자동형식

Automorphic form
데데킨드 에타 함수는 복잡한 평면에 있는 자동 형태다.

조화 분석과 숫자 이론에서 자동형 형태는 위상학 그룹 G에서 위상학 그룹의 하위 그룹 G space G G}의 작용에 따라 불변하는 복합 벡터 공간(또는 복합 벡터 공간)에 이르는 잘 동작이다. 자동형태는 유클리드 공간의 주기적 기능 개념을 일반 위상학 그룹에 일반화한 것이다.

모듈형 형태는 그룹 SL(2, R) 또는 PSL(2, R)에 걸쳐 정의된 홀로모르픽 자동형 형태로서, 이산형 하위그룹이 모듈형 그룹 또는 그 조합형 하위그룹의 하나로서, 이러한 의미에서 자동형 형태 이론은 모듈형 형태 이론의 확장이다. 더 일반적으로, 결합 하위 그룹의 전체 가족을 한 번에 처리하는 방법으로 아델릭 접근법을 사용할 수 있다. 이러한 관점에서, G(AF) 그룹 위의 자동형 형태는 대수 그룹 G와 대수 숫자 필드 F에 대해 G(AF)에 대한 복합값 함수로, G(F)에 따라 불변으로 남아 특정한 부드러움과 성장 조건을 만족한다.

푸앵카레는 삼각함수와 타원함수의 일반화로서 자동형태를 처음 발견했다. 랭글랜즈를 통해 자동화된 형태는 현대 숫자 이론에서 중요한 역할을 한다.[1]

정의

수학에서 자동피 인자의 개념은 복잡한 분석적 다지관에 작용하는 집단에 대해 발생한다. 그룹 이(가) 복합 분석적 다지관 X에 작용한다고 가정하면 은(는) 에서 복합 번호에 이르는 홀모픽 함수의 공간에도 작용한다. 함수는 다음과 같은 경우 자동 형태라고 한다.

서 (x) 은(는) 0이 아닌 모든 곳에 있는 홀모픽 함수다. 하게 자동형식은 G 의 작용에 따라 불변성을 갖는 함수다

자동형 에 대한 자동형 함수는 함수 j이다 자동형 함수는 이(가) ID인 자동형이다.


자동형식은 G에 대한 함수 F(어떤 고정된 유한차원 벡터 공간V, 벡터 값 사례에서 값 포함)로, 다음과 같은 세 가지 조건에 따른다.

  1. autom ∈ {\ \ \\in \Gamma }에 의해 주어진 automorphy j 계수에 따라 번역에 따라 변환한다.
  2. G에 있는 특정 Casimir 연산자의 고유 기능이 되어야 한다.
  3. "증가 성장" 점증적 조건을 만족시키기 위해 키 함수를 사용한다.[2]

∈ { {{ {\ \in 에 대한 F(g)와 관련된 F(g)와 관련된 흥미로운 기능 방정식을 만족시키는 것이 그 중 첫 번째다 벡터 값 사례에서 규격은 dimensional 요소에 작용하는 유한 차원 그룹 대표성을 수반할 수 있다. Casimir 연산자 조건은 일부 라플라크인들이[citation needed] 고유함수로 F를 가지고 있다고 말한다. 이렇게 함으로써 F는 뛰어난 분석적 특성을 가지고 있지만, 그것이 실제로 복잡한 분석함수인지 여부는 특정 경우에 따라 달라진다. 세 번째 조건은 G/NATION이 콤팩트하지는 않지만 쿠스가 있는 경우를 취급하는 것이다.

이 공식은 그룹 코호몰로지 언어에서 1-코사이클의 일종인 autom에 대한 오토모피 j 인자의 일반적인 개념을 요구한다. j의 값은 벡터 값 자동형식의 가능성과 일치하는 복잡한 숫자 또는 사실 복잡한 제곱 행렬일 수 있다. 오토모피 인자에 부과되는 cocycle 조건은 j가 체인 룰에 의해 제이콥의 매트릭스에서 파생되었을 때 일상적으로 확인할 수 있는 것이다.

클래스 필드 이론을 사용하여 보다 간단하지만 기술적으로 진보된 정의는 자동 형태와 통신원 기능을 구성하며, 갈루아 그룹의 기초적인 글로벌 필드 확장에 대한 임베딩으로 사용한다. 이 공식에서 자동형 형태는 아르틴 상호주의 법칙에 따른 이데르 계급 집단으로부터 매핑된 어떤 유한한 불변성이다. 여기서 L-함수의 분석 구조는 다양한 알헤브로-지오메트리 특성을 가진 일반화와 그에 따른 Langlands 프로그램을 허용한다. 이러한 일반적인 관점에서 지나치게 단순화하기 위해 자동화된 형태는 가장 추상적인 의미에서 숫자 영역의 불변성을 계량화하는 분석 함수다. 그러므로 그들의 근본구조의 '우선성'을 나타내는 것이다. 사실상 모든 수치 구조의 불변 구조를 분석하기 위한 강력한 수학적 도구를 허용한다.

명시적으로 수축되지 않은 상태에서 자동형식의 예는 얻기 어렵지만, 어떤 것은 직접 분석적 특성을 가지고 있다.

- 아벨리아 그룹으로서 특정 분야 확장에 대한 아이젠슈타인 시리즈(프로토그래프 모듈형)

- Dirichlet L 기능의 구체적인 일반화(class field-theretic objects)

- 이상적인 클래스 그룹(또는 이상)에 불변하는 Galois 그룹보다 일반적으로 펑터(functor)로서의 모든 조화 분석 물체.

일반적인 원리로서, 자동형 형태는 추상적 구조에 대한 분석적 함수로 생각할 수 있는데, 추상적 구조는 원시적 이상(또는 추상화된 불가해한 근본적 표현)의 일반화된 아날로그에 관해서 불변한다. 전술한 바와 같이, 자동형 함수는 자동형 구조에서 일부 제타 함수 아날로그에 의해 구성된 모듈형 형태(따라서 타원형 곡선)의 일반화로 볼 수 있다. 가장 간단한 의미에서 자동형태는 대칭 특성 때문에 일반적인 Lie 그룹에 정의된 모듈형 형태다. 따라서 보다 간단한 용어로 구조물의 초기 '형질학'에 대한 불변성을 분석하는 일반적인 기능이다.

역사

바로 이 일반적인 설정이 제안되기 전(약 1960년)에는 이미 모듈형 형태 이외의 자동형 형태의 상당한 발전이 있었다. γ의 경우는 1900년 이전에 이미 주목받은 바 있다(아래 참조). 힐버트 모듈형(Hilbert-Blumenthal형이라고도 함)은 그 후 얼마 지나지 않아 제안되었는데, 완전한 이론은 오래 전부터 있었다. G가 공감 그룹인 시겔 모듈러 형태는 모듈리 공간과 세타 기능을 고려하면서 자연스럽게 생겨났다. 몇 가지 복잡한 변수에 대한 전후의 관심은 그 형태가 실제로 복합분석적인 경우에서 자동형식의 사상을 추구하는 것을 당연하게 만들었다. 1960년경에는 특히 일리야 피아테츠키샤피로가 그런 이론을 만들어내면서 많은 작업이 이루어졌다. 셀베르크 미량 공식의 이론은 다른 사람들이 응용한 바와 같이 이론의 상당한 깊이를 보여주었다. Robert Langlands는 리만-로치 정리가 어떻게 (일반적으로, 많은 특별한 사례가 알려져 있는) 자동 형태의 치수 계산에 적용될 수 있는지를 보여주었다. 이것은 개념의 타당성에 대한 일종의 임시 점검이다. 그는 또한 아이젠슈타인 시리즈의 일반 이론을 만들어 냈는데, 이는 스펙트럼 이론 용어로 무엇이 이 문제에 대한 '연속 스펙트럼'이 될 것인가에 해당하는 것으로서, 정점 형태나 이산 부분을 조사하게 했다. 수 이론의 관점에서 보면, 스리니바사 라마누잔 이후, 그 서류가 문제의 핵심으로 인식되어 있었다.

자동형 표현

참고 항목: 쿠시달 대표성

"자율적 표현"이라는 후속 개념은 아델릭 대수학 그룹으로 취급되는 대수학 그룹 G를 대할 때 큰 기술적 가치를 증명했다. 아델릭적 접근방식이 결합 하위그룹의 전체 가족을 한 번에 처리하는 방식이라는 점에서 위에서 소개한 자동형식 아이디어를 완전히 포함하지는 않는다. G의 아델릭 형태에 대한 인수를 위한2 L 공간 안에서, 자동형 표현은 p-adic 그룹의 표현에 대한 무한 텐서 산물이며, 무한 소수자에 대한 특정 포함 대수 표현과 함께 p-adic 그룹의 표현에 대한 무한 텐서 산물이다. 강조의 변화를 표현하는 한 가지 방법은 헤케 운영자들이 사실상 카시미르 운영자들과 같은 수준에 놓여 있다는 것이다; 숫자 이론에 있어서는 분명 그렇지는 않지만 기능 분석의[citation needed] 관점에서 보면 당연한 것이다. 랭글랜드 철학의 공식화에 기본이 되는 것이 바로 이 개념이다.

발견에 관한 푸앵카레와 자동형 기능에 대한 그의 연구

푸앵카레가 1880년대에 수학에서 처음으로 발견한 것 중 하나는 자동 형태였다. 그는 수학자 라자루스 푸흐스의 이름을 따서 그것들을 푸치안 함수라고 이름 지었다. 왜냐하면 푸치는 훌륭한 선생님으로 알려져 있었고 미분 방정식과 함수 이론에 대해 연구해 왔기 때문이다. Poincaré는 박사 논문의 일부로 실제로 이러한 기능의 개념을 개발했다. Poincaré의 정의에 따르면, 자동형 함수는 그 영역에서 분석적이며, 분리된 무한의 선형 부분 변환 그룹에서 불변한다. 자동형 함수는 삼각함수와 타원함수 모두를 일반화한다.

푸앵카레는 어떻게 푸흐시안 함수를 발견했는지를 설명한다.

보름 동안 나는 푸치안 함수를 그 이후로 불러온 것과 같은 기능은 있을 수 없다는 것을 증명하려고 애썼다. 그때 나는 매우 무식했다. 매일 나는 내 작업대에 앉아 한두 시간을 머물며 수많은 조합을 시도했지만 아무런 성과도 거두지 못했다. 어느 날 저녁, 나의 관습과는 달리, 나는 블랙커피를 마시고 잠을 잘 수가 없었다. 아이디어는 군중 속에서 솟아올랐다; 말하자면 쌍이 서로 맞물릴 때까지 충돌하는 것을 느꼈고, 안정적인 결합을 이루었다. 다음날 아침까지 나는 초기하학 계열에서 오는 기능인 푸치안 기능의 한 부류의 존재를 확립했다; 나는 단지 몇 시간밖에 걸리지 않은 결과를 작성하기만 하면 되었다.

참고 항목

메모들

  1. ^ Friedberg, Solomon. "Automorphic Forms: A Brief Introduction" (PDF). Archived from the original (PDF) on 6 June 2013. Retrieved 10 February 2014.
  2. ^ 범프(2002)

참조

외부 링크

  • Wikiquote에서 자동 형태와 관련된 인용구