보이어-린스키스트 좌표

일반 상대성 이론의 수학적 설명에서 보이어-린키스트 좌표는^[1] 커 블랙홀의 지표를 표현하는 데 사용할 수 있는 슈바르츠실트 블랙홀의 지표를 일반화한 것이다.

커 스페이스타임에서 시험 입자 운동을 위한 해밀턴인은 보이어-린퀴스트 좌표에서 분리할 수 있다.해밀턴-자코비 이론을 사용하면 카터의 상수라고 알려진 움직임의 네 번째 상수를 도출할 수 있다.^[2]

보이어-린키스트 좌표를 소개하는 1967년^[1] 논문은 로버트 H의 사후 간행물이었다.1966년 텍사스대 타워 총격 사건으로 숨진 보이어 씨.^[3][4]

선요소

총 질량 등가 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M$ 각도 $모멘텀{\displaystyle }$ J$${\$displaystyle J}$및 Boyer-Lindquist 좌표 및$$ 자연 단위(${\displaystyle G}$=${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle G=c$1})가 $있는{\displaystyle }$ 블랙홀의 선 요소는 다음과 $같다$.

${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {\Delta }{\rho ^{2}}}\left(dt-a\sin ^{2}\theta \,d\phi \right)^{2}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}{\Big (}\left(r^{2}+a^{2}\\\\phi -a\,dt{\Big )}^{2}+{\frac {\rho ^{2}}:{\dr^{2}+\rho ^{2}}{{\dr^{n1},d\tea ^{2}}}}$

어디에

${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$+ ${\displaystyle {a\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {Q\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle \Delta =r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2}}}}$ 판별이라고 불리며$$,

${\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+a^{2}}}\cos ^{2}\theta ,}$

그리고

${\displaystyle a}$= ${\displaystyle J\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{M}{}}$, ${\displaystyle a={\frac {J}{M}}},}}$은(는) 커 파라미터로 불린다$$.

자연 단위 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에서는$$${\displaystyle a}$및 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$이(가) 모두$$ 길이의 단위를 가지고 있다는 점에 유의하십시오.이 선 요소는 커-뉴먼 메트릭스를 설명한다.여기서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은 무한대의 관측자가 보는 블랙홀의 질량으로 해석하고, $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$은 각운동량으로 해석하며, $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$은 전하량으로 해석한다.이것들은 모두 고정된 상수 매개변수라는 것을 의미한다.판별자의 이름은 그것이 블랙홀을 도는 입자의 시간적 움직임, 즉 인간권을 정의하는 이차 방정식의 판별으로서 나타나기 때문에 생겨난다.

Boyer–Lindquist 좌표의 좌표 변환{r\displaystyle},θ{\theta\displaystyle}, 데카르트 좌표에ϕ{\displaystyle \phi}x{\displaystyle)}, y{이\displaystyle}, z{z\displaystyle}(를 m→ 0{\displaystyle m\to 0})[5]x:에 의해서 주어진다)r이었고 넌 결코 모르네 2${$$}}}\sin \theta \cos \\y&={\sqrt{r^{2}+a^{2$$}$$}}}\sin \theta \sin \phi \z&=r\cos \theta \end{aigned}}}$

비에르베인

Vierbein 단일 형식은 라인 요소에서 직접 읽을 수 있다.

${\displaystyle \sigma ^{0}={\frac {\sqrt{\delta }}}}{\rho }}}\왼쪽(dt-a\sin ^{2}\ta \d\phi \right)}$

${\displaystyle \sigma ^{1}={\frac {\rho }{\sqrt {\Delta }dr}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\rho \,d\theta }$

${\displaystyle \sigma ^{3}={\frac {\sin \theta }{\rho }}}}{\Big(}\왼쪽(r^{2}+a^{2){2}}\\\\d\phi -a\,dt{\Big )}}}}}$

라인 요소가 에 의해 주어지도록.

${\displaystyle ds^{2}=\dsma ^{a}\otimes \desma ^{b}\eta _{ab}}}$

여기서 ${\displaystyle {\eta }_{}}$ b ${\$는 플랫 스페이스 Minkowski 메트릭이다.

스핀 커넥션

비틀림 없는 스핀 연결 ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ ${\displaystyle b^{}}$ ${\$은(는) 다음을 통해 정의된다$$.

${\displaystyle d\backma ^{a}+\omega ^{ab}\reason \c}\eta _{bc}=0}$

비틀림 텐서는 비틀림과의 연결부와 비틀림 없는 상응하는 연결 사이의 차이를 제공한다.관례에 따라 리만 다지관은 항상 비틀림 없는 기하학적 구조로 지정된다. 비틀림은 종종 등가 평탄한 기하학적 구조를 지정하는 데 사용된다.

스핀 연결은 곡률 2-형식을 계산하기 위한 중간 경유지를 제공하기 때문에 유용하다.

${\displaystyle R^{ab}=d\omega ^{ab}+\omega ^{ac}\wedge \omega ^{db}\eta _{cd}}}$

또한 스피너 필드에 대한 커플링을 묘사하는 데 가장 적합한 형태로서 트위스터 형식주의의 문을 연다.

스핀 연결부의 6개 구성 요소는 모두 비반사적이다.다음은 다음과 같다.^[6]

${\displaystyle \omega ^{01}={\frac {1}{\rho ^{3}}}\left[{\frac {-2Mr^{2}+2rQ^{2}+a^{2}[M+r+(M-r)\cos 2\theta ]}{2{\sqrt {\Delta }}}}\,\sigma ^{0}+ra\sin \theta \,\sigma ^{3}\right]}$

${\displaystyle \omega ^{02}={\frac {a\cos \theta }{\rho ^{3}}}\왼쪽[a\sin \theta \,\sigma ^{0}+{\delta }}}}}\sigma ^{3}\rigma }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \omega ^{03}={\frac {a}{\rho ^{3}}\왼쪽[r\sin \thin \theta \,\sigma ^{1}-{\sqrt{\Delta }}}}}}\cosescos \ta \ta \ta \ta \to \,\theetta \,\,\csigma \csigma \ieca$

${\displaystyle \omega^{12}={\frac {1}{\rho ^{3}}\왼쪽[a^{2}}\sin \theta \cos \theta \,\sigma \cos \theta \,\1+r+rt{\delta }},\},\}}}},\sigma ^{{{{{{{{{{{{2}}}}}}}$

${\displaystyle \omega ^{13}={\frac {r}{\rho ^{3}}\왼쪽[a\sin \theta \,\sigma \,{0}+{\sqrt{\Delta }}\sigma ^{3}\오른쪽]}}}$

${\displaystyle \omega^{23}={\frac \\cot \theta }{3}}}\왼쪽[a\sqrt{\Delta }}\sin \theta \,\sigma \{0}+(r^{2}+a^{2}}}}\rigm)}}}}}}$

리만과 리치 텐서

전체적으로 쓰여진 리만 텐서는 꽤 장황하다; 그것은 Fré에서 찾을 수 있다.^[6]Ricci 텐서는 대각선 형태를 취한다.

${\displaystyle {\mbox{Ric}={\frac{Q^{2}}:{\rho^{4}}{\\\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\\\end{bmatrix}}}}}}}}}}$

마이너스 1 입력의 위치에 유의하십시오. 이 입력은 전적으로 전자파 기여에서 비롯된다.${\displaystyle {즉}_{}}$, 전자파 응력 텐서 ${\displaystyle F_{}}$가 b$${\$displaystyle F_{ab}}$일 때 비 바니싱 구성 요소는 두 가지뿐입니다.${\displaystyle {}_{}}$F ${\displaystyle {01}_{}}$ ${\$ 및 $F$ ${\displaystyle {23}_{}}$ ${\$ 그러면 해당 에너지-모멘텀 텐서가 형태를 취한다.

${\displaystyle T^{\mbox{Maxwell}={\frac {F_{01}^{2}+F_{23}^{2}}:{4}{\\\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\0&0&0&0\\\0&0&1\\n\n\n\n\n\n\n\n\{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

이를 중력장에 대한 에너지-모멘텀 텐터와 동일시하면 커-뉴먼 전기진공 솔루션으로 이어진다.

참조

• Shapiro, S. L.; Teukolsky, S. A. (1983). Black Holes, White Dwarfs, and Neutron Stars: The Physics of Compact Objects. New York: Wiley. p. 357. ISBN 9780471873167.