수축(운영자 이론)

연산자 이론에서 표준 벡터 공간 X와 Y 사이의 경계 연산자 T: X → Y는 연산자 규범 T ≤ 1. 모든 경계 연산자는 적절한 스케일링 후에 수축이 된다고 한다.수축 분석은 연산자 구조 또는 연산자 패밀리에 대한 통찰력을 제공한다.힐베르트 공간의 수축 이론은 크게 벨라 스즈케팔비-나기와 치프리안 푸아스에 기인한다.

힐버트 공간의 수축

T가 Hilbert 공간 $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 작용하는 수축이라면 T와 연관된 다음과 같은 기본 객체를 정의할 수 있다$.$

T의 결점 연산자는 연산자 D_T = (1 - T*T)^½와 D_T* = (1 - TT*)^½이다.제곱근은 스펙트럼 정리에 의해 주어진 양의 세미데핀이다.결점 공간 $D{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\$ 및$$ $D{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\$$T*}}$은(는) Ran(D_T) 및 Ran(D_T*) 범위의 닫힘입니다$$.양성 연산자 D는_T $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 내부 제품을 유도하며$,$ 내부 제품 공간은 Ran(D_T)으로 자연스럽게 식별할 수 있다.D ${\displaystyle T_{}}statement{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ {\$displaystyle {\mathcal{D}_{$에 대한 유사한 문구를 포함한다.$T$

T의 결점 지수는 쌍이다.

${\dim {\mathcal {D}_{T},\dim {\mathcal {D}_{{D}_{{}}\dim {\mathcal}T^{*}}).}$

결점 연산자와 결점 지수는 T의 비단위성을 측정하는 척도다.

Hilbert 공간의 수축 T는 직교 직교 합으로 표준 분해될 수 있다.

$T=\Gamma \oplus U}$

여기서 U는 단일 운영자이고 and은 그 제한이 단일화된 비제로 환원 서브스페이스를 가지고 있지 않다는 점에서 완전히 단일하지 않다.U = 0이면 T는 완전히 비위생적인 수축이라고 한다.이 분해의 특별한 경우는 이등분법을 위한 월드 분해인데, 여기서 γ은 적절한 등분법이다.

힐버트 공간의 수축은 cos θ의 연산자 아날로그로 볼 수 있으며, 어떤 맥락에서 연산자 각도라고 불린다.수축에 대한 명시적인 설명은 긍정적이고 단일화된 행렬의 매개변수를 유도한다.

수축확장정리

1953년에 증명된 Sz.-Nagy의 팽창 정리에서는 힐버트 공간 H의 어떤 수축 T에 대해 P가 H에 대한 K의 직교 투영이라면 Tⁿ = P Uⁿ P가 모든 n > 0에 대해 P의 직교 투영인 더 큰 힐버트 공간 K ⊇ H에 단일 연산자 U가 있다고 명시한다.연산자 U는 T의 확장으로 불리며 U가 최소인지, 즉 K는 H가 포함된 U와 U* 아래의 닫힌 서브공간 불변제 중 가장 작은 것이다.

사실상^[1] 정의하다.

${\displaystyle \mathcal {{H}=H\oplus H\oplus H\oplus \cdots,}}$

H의 직교 직교 총계.

V를 $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 대해 정의된$$ 등각계로 설정

${\displaystyle \V(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3}\dots )=(T\xi _{1},{\sqrt {I-T^{*T}}}\xi _{1},\xi _{2}, \xi _{3},\dots.}}$

내버려두다

${\displaystyle \mathcal {{K}={\mathcal {H}\notus {\mathcal {H}}.}}$

다음을$$ $기준$으로$$K {\$displaystyle${\$mathcal$ {K$}$에 단일 W 정의

${\displaystyle \displaystyle {W(x,y)=(Vx+)(I-VV^{*}y,-V^{*}y).}}$

그러면 W는 $H{\displaystyle \mathcal{}k\mathcal{}}$ K$${\$displaystyle${\$mathcal {H}\subset${\$mathcal {K}$의 첫 번째 성분으로 H가 고려된 T의 단일 확장이다$.$

최소확장 U는 H에 적용된 W의 힘에 의해 생성된 닫힌 서브 스페이스에 W의 제한을 가함으로써 얻는다.

수축세미그룹 확장정리

Sz에 대한 대체 증거가 있다.-나기의 확장 정리, 상당한 일반화가 가능하다.^[2]

G를 그룹으로 하고, U(g) Hilbert 공간 K에 G를 단일하게 표현하며, P는 닫힌 하위 공간 H = K의 PK에 직교 투영한다.

연산자 값 함수

${\displaystyle \displaystyle {\Phi(g)=PU(g)P,}}$

K에 대한 연산자 값과 함께 양의 정의 조건을 만족한다.

${\displaystyle \sum \lambda _{i}{\overline {\lambda _{j}}\Phi(g_{j}^{j}^{-1}g_{i}}=PT^{*}TP\geq 0,}$

어디에

${\displaystyle \T=\sum \lambda _{i}U(g_{i}).}}$

게다가

$\displaystyle {\Phi(1)=P.}}$

반대로, 모든 연산자 값 양성-확정 함수는 이러한 방식으로 발생한다.위상학 그룹의 (연속) 스칼라 값을 매 (연속)한 모든 양의-확정 함수는 내부 제품과 그룹 대표성을 유도한다는 것을 상기하라. ((g) = 〈U_g v, v〉, 여기서 U는_g (강력하게 연속된) 단일 대표성(Bochner의 정리 참조)이다.1등급 투영인 v를 일반 투영으로 대체하면 연산자 값 문이 나온다.사실 그 구조는 동일하다; 이것은 아래에 스케치되어 있다.

$H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 내부 제품이 있는 H 값을 가진 유한 서포트 G의 함수 공간으로 한다$$.

${\displaystyle \displaystyle {(f_{1},f_{2})=\sum _{g,h}(\Phi (h^{-1}g)f_{1}(g),f_{2}(h).}}$

G는 다음에$$ $의해{\displaystyle \mathcal{}}$H {\$displaystyle${\$mathcal$ {H$}$에 단위적으로 작용한다.

${\displaystyle \displaystyle {U(g)f(x)=f(g^{-1}x).}}$

또한 H는 H에서 F로_v 전송하는 등축 임베딩 전송을 사용하여$$ $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 폐쇄된 하위 공간으로 식별할 수 있다.

${\displaystyle f_{v}(g)=\display _{g,1}v.\,}$

P가 H ${\$의 H에$$ 투영된 경우

${\displaystyle \displaystyle {PU(g)P=\Phi(g),}$

위 식별 정보 사용.

G가 분리 가능한 위상학 그룹인 경우, φ은 U일 경우에만 강한(또는 약한) 연산자 위상에서 연속된다.

이 경우 G의 계산 가능한 밀도 하위 그룹에서 $지원$되는 함수는 H ${\$ {$H}$에$$밀도가 있으므로 H ${\$ {$H}}$은(는) 분리할$$ 수 있다.

G = Z일 때 수축 연산자 T는 이러한 함수 φ을 정의한다.

$\displaystyle \Phi(0)=I,\,\,\\Phi(n)=T^{n},\,\,\,\Phi(-n)=(T^{*})^{n}}}$

n > 0에 대하여위의 구조는 최소의 단일 확장을 산출한다.

Sz의 2차 팽창 정리를 증명할 때도 같은 방법을 적용할 수 있다.Hilbert Space H. Cooper(1947)의 1-모수 연속 수축 Semgroup T(t) (t 0 0)에 대한 Nagy는 이전에 1-모수 Semgroups of Isometry,^[3]

정리는 H를 포함하는 더 큰 힐베르트 공간 K와 R의 단일 표현 U(t)가 있다고 기술하고 있다.

${\displaystyle \displaystyle {T(t)=PU(t)P}}$

번역 U(t)H는 K를 생성한다.

실제로 T(t)는 연속적인 연산자 값 positove-definite 함수 φ을 R ~에 정의한다.

${\displaystyle \Phi (0)=I,\,\,\,\Phi(t)=T(t)=\,\,\,\,\Phi(-t)=T(t)^{*}}}}}}}}}}$

t > 0. φ은 R의 주기적 부분군, Z에 대한 인수에 의해 그리고 따라서 연속성에 의한 R 자체에 대해 양-확정적이다.

이전 구조는 최소 단일 표현 U(t)와 투영 P를 산출한다.

힐-요시다 정리는 폐쇄된 무한 연산자 A를 모든 계약적 1-모수 세미그룹 T'(t)에 할당한다.

${\displaystyle \displaystyle {A\xi =\lim _{t\downarrow 0}{1 \over t}(T(t)-I)\xi ,}}$

여기서 A의 도메인은 이 제한이 존재하는 모든 ξ으로 구성된다.

A를 semigroup의 발생기라고 하며 만족한다.

${\displaystyle \displaystyle {-\Re(A\xi ,\xi )\geq 0}$

그 영토에A가 자체 승인 연산자인 경우

${\displaystyle \displaystyle{T(t)=e^{At}}}}}$

스펙트럼 정리와 이 표기법은 세미그룹 이론에서 더 일반적으로 사용된다.

semigroup의 cogenerator는 다음과 같이 정의된 수축이다.

${\displaystyle \displaystyle {T=(A+I)(A-I)^{-1}.}}$

A는 다음 공식을 사용하여 T로부터 회수할 수 있다.

${\displaystyle \displaystyle {A=(T+I)(T-I)^{-1}.}}$

특히 K ⊃ H에 T를 팽창시키면 즉시 세미그룹이 팽창한다.^[4]

기능성 미적분학

T는 H에 대해 완전히 비위생적인 수축이 되게 하라.그러면 K ⊃ H에 대한 T의 최소 단일 확장 U는 단위 당 양방향 교대조 운영자 즉 L²(S¹)에 대한 z 곱하기와 같은 직접 합과 같다.^[5]

P가 H에 대한 직교 투영인 경우, F의 경우 L^∞ = L(S^∞1)에 따라 연산자 f(T)를 정의할 수 있다.

$[\displaystyle \displaystyle {f(T)\xi =Pf(U)\xi.}}$

H를^∞ 유닛 디스크 D의 경계된 홀로모르픽 함수의 공간이 되게 한다.그러한 함수는 모두^∞ L에 경계 값을 가지며 이들 값에 의해^∞ 고유하게 결정되므로 내장 H l^∞ L이 있다.

H에서^∞ f의 경우, 단일 팽창에 대한 참조 없이 f(T)를 정의할 수 있다.

사실 ~라면

${\displaystyle \f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}}}}$

z < 1의 경우, r < 1의 경우.

${\displaystyle \displaystyle {f_{r}(z)=\sum _{n\geq 0}r^{n}a_{n}z^{n}}}}}$

z < 1/r에 홀로모르픽이다.

이 경우 f_r(T)는 홀로모픽 함수 미적분학에 의해 정의되며 f(T )는 다음과 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle \f(T)\xi =\lim _{r\오른쪽 화살표 1}f_{r}(T)\xi.}}$

f(T)에 보내는 지도는 H의^∞ 대수적 동형성을 H의 경계 연산자로 정의한다. 더욱이 다음과 같은 경우

${\displaystyle \f^{\sim }(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}{\n}{\overline{z}^{n}}}}}}}}}}:$

, 그러면.

${\displaystyle \displaystyle {f^{\sim }(T)=f(T^{*})^{*}.}}$

이 지도에는 다음과 같은 연속성 속성이 있다: 균일하게 경계된 시퀀스_n f가 거의 모든 곳에서 f(T)로 경향이 있다면, f_n(T)는 강한 연산자 위상에서 f(T)로 경향이 있다.

t ≥ 0의 경우 e를_t 내부 함수로 한다.

${\displaystyle \displaystyle {e_{t}(z)=\exp t{z+1 \over z-1}.}}$

T가 완전한 비군사적 수축 T(t)의 단일 매개변수 세미그룹의 열병합 발전기라면,

${\displaystyle \displaystyle {T(t)=e_{t}(T)}}}}$

, 그리고

${\displaystyle \t={1 \over 2}I-{1 \over 2}\int _{0}^{\int }e^{-t(t)\,dt.}}$

C₀ 수축

완전히 비위생적인 수축 T는 H에서^∞ 일부 비 0 f에 대해 f(T)가 0이면 C 등급에₀ 속한다고 한다.이 경우 그러한 f의 집합은 H에서^∞ 이상을 형성한다.φ ⋅ H형식을^∞ 가지고 있는데, 여기서 g는 내적함수, 즉 1 = 1 on¹ S: φ은 복잡한 수 1에 의해 최대 곱셈까지 고유하게 결정되어 T의 최소함수라고 한다.그것은 행렬의 최소 다항식과 유사한 특성을 가지고 있다.

최소함수 φ는 규범적 요소화를 인정한다.

${\displaystyle \displaystyle {\varphi (z)=cB(z)e^{-P(z)}}}}}$

여기서 c =1, B(z)는 Blaschke 제품이다.

${\displaystyle \b(z)=\prod \left[{\lambda_{i}\over \lambda_{i}}{i}-z \over 1-{{\lambda }}}}{li}\lambda}\right}^{m_{i},}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

와 함께

${\displaystyle \dum m_{i}(1- \sumda _{i})(<\infit ,})$

그리고 P(z)는 D에서 음이 아닌 실제 부분을 가진 홀모형이다.허글로츠 표현 정리로는

${\displaystyle \py{0}^{2\pi }{1+e^{-i\thea}z \over 1-e^{-e^}\i\i}z}\,d\mu (\theta )}}}}}}표시 스타일 \d\mu(\teta )}$

원의 음이 아닌 일부 유한 측정 μ에 대해: 이 경우 0이 아닌 경우 μ는 르베그 측정에 대해 단수여야 한다.위의 φ의 분해에서는 두 요인 중 어느 한 요인이 결석할 수 있다.

최소함수 φ은 T의 스펙트럼을 결정한다.단위 디스크 내에서 스펙트럼 값은 φ의 0이다.기껏해야 그러한 λ이_i 많으며, T의 모든 고유값, B(z)의 0이 있다.단위 원의 지점은 만약 φ이 그 지점의 근방에 대한 홀로모픽 연속성을 갖는 경우에만 T의 스펙트럼에 있지 않다.

φ H가 일반화된 아이겐스페이스의^[6] 직접 합계(직교할 필요는 없음)의 마감과 동일할 때 정확히 Blaschke 제품으로 감소

${\displaystyle \h_{i}=\\xi :(T-\lambda _{i}I)^{m_{i}\xi =0\}.}}$

준 유사성

두 수축 T와₁ T는₂ 사소한 커널과 밀도 범위를 가진 경계 연산자 A, B가 있을 때 준 유사하다고 한다.

${\displaystyle \displaystyle {AT_{1}=T_{2}A,\,\,\,BT_{2}=T_{1}B.}}$

수축 T의 다음 성질은 준 유사성 하에서 보존된다.

• 단일성 있는
• 완전히 비위생적인
• C반에₀ 있다.
• 다중성이 없는 것, 즉, 역순응용제를 갖는 것.

두 개의 유사 유사 C₀ 수축은 동일한 최소 함수를 가지며 따라서 동일한 스펙트럼을 가진다.

C₀ 수축을 위한 분류 정리는 두 개의 다발성 자유 C₀ 수축을 동일한 최소 함수(스칼라 배수까지)를 갖는 경우에만 준 유사하다고 명시한다.^[7]

최소 기능 φ으로 다중의 자유 C₀ 수축 모델을 제시한다.

${\displaystyle \displaystyle {H=H^{2}\minus \varphi H^{2},}}$

여기서 H는² 원의 하디 공간이고 T를 z만큼 곱셈으로 한다.^[8]

그러한 연산자를 요르단 블록이라고 하며 S(S)로 표기한다.

Burling의 정리를 일반화한 것으로서, 그러한 운용자의 공통점은 H에서^≈ ψ을 가지는 연산자 ψ(T), 즉 H에서^≈ 기능에 해당하는 H에² 대한 곱셈 연산자로 정확히 구성된다.

C₀ 수축 연산자 T는 요르단 블록(필요적으로 최소 기능에 해당하는 블록)과 유사할 경우에만 다중성이 없다.

예

• S 연산자와 유사하게 다음과 같은 경우 수축 T

${\displaystyle \displaystyle {Se_{i}=\lambda _{i}e_{i}}}}$

1보다 작은 계수를 가진 λ의_i 구별을 가지고, 다음과 같이

${\displaystyle \displaystyle {\sum(1- \ \da _{i} )<1}$

그리고 (e_i) 직교 기준이고, 그 다음 S, 그리고 따라서 T는 C이고₀ 다중성이 없다.따라서 H는 T의 λ-eigenspaces의_i 직접 합계를 폐쇄한 것이며, 각각 다중성 1을 가진다.이것은 준 유사성의 정의를 사용하여 직접 볼 수도 있다.

• 위의 결과는 기능적 미적분학에서 두 개의 세미그룹이 준 유사할 경우에만 준 유사하므로 한 변수 세미그룹에도 동일하게 잘 적용될 수 있다.^[9]

C₀ 수축에 대한 분류 정리: 모든 C₀ 수축은 표준적으로 요르단 블록의 직접 합과 유사하다.

사실 모든₀ C 수축은 폼의 고유한 연산자와 유사하다.

${\displaystyle \S=S(\varphi _{1})\oplus S(\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3}}\plus \cdots }}}}}}$

여기서₁ φ은_n S와 그에 따른 T의 최소 함수와 함께 독특하게 결정된 내부 함수다.^[10]

참고 항목

• 칼만-로타 부등식
• 스틴스프링확장정리
• 수축 세미그룹을 위한 힐요시다 정리

메모들

참조

• Bercovici, H. (1988), Operator theory and arithmetic in H^∞, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 26, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1528-8
• Cooper, J. L. B. (1947), "One-parameter semigroups of isometric operators in Hilbert space", Ann. of Math., 48 (4): 827–842, doi:10.2307/1969382, JSTOR 1969382
• Gamelin, T. W. (1969), Uniform algebras, Prentice-Hall
• Hoffman, K. (1962), Banach spaces of analytic functions, Prentice-Hall
• Sz.-Nagy, B.; Foias, C.; Bercovici, H.; Kérchy, L. (2010), Harmonic analysis of operators on Hilbert space, Universitext (Second ed.), Springer, ISBN 978-1-4419-6093-1
• Riesz, F.; Sz.-Nagy, B. (1995), Functional analysis. Reprint of the 1955 original, Dover Books on Advanced Mathematics, Dover, pp. 466–472, ISBN 0-486-66289-6