힐-요시다 정리

기능 분석에서 힐-요시다 정리는 바나흐 공간에 대한 선형 연산자의 강력한 연속 1-모수 세미그룹 생성기의 특징을 나타낸다.수축 세미그룹의 특수한 경우에 대해 언급하기도 하는데, 일반적인 경우를 펠러-미야데라-필립스 정리(William Feller, Isao Miyadera, Ralph Phillips)라고 한다.수축 세미그룹 사례는 마르코프 공정 이론에 널리 사용된다.다른 시나리오에서 밀접하게 관련된 루머-필립스 정리는 종종 주어진 운영자가 강하게 연속적인 수축 세미그룹을 생성하는지 여부를 결정하는데 더 유용하다.정리는 1948년경 독자적으로 그 결과를 발견한 수학자 에이나르 힐과 요시다 고사쿠의 이름을 따서 지은 것이다.

형식 정의

X가 Banach 공간인 경우, X에 있는 연산자의 1-모수 세미그룹은 다음과 같이 음수가 아닌 실수 {T(t)} _{t ∈ [0, ∞)}에 대해 지수화한 연산자군이다.

• $[\displaystyle T(0)=I\quad }$
• $[\displaystyle T(s+t)=T(s)\circle T(t)],\quad \forall t,s\geq 0.}$

세미그룹은 (C₀)세미그룹이라고도 하며, 만약의 경우, 그리고 그 매핑이 있는 경우에만 강하게 지속된다고 한다.

$T(t)x}$

모든 x ∈ X에 대해 연속적이다. 여기서 [0, ∞)은 일반적인 위상이고 X는 표준 위상이다.

단일 매개변수 Sem그룹 T의 최소 생성기는 다음과 같이 X의 적절한 하위 공간에 정의된 연산자 A이다.

• A의 도메인은 다음과 같은 x ∈ X의 집합이다.

${\displaystyle h^{-1}{\bigg (}T(h)x-x{\bigg )}}}}$

h가 오른쪽에서 0으로 접근함에 따라 한계가 있다.

• A x의 값은 위의 한계의 값이다.즉, A x는 함수의 0에서 우파적(우파적)이다.

$T(t)x.}$

강하게 연속되는 1-모수 세미그룹의 최소 생성기는 X의 밀도 있는 선형 하위 공간에 정의된 폐쇄 선형 연산자다.

힐-요시다 정리는 바나흐 공간의 폐쇄 선형 연산자 A가 강하게 연속되는 1-모수 세미그룹의 최소 생성기가 되기 위해 필요하고 충분한 조건을 제공한다.

정리명세서

Banach 공간 X의 선형 아공간 D(A)에 정의된 선형 연산자가 A가 되게 하고, 실수는 Ω, M > 0이다.그런 다음 A는 ${\displaystyle \mathrm{다음}}$과 같은 경우에만$$^[1] $\Vert {\displaystyle }$ T${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \Vert }$ M ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\$\$T(t)\\leq M{\rm{e}^{\omega$ t$}}}$을(를) 만족하는 강력 연속 세미그룹 T를 생성한다.

1. A는 닫혀 있고 D(A)는 X로 밀집되어 있다.
2. 모든 실제 λ > Ω은 A의 분해능 집합에 속하며, 그러한 λ과 모든 양의 정수 n에 해당한다.

${\displaystyle \(\lambda I-A)^{-n}\\leq {\frac {M}{(\lambda -\omega )^{n}}}.}$

수축 세미그룹을 위한 힐요시다 정리

일반적인 경우, 힐-요시다 정리는 정리의 문장에 나타나는 분해 연산자의 힘에 대한 추정치는 대개 구체적인 예에서 확인할 수 없기 때문에 이론적으로 중요한 것이 대부분이다.수축세미그룹의 특수한 경우(위 정리에서는 M = 1과 Ω = 0)의 경우, 사례 n = 1만 확인하면 되고 정리도 어느 정도 실질적인 중요성이 된다.수축 세미그룹에 대한 힐-요시다 정리의 명시적 진술은 다음과 같다.

Banach 공간 X의 선형 하위 공간 D(A)에 정의된 선형 연산자가 A가 되도록 한다.그리고 A는 다음의 경우에^[2] 한하여 수축 semigroup을 생성한다.

1. A는 닫혀 있고 D(A)는 X로 밀집되어 있다.
2. 모든 실제 λ > 0은 A의 분해능 집합에 속하며, 그러한 λ에 대해서는,

$\displaystyle \ (\lambda I-A)^{-1}\ \leq {\frac {1}{\lambda }}.}$

참고 항목

• C0 세미그룹
• 루머-필립스 정리
• 스톤이 단변수 단일 집단에 대한 정리

메모들

참조

• Riesz, F.; Sz.-Nagy, B. (1995), Functional analysis. Reprint of the 1955 original, Dover Books on Advanced Mathematics, Dover, ISBN 0-486-66289-6
• Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis, self-adjointness., Academic Press, ISBN 0125850506
• Engel, Klaus-Jochen; Nagel, Rainer (2000), One-parameter semigroups for linear evolution equations, Springer
• Arendt, Wolfgang; Batty, Charles; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2001), Vector-valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Birkhauser
• Staffans, Olof (2005), Well-posed linear systems, Cambridge University Press
• Feller, William (1971), An introduction to probability theory and its applications. Vol. II. Second edition, John Wiley & Sons, New York
• Vrabie, Ioan I. (2003), C0-semigroups and applications. North-Holland Mathematics Studies, 191., North-Holland Publishing Co., Amsterdam