쿠시달 대표성

수 이론에서, 중단상태 표시는 L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ L$^{2}}개$의 공간에서$$ 이산적으로 발생하는 대수집단을 나타내는 것이다.cuspidal이라는 용어는 일정한 거리에서 고전적인 모듈형식 이론의 cusple 형태로부터 파생된다.자동형 표현의 현대적 공식화에서, 표현은 홀로형 함수를 대신한다; 이러한 표현들은 아델릭 대수학 그룹의 것일 수 있다.

그룹이 일반 선형 그룹 ${\displaystyle {GL\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}인 경우, 중단자 표시는 중단 양식 및 Maass 양식과 직접 관련이 있다$.$쐐기형식의 경우, 각 헤케 아이겐폼(신형)은 쐐기형 표현에 해당한다.

공식화

G를 숫자 필드 K에 대한 환원 대수집단이 되게 하고 A가 K의 부호를 나타내도록 한다.그룹 G(K)는 G(K)의 g를 G(A)의 tuple(g_p)_p에 전송하고 g = g를_p 전체(마인티 및 무한) p에 대해 g = g를 전송하여 그룹 G(A)에 대각선으로 내장한다.Z는 G의 중심을 나타내며 Ω은 Z(K) \ Z(A)^×에서^× C까지 연속적인 단일 문자로 한다.Har 측정을 G(A)에 고정하고 L²₀(G(K) \ G(A), Ω)을 G(A)에 만족하는 복잡한 값 측정 가능한 함수의 힐버트 공간을 표시하도록 한다.

1. f(γg) = 모든 γ G(K)에 대한 f(g)
2. f(gz) = 모든 z에 대한 f(g)Ω(z)
3. ${\displaystyle \int _{Z(\mathbf {A} )G(K)\,\setminus \,G(\mathbf {A} )}f(g) ^{2}\,dg<\fty}$
4. ${\displaystyle \int _{U(K)\,\setminus \,U(\mathbf {A} )}f(ug)\,du=0}$ for all unipotent radicals, U, of all proper parabolic subgroups of G(A) and g ∈ G(A).

벡터 공간 L²₀(G(K) \ G(A), Ω)은 G(A)에 중심 문자 Ω을 가진 서프 형태의 공간이라고 불린다.그러한 공간에 나타나는 함수를 쿠시달함수라고 한다.

cuspidal 함수는 f의 오른쪽 번역에 의해 생성된$$ 복잡한 Hilbert 공간 V ${\displaystyle f_{}}$ ${\$에 그룹 G(A)의 단일 표현을 생성한다.$여기$에서 V ${\displaystyle f_{}}$ ${\$에 대한 g ∈ G(A)의 동작은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle )}$( ${\displaystyle x}$) =${\displaystyle u}$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g}$) ,${\displaystyle u}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ j ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ )${\displaystyle {}_{}\in }$ V ${\displaystyle f_{}}$ ${\$)($xg),\qquad u(x)=\sum _{j}c_{j}f$

중심 문자 Ω으로 된 서프 형태의 공간은 힐버트 공간의 직접적인 합으로 분해된다.

${\displaystyle L_{0}^{2}(G(K)\setminus G(\mathbf {A}),\omega)={\widehat{\bigoplus }}}}}}{\pi }}}}}}}}}}$

합계가 L²₀(G(K) \ G(A), Ω)의 수정 불가능한 하위 표현을 초과하고 m은_π 양의 정수(즉, 각 수정 불가능한 하위 표현은 유한한 다중성으로 발생함)이다.G(A)의 쿠시달 표현은 일부 Ω에 대한 하위 표현(π, V_π)이다.

다중성이 모두_π 1과 동일한 집단은 다중성 1 속성을 가지고 있다고 한다.

참고 항목

• 자켓 모듈

참조

• 제임스 W. 코그델, 헨리 김형신, 마루티 람 머티.자동형 L 기능(2004), 5장.