 펑터다.정확한 펑터는 물체의 표시에 직접 적용할 수 있기 때문에 대수적 계산에 편리하다.호몰로지 대수학에서의 많은 작업은 정확하지는 않지만 여전히 통제될 수 있는 방식으로 작용하는 functors에 대처하기 위해 고안되었다.

정의들

P와 Q를 아벨의 범주로 하고, F: P→Q를 공변량 첨가 functor(특히 F(0)=0)로 한다.우리는 F가 언제나 정확한 functor라고 말한다.

0\to A{\stackrel {f}{\\to }B{\stackrel {g}{\to }C\to 0

P의 짧은 정확한 시퀀스 입니다.

0\to F(A){\stackrel {F(f)}{\\f(B){\stackrel {F(g)}{\}{\}F(C)\to 0

Q의 짧은 정확한 순서(지도는 종종 생략되고 암묵적으로 나타나는데, "0→A→B→C→0이 정확하다면, 0→F(A)→F(B)→F(C)→0도 정확하다"는 말이 있다.)

더 나아가서 우리는 F가

0→A→B→C→0이 정확할 때마다 0→F(A)→F(B)→F(C)가 정확할 경우, 왼쪽-정확하다.
0→A→B→C→0이 정확할 때마다 F(A)→F(B)→F(C)→0이 정확할 경우, 정확히 일치한다.
0→A→B→C→0이 정확할 때마다 F(A)→F(B)→F(C)가 정확하다면 반정확하다.이것은 위상학적으로 반쪽짜리 functor라는 개념과는 구별된다.

만약 G가 P에서 Q까지의 상쇄적 첨가물 functor라면, 우리는 G를 비슷하게 정의한다.

0→A→B→C→0이 정확할 때마다 0→G(C)→G(B)→G(A)→0이 정확할 경우,
0→A→B→C→0이 정확할 때마다 0→G(C)→G(B)→G(A)가 정확할 경우, 왼쪽-정확하다.
0→A→B→C→0이 정확할 때마다 G(C)→G(B)→G(A)→0이 정확할 경우, 정확히 일치한다.
0→A→B→C→0이 정확할 때마다 G(C)→G(B)→G(A)가 정확하다면 반정확하다.

정확성을 어느 정도 보존하기 위해 항상 짧은 정확도 시퀀스 0→A→B→C→0으로 시작할 필요는 없다.다음 정의는 위에 제시된 정의와 동일하다.

F는 A→B→C가 정확하게 F(A)→F(B)→F(C)를 의미하는 경우에만 정확하다.
F는 0→A→B→C가 정확히 0→F(A)→F(B)→F(C)를 정확히 내포하는 경우에만 왼쪽-정확하다(예: "F가 커널을 커널로 변환하는 경우)"
F는 A→B→C→0이 정확하게 F(A)→F(B)→F(C)→0을 의미하는 경우에만 정확하다(예: "F가 코커넬을 코커넬로 변환하는 경우)"
G는 A→B→C→0이 정확히 0→G(C)→G(B)→G(A)를 정확히 내포하는 경우에만(즉, "G가 코커넬을 커널로 변환하는 경우)";
G는 0→A→B→C가 정확히 G(C)→G(B)→G(A)→0(즉, "G가 커널을 코커넬로 바꾸는 경우")을 내포하는 경우에만 정확하다.

예

아벨의 범주의 모든 등가성 또는 이중성은 정확하다.

왼쪽 정확한 펑터의 가장 기본적인 예는 홈 펑커스(Hom functors)이다: A가 아벨리아 범주이고 A의 개체인 경우_A F(X) = Hom_A(A,X)은 A에서 아벨리아 그룹의 Ab 범주에 이르는 공변 왼쪽 엑셀 펑터를 정의한다.^[1]Functor F는_A A가 투영적인 경우에만 정확하다.^[2]Functor G_A(X) = Hom_A(X,A)은 상쇄성 좌익-exact functor로,^[3] A가 주입된 경우에만 정확하다.^[4]

k가 필드이고 V가 k에 대한 벡터 공간인 경우, 우리는 V* = Hom_k(V,k)을 쓴다(이는 일반적으로 이중공간으로 알려져 있다).이것은 k-벡터 공간의 범주에서 그 자체로 반대방향의 정확한 functor를 산출한다. (정확성은 위에서부터 따른다:k는 주입식 k-module이다.또는 k-벡터 공간의 모든 짧은 정확한 순서가 분할되고, 모든 부가적인 펑터가 분할 시퀀스를 분할 시퀀스로 변환한다고 주장할 수 있다.)

X가 위상학적 공간이라면, 우리는 X에 있는 모든 아벨리아 그룹의 아벨리아 범주를 고려할 수 있다.전지구적 섹션 F(X)의 그룹을 각 피복 F에 연결하는 공변량 펑터는 왼쪽-직접이다.

R이 링이고 T가 우측 R-모듈이라면 R: H_T(X) = T x X에 걸쳐 텐서 제품을 사용함으로써 모든 좌측 R-모듈의 아벨리아 범주에서 Ab까지 functor H를_T 정의할 수 있다.이것은 공변량 오른쪽 정확한 functor이다; 그것은 T가 평평한 경우에만 정확하다.즉, 왼쪽 R 모듈의 정확한 시퀀스 A→B→C→0으로 볼 때, 아벨 그룹 T groups A→T ⊗ B→T ⊗ C→0의 시퀀스가 정확하다.

예를 들어 $\mathbb {Q}$ ${\$ 은 $\mathbb {Q}$ (는) 플랫 $\mathbb {Z}$ ${\$ -module이다 $\mathbb {Z}$ .따라서, $\mathbb {Z}$ ${\$ 을 $\mathbb {Q}$ (를) Z $\mathbb {Z}$ {\ $displaystyle \mathb {Z}$ -module로 $\mathbb {Z}$ 텐서핑하는 것이 정확한 functor이다.증명: 만약 내가 $\mathbb {Z}$ ${\$ } -modules $\mathbb {Z}$ $i:M\to N$ : $i:M\to N$ → $i:M\to N$ ${\displaystyle i:$ $M\to$ $M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q}$ $i:M\to N$ 그러면 텐서 제품 $M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q}$ $M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q}$ Q $M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q}$ → $M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q}$ $M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q}$ $M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q}$ ${\$ \mathb {Q} \to N\otimes $\mathb {Q}}}$ 사이의 해당 맵이 주입된다 $M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q}$ . $m$ $m$ 이(가) 비틀림 요소인 $m$ 경우 $m\otimes q=0$ 또는 $q=0$ = 0 ${\$ displaystyle q $=0}$ 인 경우에만 $m\otimes q=0$ $m\otimes q=0$ = $m\otimes q=0$ {\ $displaystyle q$ $=0}$ 을(를) 나타낼 수 있다 $q=0$ 주어진 텐서 제품은 순수한 텐서만 가지고 있다.따라서 순수한 $m\otimes q$ m $m\otimes q$ $m\otimes q$ $m\otimes q$ 이(가) 커널 안에 있으면 $m\otimes q$ 0이라는 것만 보여 준다. $m\otimes q$ $m\otimes q$ $m\otimes q$ $m\otimes q$ 이 $m\otimes q$ (가) 커널의 0이 아닌 요소라고 가정합시다.그러면 $i(m)$ ( $i(m)$ ) $i(m)$ 이(가) 비틀림이다 $i(m)$ . $i$ $i$ 은(는) 주입식이기 $i$ 때문에 $m$ $m$ 은(는) 비틀림이다 $m$ .따라서 $m\otimes q=0$ $m\otimes q=0$ $m\otimes q=0$ = $m\otimes q=0$ {\ $displaystyle m\otimes q=0$ 이것은 모순이다. $M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q}$ $M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q}$ $M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q}$ Q $M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q}$ → $M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q}$ $M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q}$ Q ${\$ Q} $\to$ N\otimes $\mathb {Q}$ 도 $M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q}$ 주입된다 $.$

일반적으로 T가 평평하지 않으면 텐서 제품이 정확하게 남아 있지 않다.For example, consider the short exact sequence of $\mathbf {Z}$ -modules $5\mathbf {Z} \;\;{\hookrightarrow }\;\;\mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /5\mathbf {Z}$ . Tensoring over $\mathbf {Z}$ with ${\displaystyl$ $e \mathbf {Z} /5\mathbf {Z}$ 은 $($ 는) Z $\mathbf {Z} /5\mathbf {Z}$ / $\mathbf {Z} /5\mathbf {Z}$ $\mathbf {Z} /5\mathbf {Z}$ ${\$ 은 $\mathbf {Z} /5\mathbf {Z}$ (는) 비틀림이 없으므로 더 이상 정확하지 않은 시퀀스를 제공한다 $\mathbf {Z} /5\mathbf {Z}$ .

만약 A가 아벨리안 범주이고 C가 임의의 작은 범주라면, 우리는 C에서 A까지의 모든 functors로 구성된 functor 범주 A를^C 고려할 수 있다; 그것은 아벨리안이다.만약 X가 C의 주어진 물체라면, 우리는 X에서 Functor를 평가함으로써 A에서^C A까지의 Functor E를_X 얻는다.이 functor E는_X 정확하다.

텐서링이 정확하게 남아 있지 않을 수 있지만, 텐서링이 정확한 펑터임을 알 수 있다.

정리:A,B,C,P를 승법정체성을 갖는 정류 링 R의 R 모듈이 되도록 한다. $A{\stackrel {f}{\to }}B{\stackrel {g}{\to }}C\to 0$ → $A{\stackrel {f}{\to }}B{\stackrel {g}{\to }}C\to 0$ $A{\stackrel {f}{\to }}B{\stackrel {g}{\to }}C\to 0$ → $A{\stackrel {f}{\to }}B{\stackrel {g}{\to }}C\to 0$ $A{\stackrel {f}{\to }}B{\stackrel {g}{\to }}C\to 0$ → $A{\stackrel {f}{\to }}B{\stackrel {g}{\to }}C\to 0$ ${\displaystyle A{\stackrel {f}{\\to }B{\\\stackrel {g}{{\\c\to$ }}}에 맡기십시오.

그렇다면 R 모듈의 순서가 짧다.

A\otimes _{R}P{\stackrel {f\otimes P}{\to }}B\otimes _{R}P{\stackrel {g\otimes P}{\to }}C\otimes _{R}P\to 0

is also a short exact sequence of R modules. (Since R is commutative, this sequence is a sequence of R modules and not merely of abelian groups. 여기서

f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p

한다 :

f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p

f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p

f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p

(

f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p

f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p

)

f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p

f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p

(

f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p

)

f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p

,

f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p

f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p

f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p

(

f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p

f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p

) :

f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p

( b

f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p

) : g (

f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p

) :

f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p

p :

f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p

style p : style p :

f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p

style p :\

displaysty f\otimes

P

(a\otimes p):=g(b

이것은 유용한 관점을 가지고 있다: 만일 내가 R의 이상이고 P가 위와 같다면, $P\otimes _{R}(R/I)\cong P/IP$ $P\otimes _{R}(R/I)\cong P/IP$ $P\otimes _{R}(R/I)\cong P/IP$ ( $P\otimes _{R}(R/I)\cong P/IP$ / I $P\otimes _{R}(R/I)\cong P/IP$ ) $P\otimes _{R}(R/I)\cong P/IP$ $P\otimes _{R}(R/I)\cong P/IP$ / $P\otimes _{R}(R/I)\cong P/IP$ $P\otimes _{R}(R/I)\cong P/IP$ $P\otimes _{R}(R/I)\cong P/IP$

증명 : $I{\stackrel {f}{\to }}R{\stackrel {g}{\to }}R/I\to 0$ → $I{\stackrel {f}{\to }}R{\stackrel {g}{\to }}R/I\to 0$ $I{\stackrel {f}{\to }}R{\stackrel {g}{\to }}R/I\to 0$ → $I{\stackrel {f}{\to }}R{\stackrel {g}{\to }}R/I\to 0$ $I{\stackrel {f}{\to }}R{\stackrel {g}{\to }}R/I\to 0$ / $I{\stackrel {f}{\to }}R{\stackrel {g}{\to }}R/I\to 0$ → 0 ${\displaystyle$ I ${\stackrel{f}{\\to }}}R{\\\to$ }}}}}}}}}}{\to }{}R $/I\to 0},$ 여기서 f는 포함이고 g는 투영인 R 모듈의 정확한 순서다.By the above we get that : $I\otimes _{R}P{\stackrel {f\otimes P}{\to }}R\otimes _{R}P{\stackrel {g\otimes P}{\to }}R/I\otimes _{R}P\to 0$ is also a short exact sequence of R modules.By exactness, $R/I\otimes _{R}P\cong (R\otimes _{R}P)/Image(f\otimes P)=(R\otimes _{R}P)/(I\otimes _{R}P)$ , since f is the inclusion.Now, consider the R module homomorphism from $R\otimes _{R}P\rightarrow P$ given by R linearly extending the map defined on pure tensors: $r\otimes p\mapsto rp.rp=0$ implies that $0=rp\otimes 1=r\otimes p$ . So, the kernel of이 지도는 0이 아닌 순수 텐셔너를 포함할 수 없다. $R\otimes _{R}P$ $R\otimes _{R}P$ $R\otimes _{R}P$ $R\otimes _{R}P$ $R\otimes _{R}P$ 은 $R\otimes _{R}P$ (는) 순수한 텐서만으로 구성된다.For $x_{i}\in R,\sum _{i}x_{i}(r_{i}\otimes p_{i})=\sum _{i}1\otimes (r_{i}x_{i}p_{i})=1\otimes (\sum _{i}r_{i}x_{i}p_{i})$ . So, this map is injective.그것은 분명히 위에 있다.그래서 $R\otimes _{R}P\cong P$ $R\otimes _{R}P\cong P$ $R\otimes _{R}P\cong P$ $R\otimes _{R}P\cong P$ $R\otimes _{R}P\cong P$ $R\otimes _{R}P\cong P$ ${\displaystyle R\otimes _{R}P\cong P$ 이와 비슷하게 $I\otimes _{R}P\cong IP$ r $I\otimes _{R}P\cong IP$ P $I\otimes _{R}P\cong IP$ I $I\otimes _{R}P\cong IP$ {\ $displaystyle I\otimes _{R}P\cong$ IP $I\otimes _{R}P\cong IP$ 이것은 코랄라균을 증명한다.

$P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ 다른 애플리케이션으로서, $P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ = $P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ [ $P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ / $P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ := $P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ { $P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ / $P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ $P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ : $P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ $P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ $P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ Z $P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ P $P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ $P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ / $P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ $P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ $P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ $P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ / k Z $P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ ${\displaystyle P=\mathbf {Z}[1/2]:$ $=\{a/2^{k}:a, k\in \mathbf {Z}\}}}P\otimes \mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z}P}$ 여기서 $P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ $k=m/2^{n}$ = $k=m/2^{n}$ / $k=m/2^{n}$ ${\$ 와 n은 $k=m/2^{n}$ 2분할 때 가장 높은 전력이다.우리는 특별한 경우를 증명한다: m=12.

Proof: Consider a pure tensor $(12z)\otimes (a/2^{k})\in (12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P).(12z)\otimes (a/2^{k})=(3z)\otimes (a/2^{k-2})$ . Also, for $(3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z)\otimes (a/2^{k+2})$ $($ $(3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z)\otimes (a/2^{k+2})$ / $(3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z)\otimes (a/2^{k+2})$ $(3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z)\otimes (a/2^{k+2})$ ) $(3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z)\otimes (a/2^{k+2})$ = $(3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z)\otimes (a/2^{k+2})$ $(3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z)\otimes (a/2^{k+2})$ z $(3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z)\otimes (a/2^{k+2})$ ) $(3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z)\otimes (a/2^{k+2})$ ( $(3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z)\otimes (a/2^{k+2})$ / $(3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z)\otimes (a/2^{k+2})$ $(3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z)\otimes (a/2^{k+2})$ + $(3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z)\otimes (a/2^{k+2})$ ) ${$ ( / 2 $(3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z)\otimes (a/2^{k+2})$ + 2) { ( $3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes (a/2^{K})=(12z)\otimes$ This shows that $(12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)=(3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)$ . Letting ${\displaystyle P=\mathbf {Z} [1/2],$ $A=12\mathbf {Z},B=\mathbf {Z},C=\mathbf {Z} /12\mathbf {Z$ A,B,C,P는 통상적인 곱셈 작용에 의한 R=Z 모듈이며 주정리 조건을 만족시킨다.By the exactness implied by the theorem and by the above note we obtain that $:\mathbf {Z} /12\mathbf {Z} \otimes _{Z$ $P\cong (\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)/(12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)=(\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)/(3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)\cong \mathbf {Z} P/3\mathbf {Z} P}$ . $I\otimes _{R}P\cong IP$ 합치는 I $I\otimes _{R}P\cong IP$ $I\otimes _{R}P\cong IP$ P $I\otimes _{R}P\cong IP$ I $I\otimes _{R}P\cong IP$ $I\otimes _{R}P\cong IP$ 라는 것을 보여주는 관상동맥 증명에서와 유사한 논거가 뒤따른다 $I\otimes _{R}P\cong IP$

속성 및 정리

왼쪽과 오른쪽이 모두 정확할 경우에만 펑터가 정확하다.

공변량(필수 첨가물은 아님) 펑터는 유한한 한계를 한계로 바꿀 때에만 정확하게 남겨진다. 공변량 펑터는 유한한 콜리미트를 코리미트로 바꿀 때에만 정확하다. 역변량 펑터는 유한한 콜리미트를 한계로 바꿀 때 그리고 한계로 바꿀 때에만 정확하다. 역변성 펑터는 정확하다.유한한 한계를 콜리미트로 변환한다.

왼쪽 정확한 functor가 정확하지 않은 정도는 오른쪽에서 파생된 functor로 측정할 수 있다; 오른쪽 functor가 정확하지 않은 정도는 왼쪽에서 파생된 functor로 측정할 수 있다.

왼쪽과 오른쪽 정확한 펑커는 주로 G에 맞춰 좌회전하면 F가 정확하고 G가 정확하기 때문에 어디에나 있다.

일반화

SGA4, Tome I, 섹션 1에서 왼쪽(오른쪽) 정확한 funct funct funct functors의 개념은 아벨리안만의 개념이 아니라 일반 범주에 대해 정의된다.그 정의는 다음과 같다.

C는 유한한 투영적(귀납적) 한계를 가진 범주가 되도록 한다.그런 다음 C에서 다른 범주 C로 가는 functor가 유한한 투영 한계(resp. orvidation)로 통근하는 경우 정확하게 왼쪽(resp. right)이 된다.

그 추상화에도 불구하고, 이 일반적인 정의는 유용한 결과를 가지고 있다.예를 들어, 1.8절에서 Grotendieck는 범주 C의 어떤 가벼운 조건 하에서 정확하게 남겨진 경우에만 펑터가 친하게 표현될 수 있다는 것을 증명한다.

퀼렌의 정확한 범주들 사이의 정확한 functors는 여기서 논의된 아벨의 범주들 사이의 정확한 funct functors를 일반화한다.

정규 범주 간의 규칙적인 펑커를 정확한 펑터라고 부르기도 하며 여기서 논의되는 정확한 펑터들을 일반화한다.

메모들

^ Jacobson(2009), 페이지 98, 정리 3.1.
^ Jacobson(2009), 페이지 149, prop. 3.9.
^ 제이콥슨(2009), 페이지 99, 정리 3.1.
^ 제이콥슨(2009년), 페이지 156.

참조

Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. Vol. 2 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.

[1] Jacobson(2009), 페이지 98, 정리 3.1.

[2] Jacobson(2009), 페이지 149, prop. 3.9.

[3] 제이콥슨(2009), 페이지 99, 정리 3.1.

[4] 제이콥슨(2009년), 페이지 156.

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