카터 상수

일반 상대성 이론
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\kappa }T_{\mu \nu }}$
소개 역사 타임라인 테스트 수학 공식화
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물리 포털 카테고리
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카터 상수는 일반적인 상대론적 중력 공식에서 블랙홀 주변의 운동에 대해 보존된 양입니다. SI 베이스 유닛은 kg ⋅ m ⋅입니다. 카터 상수는 1968년 호주의 이론물리학자 브랜든 카터에 의해 회전하고 대전된 블랙홀에 대해 유도되었습니다. 카터 상수는 에너지 ${\displaystyle {pt}_{}}$ ${\displaystyle p_{t$ 축 각운동량 p$$ϕ {\$displaystyle$p_$\{\backslash$phi}}, 그리고 입자 정지 질량 ${\displaystyle \sqrt{p^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}_{}{}^{}}}$ $displaystyle {\sqrt {p_{\mu}p^{\mu}}}$은 커-뉴먼 시공간의 모든 궤도를 고유하게 결정하는 데 필요한 네 가지 보존된 양을 제공합니다$$(하전 입자의 경우에도).

공식화

카터는 커 시공간에서 운동에 대한 해밀턴이 보이어-린드퀴스트 좌표에서 분리 가능하다는 것을 발견했고, 해밀턴-자코비 이론을 사용하여 그러한 운동의 상수를 쉽게 확인할 수 있었습니다.^[1] 카터 상수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle C}$ ${\displaystyle =}$ $θ$ ${\displaystyle 2^{}}$+${\displaystyle co\mathrm{s\; 2}{}^{}}$⁡ θ ($a$2${\displaystyle }$(m${\displaystyle 2^{}}$ - ${\displaystyle {\frac{E_{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{2}{}}^{}}$) +${\displaystyle {\frac{}{}}^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$ ⁡ θ ) 2 ) ${\displaystyl$C =p_${\theta}^{$2}+\$cos ^{2}\theta {\Bigg (}a$^{2$}($m^{2}-E$^{2})+\left ({\frac$ {L_${z}}{\sin \theta }}\$right$)^\{$2}{\Bigg )}},

여기서, $p$θ {\$displaystyle p_{\$theta }는 입자의 $각운동량$의 횡방향 성분이고, E = p t {\$displaystyle$E = p_{t}는 ${\displaystyle {입자}_{}}$의 보존된 에너지이고, ${\displaystyle {Lz}_{}}$ = p ϕ ${\displaystyle L_{z$}=p_{\phi }는 입자의 보존된 축방향 각운동량이고, ${\displaystyle m}$ $=$ ${\displaystyle \sqrt{p}}$ ${\displaystyle \sqrt{{\mu }^{}}}$ $displaystyl$ m ={\$sqrt {p_{\mu}p^{\mu}}}$는 입자의 나머지 질량이고, ${\displaystyle$ a$}$는 블랙홀의 스핀 파라미터입니다. 여기서 $p$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\displaystyle p_{\mu }$는 입자의 위치 ${\displaystyle X^{}}$ μ =${\displaystyle }$(${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle r,}$θ, ϕ) ${\displaystyle X^{\mu}$=$($t,r,\theta),$\phi )}$ parameterized by the particle's proper time ${\displaystyle \tau }$ using its four-velocity ${\displaystyle U^{\mu }=dX^{\mu }/d\tau }$ as ${\displaystyle p_{\mu }=g_{\mu \n$$u }p^{\n$$u }}$ 여기서 ${\displaystyle p^{}}$ μ $=$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mu }^{}}$ ${\displaystyle p^{\mu$ } $=$ $mU^{\mu }$는 다음과 같습니다. momentum$$및 $g\mu$ ν {\$displaystyle g_${\mu \n$u }}$는 커 메트릭입니다. Thus, the conserved energy constant and angular momentum constant are not to be confused with the observed energy ${\displaystyle U_{\rm {obs}}^{\mu }p_{\mu }}$ measured by an observer and the angular momentum ${\displaystyle \mathbf{L}=\mathit{x}\wedge \mathit{p}=r{p}_{\theta }\mathit{d}\mathit{r}\wedge \mathit{d}\mathit{\theta }+r{p}_{\varphi }\mathit{d}\mathit{r}\wedge \mathit{d}\mathit{\varphi }=m{r}^3\dot{\theta }\mathit{d}\mathit{r}\wedge \mathit{d}}$$+$${\dot {\phi }}\,{\bold$ 기호 ${dr}\wedge$ {\$bold 기호 {d\$phi$$}}. $z$ ${\displaystyle z}$를 따라 있는 각운동량 성분은 ${\displaystyle {\mathrm{xy}}_{}}$ ${\displaystyle L_{xy}$이며 $이$는 p$$ϕ {\$displaystyle$p_$\{\backslash$phi}}와 일치합니다.

보존된 양의 함수도 보존되므로 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $C$$}$의 모든 함수와$$ 모션의 다른 세 상수를 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $C$$}$ 대신에 네 번째 상수로 사용할 수 있습니다$.$ 이로 인해 카터 상수의 형태에 대한 약간의 혼란이 발생합니다. 예를 들어 다음을 사용하는 것이 더 편리할 때도 있습니다.

${\displaystyle K=C+(L_{z}-aE)^{2}}$

$C{\displaystyle }$ ${\display$ style $C$ 대신에. $수량{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$는 항상 음수가 아니므로 유용합니다$$. 일반적으로 커족의 운동에 대한 네 번째 보존량은 "카터 상수"라고 할 수 있습니다.

킬링 텐서에 의해 생성됨

노에테르의 정리는 계의 각각의 보존된 양이 그 계의 연속적인 대칭을 생성한다는 것을 말합니다. 카터 상수는 2차 킬링 텐서 $필드{\displaystyle }$ K ${\displaystyle$ K$}($위에서 사용된 것과$$ $다른{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K})$에 의해 생성된 커 메트릭의 고차 대칭과 관련이 있습니다. 구성 요소 형식:

$=$$u }u_{\mu}u_{\n$$u$ $\}\},$

여기서 $u$ ${\displaystyle u}$는 움직이는 입자의 4개 velocity입니다. Boyer-Lindquist 좌표에서 Killing 텐서의 구성 요소는 다음과 같습니다.

$σ$$u }=2\Sigma \ l^{(\mu }n^{\n$$u )}+r^{2}g^{\mu \n$$u$ $\}\},$

여기서 ${\displaystyle {g\mu }^{}}$ν {\$displaystyle g$^{\mu \n$u }}$은 메트릭 텐서와 ${\displaystyle {l\mu }^{}}$ ${\displaystyle$ l$^{\mu}}$ 및 $n$$ν$ {\$displaystyle$n^{\n}의 구성 요소입니다.$u }}$은(는) 주 널 벡터의 구성 요소입니다.

${\displaystyle l^{\mu}=\left ({\frac {r^{2}+a^{2)}}{\Delta }},1,0,{\frac {a}{\Delta }}\right)}$

${\displaystyle n^{\nu }=\left({\frac {r^{2}+a^{2}}{2\Sigma }},-{\frac {\Delta }{2\Sigma }},0,{\frac {a}{2\Sigma }}\right)}$

와 함께

$=$$}\cos ^{2}\theta \ ,\ \ \Delta =r^{2}-r_{s}\ r+a^{2}}$.

$l{\displaystyle {(}^{}}$ν) {\$displaystyle l^{(\mu$}n^{\n)의 괄호$u )}}$은(는) 대칭화를 위한 표기법입니다.

${\displaystyle l^{(\mu}n^{\nu )}={\frac {1}{2}}(l^{\mu }n^{\nu }+l^{\nu }n^{\mu})}$

슈바르츠실트 한계

회전하지 않는 블랙홀에 대한 슈바르츠실트 메트릭의 구형 대칭을 통해 입자의 궤적을 찾는 문제를 3차원으로 줄일 수 있습니다. 이 경우 모션을 결정하려면$$ $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ E$\},$ ${\displaystyle {Lz}_{}}$ ${\$및 m ${\displaystyle m}$만 필요하지만 Carter 상수로 이어지는 대칭성은 여전히 존재합니다. 카터의 슈바르츠실트 공간 상수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle C}$ ${\displaystyle =}$ $θ$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ + ${\displaystyle {Lz}^{}}$2 ${\displaystyle \mathrm{co}\mathrm{t\; 2}}$ ⁡ θ {\$displaysty$}+L_${z}^{2$}\cot$$^{2}\theta}

To see how this is related to the angular momentum two-form ${\displaystyle L_{ij}=x_{i}\wedge p_{j}}$ in spherical coordinates where ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=r{\boldsymbol {dr}}}$ and ${\displaystyle {\boldsymbol$${p}}=p_{r}{\boldsymbol {dr}}+p_{\theta }{\boldsymbol {d\theta }}+p_{\phi }{\boldsymbol {d\phi }}}$, $여기$서 $p$ θ = $g$ θ θ ${\displaystyle p}$ = r 2m θ ˙ {\$displaystyle p_${\$theta$} = g_{\$theta$} $p^{\theta$} = ${\displaystyle r}$^{$2$} ${\displaystyle m_{}}${\dot {\${\displaystyle {\mathrm{theta}}_{}}$ }} ${\displaystyle {및}^{}}$ p ϕ = g ϕ ϕ ${\displaystyle p}$ ϕ = r 2 sin $2$⁡ θ m ϕ ˙ {\$displaystyle p_{\phi$} = g_{\phi } p^{\phi } = r^{2}\sin ^{2}\theta \,$m{\dot {\phi }}$이고${\displaystyle \stackrel{}{}}$$ϕ ˙$ $=$${\displaystyle }$d $ϕ$ / d $τ$ ${\dot {\phi$}} $=$ d\phi / d\$tau$}이고$$$θ ˙$ $\{\backslash$display style {\dot {\theta }}의 경우도 마찬가지입니다.

${\displaystyle \mathbf {L} ={\boldsymbol {x}}\wedge {\boldsymbol {p}}=rp_{\theta }{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\theta }}+rp_{\phi }{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\phi$$}}=mr^{3}{\dot {\theta }}{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\theta }}+mr^{3}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}\,{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\phi }}}$.

θ ${\displaystyle ^}$ =$$$r$$$θ${\displaystyle {\boldsymbol$ {\hat {\$theta}}$ =$$${\boldsymbol {$d\$theta{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{\}\}}}}$ 및 ϕ ^ = r sin ⁡ θ d ϕ {\$displaystyle {\boldsymbol$ {\hat {\$phi$}} = r$\$sin \theta \,{\boldsymbol {d\phi}}은(는) 정규$$직교 $기저$를 나타내기 때문에 정규 기저에 있는 L {\displaystyle \mathbf {L} $}$의 $Hodge dual은$

${\displaystyle {\boldsymbol {L^{*}}=mr^{2}{\dot {\theta}}}+mr^{2}\sin \theta \,{\dot {\phi}}\,{\boldsymbol {\hat {\phi}}}}$

r →${\displaystyle }$× m ${\displaystyle v}$ → ${\displaystyle {\vec {\boldsymbol {r}}}\times m{\vec {\boldsymbol {v}}}$과 일치합니다$.$ 표준은 다음과 같습니다.

${\displaystyle L^{2}=g^{\theta \theta }r^{2}p_{\theta }^{2}+g^{\phi \phi }r^{2}p_{\phi }^{2}=g_{\theta \theta$$}r^{2}(p^{\theta })^{2}+g_{\phi \phi }r^{2}(p^{\phi })^{2}=m^{2}r^{4}{\dot {\theta }}^{2}+m^{2}r^{4}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}}$.

Further since ${\displaystyle p_{\theta }=g_{\theta \theta }p^{\theta }=mr^{2}{\dot {\theta }}}$ and ${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }=g_{\phi \phi }p^{\phi }=mr^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}}$, 대체적으로 우리가 얻는.

${\displaystyle C=m^{2}r^{4}{\dot {\theta }}^{2}+m^{2}r^{4}\sin ^{2}\theta \cos$$^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}=m^{2}r^{4}{\dot {\theta }}^{2}+m^{2}r^{4}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}-m^{2}r^{4}\sin ^{4}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}=L^{2}-L_{z}^{2}}$.

슈바르츠실트의 경우 각운동량 벡터의 모든 성분이 보존되므로 ${\displaystyle {L2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ L$^{2}}$와 ${\displaystyle {Lz}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$가 모두 보존되므로$$ C ${\displaystyle$ C$}$가 명확하게 보존됩니다$$. Kerr의 경우 $Lz$ = ${\displaystyle {}_{}}$ϕ {\$displaystyle$ L_{z}=p_${\$phi}}이$($가) ${\displaystyle {보존}_{}}$되지만 p θ${\displaystyle$${\theta$}} 및 L2 ${\displaystyle$ L^{2}}은(는) $보존$되지 $않습니다.$

참고 항목

• 커 계량
• 커-뉴먼 메트릭
• 보이어-린드퀴스트 좌표
• 해밀턴-야코비 방정식
• 오일러 삼체 문제

참고문헌