히그만-심스군

그룹 이론으로 알려진 현대 대수학 영역에서, Higman-Sims 그룹 HS는 산발적으로 단순한 순서 그룹이다.

2⁹⋅3²⋅5³⋅7⋅11 = 44352000

≈ 4×10⁷.

슈르 승수는 순서 2를, 바깥쪽 자동형 집단은 순서 2를, 그리고 그룹 2를 가진다.HS.2는 하라다-노튼 그룹에서 비자발적인 중앙집중제로 나타난다.

역사

HS는 26개의 산발적인 그룹 중 하나이며 도날드 G에 의해 발견되었다. 히그만과 찰스 C. 심스(1968년).그들은 홀-잔코 그룹 J에₂ 대한 마샬 홀의 프레젠테이션에 참석하고 있었다.우연히 J는₂ 홀-잔코 그래프에서 100점의 순열 그룹 역할을 하며, 한 점의 안정성은 길이 36과 63의 다른 두 개의 궤도를 가진 부분군이다.이에 고무되어 그들은 100점 만점에 다른 3위 순열 그룹을 확인하기로 결정했다.그들은 곧 22점과 77점을 순열로 나타낸 마티외 그룹 M을₂₂ 포함하는 가능한 그룹에 초점을 맞췄다.(M₂₂ Steiner 시스템이 77개의 블록을 가지고 있기 때문에 후자의 표현이 발생한다.)이 두 가지 표현을 합쳐서 그들은 HS를 찾았고, M에₂₂ 대한 원 포인트 스태빌라이저 이형성을 가지고 있었다.

HS는 Higman-Sims 그래프의 자동화 그룹에 있는 지수 2의 단순 부분군이다.히그만-심스 그래프에는 100개의 노드가 있으므로, 히그만-심스 그룹 HS는 100개의 요소 집합의 전이적 순열 그룹이다.

그레이엄 히그먼(1969)은 176점에서 특정 '지오메트리'에 작용하는 이중 전이적 순열 그룹이라는 것을 독자적으로 발견했다.

건설

Higman-Sims 그룹을 구축하기 위한 GAP 코드는 GAP 문서화 자체에서 예로 제시된다.^[1]

Higman-Sims 그룹은 다음과 같은 두 개의 발전기로 구성할 수 있다.^[1]

${\displaystyle(1,50,65)(2,89,62,52,88,25)(3,46,57,18,74,55)(4,45,10,70,56,39)}$ $(5,97,77)(6,84,8,48,99,67)(7,26,92,28,20,100)(9,30,79,66,49,95)(11,72)$ $(12,94,98,27,83,93)(13,31,31,61,61,59,40,47)(1,51,51,68,44,16,34)(15,38)(17,82,87)$ ${\displaystyle(19,76,73,73,73,71,71,63,32)(2,37,58,69,75,35)(22,53,53,81)(2,43,80,78,29,86)}$ $(42,64)(60,90,96)(85,91)}$

그리고

${\displaystyle(1,65,44,13,34,57)(2,10,39,54,42,84)(3,15,69,63,37,11)(5,21,79)}$ ${\displaystyle(6,89,49,64,46,80)(7,70,93,29,8,38)(9,81,81,17,23,77,59)(12,68,66,75,96,82)}$ $(14,18,95,43,76,32)(16,33,99,26,92,48)(19,50)(20,97,83)(22,88,85,53,24,56)$ $(25,62,67)(2,7,98)(2,8,55)(30,58,71,71,86,94,90)(31,87,52,78,100,60)(35,61,51)$ ${\displaystyle(36,73,72,72)(40,74)(41,45,47)}$

Conway 그룹에 대한 관계

콘웨이(1968년)는 히그만-심스 그룹을 콘웨이 그룹 주식회사의₀ 서브그룹으로 식별했다.Co₀ HS에서 2-3-3 삼각형의 점 안정화체로 발생하며, 가장자리(정점 차이)가 타입 2와 벡터 3인 삼각형의 점 안정화체로 나타난다.따라서 HS는 Co₀, Co₂, Co의₃ 각 그룹들의 하위 그룹이다.

Wilson(2009) (p. 208)은 그룹 HS가 잘 정의되어 있음을 보여준다.Leech 격자에서 타입 3 포인트 v가 Co의₃ 한 인스턴스에 의해 고정된다고 가정한다.내부 제품 v/w = 2(따라서 v-w는 유형 3)로 유형 2 점을 세십시오.그는 그들의 번호가 11,178 = 2⋅3⁵⋅23이고 이 Co가₃ 이들 w에서 전이적이라는 것을 보여준다.

HS = Co₃ /11,178 = 44,352,000.

사실, HS = 100 M이며₂₂, Mathieu 그룹₂₂ M의 순열 매트릭스 표현을 포함한 HS 사례가 있다.

Co에서₀ HS의 한 인스턴스가 타입 3의 특정 지점을 고친다면, 이 점은 타입 2-2-3의 276 삼각형에서 발견되는데, HS의 이 복사본은 176과 100의 궤도로 허용된다.이 사실은 히그만-심스 그래프뿐만 아니라 그레이엄 히그만의 구조로 이어진다.HS는 176에서 이중으로 전이되고 100에서 3위를 차지한다.

2-3-3 삼각형은 HS에 의해 점으로 고정된 2차원 아공간을 정의한다.따라서 HS의 표준 표현은 22차원 표현으로 축소될 수 있다.

Higman-Sims 그래프

Wilson(2009) (p. 210)은 Leech 격자 내의 Higman-Sims 그래프의 예를 제시하며, 마지막 22좌표에서 M의₂₂ 표현으로 서열한다.

모양 22점(1, 1, -3, 1²¹)
모양 77점 (2,2,2⁶,0¹⁶)
A 100번째 점(4, 4, 0²²)

인접 지점의 차이는 타입 3이며, 비인접 지점의 차이는 타입 2이다.

여기서 HS는 정점 x = (5, 1, 1²³) y = (1, 5²², 1) 및 z로 2-3-3 삼각형을 고정한다.x와 y는 타입 3이고 x-y = (4, -4, 0)는²² 타입 2이다.그래프의 모든 꼭지점은 유형 2의 벡터별로 x, y, z와 다르다.

두 종류의 비자발

부분군 M의₂₂ 비자발성은 8쌍의 좌표를 전치한다.Co의₀ 순열 매트릭스로서, 추적 8이 있다.히그만-심스 그래프의 100 정점 중 80을 움직이는 것을 보여줄 수 있다.그래프의 에지는 전치 쌍의 꼭지점이 없다.

100개의 정점을 모두 움직이는 또 다른 종류의 무의식, 즉 추적 0이 있다.^[2]교번 그룹 A의₁₀₀ 순열로서, 이중 전이의 홀수(25)의 산물로서, 이러한 비자발성은 이중 커버 2.A의₁₀₀ 순서 4의 요소들로 들어올린다.따라서 HS는 이중 커버 2를 가지고 있다.HS.

최대 부분군

매그리버스(1971)는 HS의 최대 하위 그룹의 12개 결합 등급을 다음과 같이 발견했다.

부분군	주문	색인	히그만-심스의 궤도 그래프
M₂₂	443520	100	1, 22, 77	Higman-Sims의 원 포인트 스태빌라이저 그래프
U₃(5):2	252000	176	각각 50개의 꼭지점이 있는 Hoffman-Singleton 그래프 쌍에 대해 부정확함	도 176의 이중 전이적 표현을 위한 원 포인트 스태빌라이저
U₃(5):2	252000	176	위의 활자처럼.	HS:2에서 위 클래스로 퓨전됨
PSL(3,4).2	40320	1100	2, 42, 56	가장자리 안정제
S₈	40320	1100	30, 70
2⁴.S₆	11520	3850	2, 6, 32, 60	비에지 안정제
4³:PSL(3,2)	10752	4125	8, 28, 64
M₁₁	7920	5600	12, 22, 66	HS:2에서 퓨전된 클래스
M₁₁	7920	5600	12, 22, 66	HS:2에서 퓨전된 클래스
4.2⁴.S₅	7680	5775	20, 80	비자발성 등급 2A 80 정점 이동 Higman-Sims 그래프
2 × A₆.2²	2880	15400	40, 60	100 정점을 모두 이동시키는 비자발성 등급 2B의 중앙집중기
5:4 × A₅	1200	36960	20의 5블록에서 충동적인.	클래스 5B 요소에 의해 생성된 5개 하위 그룹의 Normalizer

커플러시 클래스

HS의 표준 24차원 표현에서 행렬의 흔적이 보인다.^[3] 히그만-심스 그래프의 100 꼭지점과 그레이엄 히그만 기하학의 176점에 열거된 순열 표현 2개가 열거되어 있다.^[4]

클래스	중앙집중기 순서	No. 요소들	트레이스	100에	176년
1A	44,352,000	1 = 1	24
2A	7,680	5775 = 3 · 5² · 7 · 11	8	1²⁰,2⁴⁰	1¹⁶,2⁸⁰
2B	2,880	15400 = 2³ · 5² · 5 · 7 · 11	0	2⁵⁰	1¹², 2⁸²
3A	360	123200 = 2⁶ · 5² · 7 · 11	6	1¹⁰,3³⁰	1⁵,3⁵⁷
4A	3,840	11550 = 2 · 3 · 5² · 7 · 11	-4	2¹⁰4²⁰	1¹⁶,4⁴⁰
4B	256	173250 = 2 · 3² · 5³ · 7 · 11	4	1⁸,2⁶,4²⁰	2⁸,4⁴⁰
4C	64	693000 = 2³ · 3² · 5³ · 7 · 11	4	1⁴,2⁸,4²⁰	1⁴,2⁶,4⁴⁰
5A	500	88704 = 2⁷ · 3² · 7 · 11	-1	5²⁰	1,5³⁵
5B	300	147840 = 2⁷ · 3 · 5 · 7 · 11	4	5²⁰	1⁶,5³⁴
5C	25	1774080 = 2⁹ · 3² · 5 · 7	4	1⁵,5¹⁹	1,5³⁵
6A	36	1232000 = 2⁷ · 5³ · 7 · 11	0	2⁵,6¹⁵	1³,2,3³,6²⁷
6B	24	1848000 = 2⁶ · 3 · 5³ · 7 · 11	2	1²,2⁴,3⁶,6¹²	1, 2²,3⁵,6²⁶
7A	7	6336000 = 2⁹ · 3² · 5³ · 11	3	1²,7¹⁴	1,7²⁵
8A	16	2772000 = 2⁵ · 3² · 5³ · 7 · 11	2	1²,2³,4³,8¹⁰	4⁴, 8²⁰
8B	16	2772000 = 2⁵ · 3² · 5³ · 7 · 11	2	2²,4⁴,8¹⁰	1²,2,4³,8²⁰
8C	16	2772000 = 2⁵ · 3² · 5³ · 7 · 11	2	2²,4⁴,8¹⁰	1² 2, 4³, 8²⁰
10A	20	2217600 = 2⁷ · 3² · 5² · 7 · 11	3	5⁴,10⁸	1,5³,10¹⁶
10B	20	2217600 = 2⁷ · 3² · 5² · 7 · 11	0	10¹⁰	1²,2²,5²,10¹⁶
11A	11	4032000 = 2⁹ · 3² · 5³ · 7	2	1¹11⁹	11¹⁶	전력 등가
11B	11	4032000 = 2⁹ · 3² · 5³ · 7	2	1¹11⁹	11¹⁶	전력 등가
12A	12	3696000 = 2⁷ · 3 · 5³ · 7 · 11	2	2¹,4²,6³,12⁶	1,3⁵,4,12¹³
15A	15	2956800 = 2⁹ · 3 · 5² · 7 · 11	1	5²,15⁶	3²,5,15¹¹
20A	20	2217600 = 2⁷ · 3² · 5² · 7 · 11	1	10²,20⁴	1,5³,20⁸	전력 등가
20B	20	2217600 = 2⁷ · 3² · 5² · 7 · 11	1	10²,20⁴	1,5³,20⁸	전력 등가

일반화 몬스트러스 문샤인

콘웨이와 노튼은 1979년 논문에서 괴물 집단에 국한된 것이 아니라 다른 집단에 대해서도 비슷한 현상이 발견될 수 있다고 제안했다.Larissa Queen과 다른 사람들은 산발적인 그룹의 치수의 단순한 조합으로부터 많은 Hauptmoduln의 확장을 구성할 수 있다는 것을 발견했다.HS의 경우, McKay-Thompson 시리즈는 T $T_{10A}(\tau )$ A ( $T_{10A}(\tau )$ ) $T_{10A}(\tau )}$ 이며 여기서 $T_{10A}(\tau )$ a(0) = 4(OEIS: A058097)를 설정할 수 있다.

{\begin}j_{10A}(\tau )&=T_{10A}(\tau )+4\\&={\big (}{\\big (}}{\tfrac {\eta (\tau )\,\eta (5\tau )}{\eta (2\tau )}}{{2}+2^{2}}{\big(}{\tfrac{\eta(2\tau)\,\eta(10\tau)}{\eta(\tau)\,\eta(5\tau)}}{\big)}^{2}{\Big)}^{2}\\&, ={\Big(}{\big(}{\tfrac{\eta(\tau)\,\eta(2\tau)}{\eta(5\tau)\,\eta(10\tau)}}{\big)}+5{\big(}{\tfrac{\eta(5\tau)\,\eta(10\tau)}{\eta(\tau)\,\eta(2\tau)}}{\big)}{\Big)}^{2}-4\\&, ={\frac{1}{q}}+4+22q+56q^{2}+177q^{3}+.352q^{4}+870q^{5}+1584q^{6}+\fline \end{aigned}}}

참조

^ ^a ^b "Constructing HS and Co3 in GAP 4".
^ 윌슨(2009년), 페이지 213
^ 콘웨이 외 연구진(1985)
^ "ATLAS: Higman–Sims group HS".

Conway, John Horton (1968), "A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 61 (2): 398–400, Bibcode:1968PNAS...61..398C, doi:10.1073/pnas.61.2.398, ISSN 0027-8424, MR 0237634, PMC 225171, PMID 16591697
J. S. 프레임 (1972) '하이그만-심스 그룹과 그 자동형 그룹의 등장인물 컴퓨터' 대수학 저널, 20, 320-349
Conway, John Horton; Parker, Richard A.; Norton, Simon P.; Curtis, R. T.; Wilson, Robert A. (1985), Atlas of finite groups, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853199-9, MR 0827219
Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996), Permutation groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 163, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0731-3, ISBN 978-0-387-94599-6, MR 1409812
Gallian, Joseph (1976), "The search for finite simple groups", Mathematics Magazine, 49 (4): 163–180, doi:10.2307/2690115, ISSN 0025-570X, JSTOR 2690115, MR 0414688
Griess, Robert L. Jr. (1998), Twelve sporadic groups, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN 978-3-540-62778-4, MR 1707296
Higman, Donald G.; Sims, Charles C. (1968), "A simple group of order 44,352,000" (PDF), Mathematische Zeitschrift, 105 (2): 110–113, doi:10.1007/BF01110435, hdl:2027.42/46258, ISSN 0025-5874, MR 0227269, S2CID 32803979
Higman, Graham (1969), "On the simple group of D. G. Higman and C. C. Sims", Illinois Journal of Mathematics, 13: 74–80, doi:10.1215/ijm/1256053736, ISSN 0019-2082, MR 0240193
Magliveras, Spyros S. (1971), "The subgroup structure of the Higman–Sims simple group", Bulletin of the American Mathematical Society, 77 (4): 535–539, doi:10.1090/S0002-9904-1971-12743-X, ISSN 0002-9904, MR 0283077
Wilson, Robert A. (2009), The finite simple groups., Graduate Texts in Mathematics 251, vol. 251, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012

외부 링크

[gapdoc-1] "Constructing HS and Co3 in GAP 4".

[2] 윌슨(2009년), 페이지 213

[3] 콘웨이 외 연구진(1985)

[4] "ATLAS: Higman–Sims group HS".

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