반연속성

수학적 분석에서 반연속성(또는 반연속성)은 연속성보다 약한 확장된 실제 가치 함수의 속성이다.$확장$된 $실제{\displaystyle }$$$값 $함수$ f {\displaystyle f$}$은(는) x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $x_{0}$에 가까운 인수의 함수 값이 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle f\left$(x)보다 그리 높지 않은$$ 경우$$ x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ {\displaystystyle x_${$0}}}}}} 지점에서 반비례한다.$_{0}\right).$$}$

함수는 상하의 세미콘틴인 경우에만 연속적이다.일부 c을에 만약 우리가 그리고 특정 지점에서의 가치를 증대시킨 연속 함수를)0{\displaystyle x_{0}}에 f(x0)+c{\displaystyle f\left(x_{0}일 경우 \right)+c};0{\displaystyle c>0}, 다음 결과 상부 반연속이다;만약 우리가 f(x0) 그 가치를 감소 − c{\displaystyle f\left(x._{0}\$right)-c}$ 그러면$$ 결과는 더 낮아진다.

상·하반 반비례함수의 개념은 1899년 레네 바이어가 논문에서 처음 도입해 연구한 것이다.^[1]

정의들

Assume throughout that ${\displaystyle X}$ is a topological space and ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ is a function with values in the extended real numbers ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}=[-\infty ,\$$뚱뚱한$ $]\}$

상반반시금도

모든 실제는 y>에(x0){\displaystyle y>, f\left(x_{0}일 경우 \right)}이 x0{\displayst이 있는 지역 U{U\displaystyle}이 존재하 이름 A기능 f:X→ R({\displaystyle f:X\to{\overline{\mathbb{R}}}}upper 하방 반연속은 지점에서)0∈ X{\displaystyle x_{0}\in X}라고 불린다.yle x_${0}:$ 모든$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in U}$에 대해 f($x$ < ${\displaystyle$ f$><y}.$ $동등$하게,$$f {\$displaystyle$ f$}$은(는) ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$0 {\$displaysty x_{$0}에서 반미콘틴 값 이상이어야$$ 한다$.$^[2]

여기서 lim supp은 x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 지점에서$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 함수의 한계 이상이다$.$

$함수{\displaystyle }$f :${\displaystyle X}$ →${\displaystyle \stackrel{}{}R}$의 ${\$ f$:X\to${\$overline${\$mathb{R}}}}}$은(는) 다음과 같은 동등한 조건 중 하나를 만족하면 상부 세미콘틴이라고 불린다.^[2]

(1) 함수는 그 영역의 모든 지점에서 반비례한다.

(2) 모든 f- ( ( (, y)={ X : ( )< }{\$displaystyle$f^{-$1}(\왼쪽$ 화살표 $,y))$$=\{x\in X:f(x)<y\}}$ with ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ are open in ${\displaystyle X}$, where ${\displaystyle (\leftarrow ,y)=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t<y\}}$.

(3) 모든 ${\displaystyle \mathrm{수퍼}}$ 레벨 세트 {${\displaystyle }$x${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle X}$: f (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\geq y$$\}},$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ y$\in \mathb${$R$$}$은(으) $X{\displaystyle }$ ${\displaystystystyle$ X$}$에서 닫힌다$$$.$

(${\displaystyle 4}$) 하이포그래프${\displaystyle }${${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle R}$: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{(x,t)\in$ X$\time \mathb {R} :t\leq f(x)\}}$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ {$R}$에서 닫힌다$$$.$

(5) 코도메인 $'{\$이(가) 좌순 위상이 주어졌을$$ 때 이 기능은 연속된다.왼쪽 순서 위상이 모든 간격${\displaystyle (}$ intervals$,{\displaystyle y}$) ${\displaystyle (\왼쪽$ 화살표,$y)}$에 의해 생성되기 때문에 이는 조건 (2)의 재작성에 불과하다$.$

낮은 세미콘티뉴

모든 실제는 y<>;이름(x0){\displaystyle y<, f\left(x_{0}일 경우 \right)}이 x0{\displayst이 있는 지역 U{U\displaystyle}가 존재하는 함수 f:X→ R({\displaystyle f:X\to{\overline{\mathbb{R}}}}을 낮춰는 지점에서)0∈ X{\displaystyle x_{0}\in X반연속}라고 불린다.yle x_${0}:$ 모든 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ U ${\displaystyle$ x$\in U}$에 )> y ${\displaystyle$ $f$$(x)}}$이$($가$$) ${\$인 경우, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyf}$는 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$에서 세미콘틴으로 낮음$$.

여기서 ${\displaystyle lim\; inf}$ ${\displaystyle \liminf }$은(는) $지점{\displaystyle }$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$에서 f ${\displaystyle f}$ 함수의 하한이다$.$

$함수{\displaystyle }$f :${\displaystyle X}$ →${\displaystyle \stackrel{}{}R}$의$${\$displaystyle$ f$:X\to${\$overline${\$mathb{R}}}}}$은(는) 다음과 같은 동등한 조건 중 하나를 만족하면 하위 세미콘틴이라고 불린다.

(1) 함수는 그 영역의 모든 점에서 낮은 반비콘성이다.

− y∈ R{\displaystyley\in \mathbb{R}과 1((y, →))={)∈ X:f())>y}{\displaystyle f^{)}((y,\rightarrow))=\{x\in X:f())>, y\}}}X{X\displaystyle},(y, →)){t∈ R¯:t>y}{\displaystyle(y,\rightarrow)=\{t\in{\overline{\mathbb{R}}}에서 열려 있(2)모든 세튼다면.:t>, y\}}.

(3) 모든 subbel 세트 {${\displaystyle }$x${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$: f (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq$ y$\}},$ ${\displaystyle y\mathbb{}}$ ${\displaystyle \in }$ R ${\$은$($으) $X{\displaystyle }$ ${\displaystystystyty X$에서 닫힌다$$.

(4) 경구문자$\{{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$} ${\displaystyle \{(x,t)\\in$X\$time \r$}$:t\geq$ f$(x)\}}}$는 X${\displaystyle }$× ${\displaystyle R\mathbb{}}${\$displaystyle$X\$time \mathb {R}$에서 닫힌다$$$.$

(5) 코도메인 $'{\$이(가) 올바른 순서 위상이 주어졌을 때 이$$ 기능은 연속적이다.올바른 순서 토폴로지는 모든 간격$({\displaystyle y}$,${\displaystyle }$→${\displaystyle }$) ${\displaystyle (y,\rightarrow )}$에 의해 생성되므로 이는 조건 (2)의 재작성에 불과하다$.$

예

다음에 의해 정의된 $f{\displaystyle }$, ${\displaystyle f,}$ 기능을 고려하십시오.

이 함수는 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle x_{0}=0,}$에서 상위 세미콘틴이지만 하위$$ 세미콘틴은 아니다.

${\displaystyle \mathrm{지정}}$된 실수 $x{\displaystyle }$,${\$$displaystyle$f$(x)=\lfloor$ x, ${\$$displaystyle$ x$,}$보다 작거나 같은 최대 정수를 반환하는$$ 바닥 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle (x}$) = ${\displaystyle \lfloor }$ x$$, {\displaystystyle x,}은$($으)는 모든 상위 반비례에 있다$$.${\displaystyle \mathrm{마찬가지}}$로 천장 함수 $f{\displaystyle (}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \lceil }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \rceil }$ ${\displaystyle f(x)=\lceil$ x$\rceil }$은(는) 더 낮은 반미콘틴성이다.

상하의 세미콘티뉴는 실제 변수의 기능에 대한 왼쪽 또는 오른쪽으로부터의 연속성과 관련이 없다.세미콘틴티뉴는 도메인이 아닌 함수의 범위에서 순서에 따라 정의된다.^[3]예를 들어 함수

왼쪽 또는 오른쪽의 함수 한계 0이 존재하지 않는 반면$$$,$= ${\displaystyle 0}$에서 상위 $반비콘티뉴는 0$에서 상위 반비콘티뉴이다$.$

If ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ is a Euclidean space (or more generally, a metric space) and ${\displaystyle \Gamma =C([0,1],X)}$ is the space of curves in ${\displaystyle X}$ (with the supremum distance ${\displaystyle d_{\mathrm{\Gamma }}(\alpha ,\beta )=sup\{d_X(\alpha (t),\beta (t)):t\in [0,1]\}}$${\displaystyle d_{\Gamma }(\alpha ,\beta )=\sup\{d_{X}(\alpha (t),\beta (t)):t\in [0,1]\}}$), then the length functional ${\displaystyle L:\Gamma \to [0,+\infty ],}$ which assigns to each curve ${\displaystyle \alpha }$ its length ${\displaystyle L(\alpha ),}$ is lower semicontinuous.

Let ${\displaystyle (X,\mu )}$ be a measure space and let ${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$ denote the set of positive measurable functions endowed with the topology of convergence in measure with respect to ${\displaystyle \mu .}$ Then by Fatou's lemma the integral, seen as an operator from ${\displaystyle L^{+}}$${\displaystyle {}^{}(}$ ${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$에서${\displaystyle }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$,${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [-\ft,+\ft ]}}$은(는) 더 낮은 반주율이다.

특성.

Unless specified otherwise, all functions below are from a topological space ${\displaystyle X}$ to the extended real numbers ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]}$. Several of the results hold for semicontinuity at a specific point, but for brevity they are only stated from semicontinu전 영역에 걸쳐 있다.

• 함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle R}$의${\$은(는) 상하반경인 경우에만 연속적이다.

• The indicator function of a set ${\displaystyle A\subset X}$ (defined by ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=1}$ if ${\displaystyle x\in A}$ and ${\displaystyle 0}$ if ${\displaystyle x\notin A}$) is upper semicontinuous if and only if ${\displaystyle A}$ is a closed set.$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 오픈 세트인 경우에만 세미콘틴이 낮다.^{[note 1]}

• 두 개의 하위 세미콘틴 함수$$ 중 sum $f{\displaystyle }$+ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f+g}$은(만약 합이 잘 정의되어 있다면), 더 낮은 세미콘틴턴트^[4](${\displaystyle 예}$: f${\displaystyle }$(${\displaystyle }$x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle x}$ ${\displaystyle )}$ ${\$$displaystyf$$$f($x$$)+g(x)}}$이(가) 불확정 형식이 아니다$.$ +$$$+.$상위 반비례함수에서도 같은 것이 유지된다.

• 두 기능이 모두 음성이 아닌 경우, ${\displaystyle \mathrm{제품}}$ 함수 f {\$displaystyle fg}$은(는$)$ 낮은 두 개의 세미콘틴 함수 중 더 낮은 세미콘틴 함수가 된다.상위 반비례함수에서도 같은 것이 유지된다.

• 함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle R}$의${\$은$({\displaystyle }$는) - ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -f}$이(가) 상위 세미콘틴인 경우에만 하위$$ 세미콘틴턴이다.

• ${\displaystyle \mathrm{상위}}$ 세미콘틴 함수의 구성$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$ g ${\displaystyle f\circule g}$이(가) 반드시 상위 세미콘틴은 $아니지만{\displaystyle }$,$$f {\$displaystyle$f\$circg$$}$도 비감소인 경우, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaysty f\$circurg$}$은 상위 반비논함수인 것이다.^[5]

• 최소와 최대 두 개의 하위 세미콘틴 함수는 하위 세미콘틴함수다.즉, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 $R{\displaystyle \stackrel{}{\mathbb{}}}$ $"{\$$또는{\displaystyle \mathbb{}}$ R ${\$에 이르는 모든 하위 세미코틴 함수의 집합이 격자를 형성한다.상위 반비례함수에서도 같은 것이 유지된다.

• 임의가족(pointwise)의 $우월성$$({\displaystyle {pointwise}_{}}$) i ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\$_{i$\in$ I$}):$${\displaystyle {}_{}X}$→ ${\displaystyle R}$의${\$$X\to {\overline {\mathb${${\displaystyle R}$$}}}}($${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle supp}${${\displaystyle f_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$: I${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I\}}$ ${\displaystyle f(x)=\supp$=\{$f_{i}(x):i\in$ I$\backslash \}\}\}\}\}\}\}\}\}\})$은 하한 반음수이다.^[6]

특히 연속함수의 모노톤$$ 증가 $시퀀스{\displaystyle {}_{}}$ f ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ f ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ f ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \cdots }$⋯ {\$displaystyle f_{1$}\$leq f_{2$}\$leq f_{3$}\leq $\cdots$}}}의 한계는 세미콘틴턴이 낮다.(아래 바이어의 정리는 부분적인 반전을 제공한다.)한계 함수는 일반적으로 반반점 이하일 뿐 연속은 아니다.$예$는 n =${\displaystyle 1}$-${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$- x${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle n^{}}$ ${\$에 대해$$ $정의$된 x${\displaystyle }$${\displaystyle f_{}}$$[0$${\displaystyle ,}$$1],$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$2,${\displaystyle }$. . . . $.\displaystyle n=1,2,...}$의 함수 f에 의해 주어진다$.$

마찬가지로, 상위 반비례함수의 임의적 계열의 최소치는 상위 반비례함수다.그리고 연속함수의 순서가 감소하는 모노톤의 한계는 상반 반비례적이다.

• (바이어의 이론)^{[note 2]} $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 메트릭 공간이라고 가정하십시오.Every lower semicontinuous function ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ is the limit of a monotone increasing sequence of extended real-valued continuous functions on ${\displaystyle X}$; if ${\displaystyle f}$ does not take the value ${\displaystyle -\infty }$, the continuous func실제 가치로 평가될 수 있다.^[7][8]

그리고 모든 상위 반비례함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X\stackrel{}{\mathbb{}}}$→ R$'{\$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$에서 확장된 실제 값 연속함수의 모노톤 감소 시퀀스 제한이다$.$ $f{\displaystyle }$ ${\displaysty \ct}$ 값을 사용하지 않는$$ 경우$.$이온은 실제 가치로 간주될 수 있다.

• $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$이(가) 콤팩트 공간인 경우(예: 폐쇄된 경계 간격${\displaystyle }$[${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b$ 및 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle C}$→ ${\displaystyle R}$의${\$$C\to {\overline {\mathb{R}}}}}}$은(는) $상위{\displaystyle }$ 세미콘틴이고, $그{\displaystyle }$ 다음 f ${\$$displaystyle f$$}$은(는)$$C {\$displaystyle$ C$}$에 대해 최대값을$$ 가지고$$$.$ f {\$displaystyle$ f$\}$이($가$$)$ 더 낮은 세미콘틴이라면 C$}$에 최소값을 가진다$.$

(상부 반비콘틴 케이스에 대한 보증:정의에서 조건 (5)에 따라, $왼쪽{\displaystyle \stackrel{}{\mathbb{}}}$ 순서 토폴로지가 R$$} {\$displaystyle {\overline$ {\$mathb{R}}}}$에 지정된 경우 f ${\displaystyle f}$은(는) 연속적이다$$.따라서 이미지 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle C}$) ${\displaystyle f(C)}$은(는) 위상에서 소형이다$$.위상에서의 콤팩트 세트는 정확히 최대값의 세트 입니다.대안적인 증거는 극단값 정리에 관한 기사를 참조하라.)

• 임의 위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$의 상위$$ 반비례함수 ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle X\mathbb{}}$→ N ${\$$displaystyle$ $f:X\to \mathb {N} }$은(는) $X$의 일부 밀도 높은 열린 부분 집합에서 로컬로 일정하다$.$

참고 항목

• 방향 연속성
• Katětov-Tong 삽입 정리 – 반비콘틴 상·하한 사이에 연속함수의 존재 여부
• 세미콘틴 다중값 함수

메모들

참조

참고 문헌 목록

• Benesova, B.; Kruzik, M. (2017). "Weak Lower Semicontinuity of Integral Functionals and Applications". SIAM Review. 59 (4): 703–766. arXiv:1601.00390. doi:10.1137/16M1060947.
• Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of Mathematics: General Topology, 1–4. Springer. ISBN 0-201-00636-7.
• Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of Mathematics: General Topology, 5–10. Springer. ISBN 3-540-64563-2.
• Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3-88538-006-4.
• Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John M.H. (2003). Counterexamples in analysis. Dover Publications. ISBN 0-486-42875-3.
• Hyers, Donald H.; Isac, George; Rassias, Themistocles M. (1997). Topics in nonlinear analysis & applications. World Scientific. ISBN 981-02-2534-2.
• Stromberg, Karl (1981). Introduction to Classical Real Analysis. Wadsworth. ISBN 978-0-534-98012-2.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology (First ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.
• Zălinescu, Constantin (30 July 2002). Convex Analysis in General Vector Spaces. River Edge, N.J. London: World Scientific Publishing. ISBN 978-981-4488-15-0. MR 1921556. OCLC 285163112 – via Internet Archive.