단층 재구성

단층 재구성:투영, 백 투영 및 필터링 백 투영

단층 재구성은 다차원 역문제의 일종으로, 한정된 수의 투영으로부터 특정 시스템의 추정치를 산출하는 것이 도전이다.단층 촬영의 수학적 근거는 요한 라돈에 의해 정해졌다.응용의 주목할 만한 예는 환자의 단면 영상을 비침습적으로 획득하는 컴퓨터 단층촬영(CT)의 재구성이다.최근 개발에서는 라돈 변환과 라돈 변환이 공항 보안에서 컴퓨터 단층 촬영 사용을 테스트하고 평가하는 데 필요한 실제 객체 삽입과 관련된 작업에 역적으로 사용되어 왔다.^[1]null

이 글은 일반적으로 모든 종류의 단층 촬영에 대한 재구성 방법에 적용되지만, 일부 용어와 물리적 서술은 X선 컴퓨터 단층 촬영의 재구성을 직접적으로 언급하고 있다.null

도입식

그림 1: 단층 촬영 및 단층 촬영 재구성에 사용되는 평행 빔 형상각 투영은 특정 각도의 단층 촬영에서 비롯되며, 객체를 통한 선 통합의 집합으로 구성된다.

플라스틱 두개골 팬텀의 단층 촬영 이미지.투영된 X선은 각도에 걸친 투영 슬라이스의 제한된 양 때문에 영상 아티팩트로 CT-스캔으로 찍은 이 슬라이스에서 선명하게 보인다.

주어진 각도 ${\displaystyle \theta$ $\theta$ 에서 단층 측정 프로세스에서 발생하는 객체의 투영은 일련의 라인 통합으로 구성된다(그림 1 참조).2D로 구성된 여러 각도에서 그러한 많은 투영을 시노그램이라고 한다(그림 3 참조).X선 CT에서 선 적분은 물체를 통해 직선으로 이동할 때 X선 빔의 총 감쇠를 나타낸다.위에서 언급한 바와 같이, 결과 영상은 감쇠 계수의 2D(또는 3D) 모델이다.즉, 이미지 $\mu (x,y)$ , $\mu (x,y)$ ) $\mu(x,y)$ 을 찾고자 한다 $\mu (x,y)$ 스캔 방법을 시각화하는 가장 간단하고 쉬운 방법은 첫 번째 스캐너에서 사용되는 병렬 투영 시스템이다.이 논의를 위해 우리는 데이터를 각도 $\theta$ $\theta$ 의 투영에 $r$ r{\ $displaystyle r}$ 에서 병렬 광선의 시리즈로 수집할 것을 고려한다 $\theta$ 이것은 다양한 각도에서 반복된다.감쇠는 조직에서 기하급수적으로 발생한다.

(\displaystyle I=I_{0}\exp \left({-\int \mu (x,y)\,ds}\right)}

여기서 $\mu (x,y)$ , $\mu (x,y)$ ) $\mu(x,y)$ 은 $\mu (x,y)$ 위치 함수로서의 감쇠 계수다.따라서 일반적으로 각도 $\theta$ $\theta$ 의 투영에서 $r$ {\ $displaystyle$ r} $위치$ 에 있는 레이의 $p$ 총 감쇠 $p$ $p$ 은(는 $\theta$ 선 적분으로 주어진다.

p_{\theta }(r)=\ln \left({\frac {I}{I_{0}}\오른쪽)=-\\int \mu(x,y)\,ds

$그림$ 1의 좌표계를 사용하여 점 $(x,y)$ , y $(x,y)$ ) $(x,y)$ 이(가) 각도 $\theta$ $\theta$ 에 $\theta$ 투영될 $r$ $(x,y)$ r $r$ 의 값은 다음과 같다.

\displaystyle x\cos \theta +y\sin \theta =r\ }

따라서 위의 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

p_{\theta}(r)=\int _{-\infit }^{\inf(x,y)\infit }^{\inf(x,y)\inf(x\cos \cos \tea \-r)\,dx\,dy

여기서 $f(x,y)$ ( $f(x,y)$ , y $f(x,y)$ ) ${\$ $displaystyle$ $f(x,$ $y$ $)}$ 은 $\mu (x,y)$ , $\mu (x,y)$ )을 나타내고 $f(x,y)$ $\mu (x,y)$ $\delta ()$ )은 $\delta ()$ 디락 델타 함수다 $\delta ()$ $.$ 이 기능은 2D 물체의 라돈 변환(또는 시노그램)으로 알려져 있다.null

투영의 푸리에 변환은 다음과 같이 기록될 수 있다.

$P_{\theta }(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\exp[-j\omega (x\cos \theta +y\sin \theta )]\,dx\,dy=F(\Omega _{1},\Omega _{2})$ where $\Omega _{1}=\omega \cos \theta ,\Omega _{2}=\omega \sin \theta$ $\Oomega \{1}=\omega \coses \theta ,\Oomega \2}=\omega \sin \theta$

$P_{\theta }(\omega )$ $P_{\theta }(\omega )$ ( $P_{\theta }(\omega )$ ) ${\displaystyle P_{\theta$ $displaystyle f(x,y)}$ 의 $f(x,y)$ Fourier 변환의 한 조각을 $\theta$ ${\displaystyle$ \theta $}$ 각도에서 나타낸다 $f(x,y)$ $\theta$ 역 푸리에 변환을 사용하면 역 라돈 변환 공식을 쉽게 파생할 수 있다.null

$f(x,y)={\frac {1}{2\pi }\int \{0}^{\pi }g_{\theta }(x\cos \coses \theta +y\sin \theta )d\d$

여기서 $g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )$ $g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )$ $g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )$ θ $g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )$ + $g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )$ $g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )$ ) ${\displaystyle g_{\theta }(x\cos$ \cos \ $theta +y\sin \theta$ )은 $g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )$ $p_{\theta }(r)$ $p_{\theta }(r)$ ( $){\displaystysty p_{\ta(r)$ 의 힐버트 변환의 파생물이다.

이론적으로, 역 라돈 변환은 원래의 이미지를 산출할 것이다.투영-슬라이스 정리는 만약 우리가 무한한 수의 각도에서 찍은 물체의 1차원 투영 수를 가지고 있다면, $f(x,y)$ 는 원래의 물체 f $x , y$ 를 완벽하게 재구성할 수 있을 것이라고 말해준다 $f(x,y)$ 그러나 $실제로$ 이용 가능한 투영 횟수는 한정적일 것이다.null

$f(x,y)$ ( $f(x,y)$ , $f(x,y)$ ) $f(x,y)$ 에 $f(x,y)$ 유효 직경 $d$ $d$ 이 $d$ (가) 있고 원하는 해상도가 $R_{s}$ $R_{s}$ ${\$ $R_$ ${s}$ 라고 가정하면 $R_{s}$ 재구성에 필요한 투영 횟수는 $N>\pi d/R_{s}$ > $N>\pi d/R_{s}$ > $N>\pi d/R_{s}$ / $N>\pi d/R_{s}$ $>\$ 이다.

재구성 알고리즘

실제 재구성 알고리즘은 그 투영으로부터 3차원 물체의 재구성 과정을 구현하기 위해 개발되었다.^[3]^[2]이러한 알고리즘은 주로 라돈 변환의 수학, 데이터 획득 과정의 통계적 지식, 데이터 영상 시스템의 기하학에 기초하여 설계된다.null

푸리에-도메인 재구성 알고리즘

보간법을 사용하여 재구성할 수 있다. $N$ $N$ - $f(x,y)$ ( $f(x,y)$ , $f(x,y)$ ) $f(x,y)$ 의 거부가 $N$ 동일한 $f(x,y)$ 간격으로 생성되고 각각 동일한 속도로 샘플링된다고 가정하십시오.각 투영에서 이산 푸리에 변환은 주파수 영역에서 샘플링을 산출한다.주파수 샘플링된 모든 투영을 결합하면 주파수 영역에서 극성 래스터가 생성된다.극성 래스터는 희박하기 때문에 알 수 없는 DFT 포인트를 채우기 위해 보간이 사용되며 역 이산 푸리에 변환을 통해 재구성이 가능하다.^[4]재구축 성능은 보간 효과를 촉진하기 위해 극 래스터의 첨탑도를 변경하는 방법을 설계함으로써 개선될 수 있다.null

예를 들어, 주파수 영역의 동심 사각 래스터는 다음과 같이 각 투영 사이의 각도를 변경하여 얻을 수 있다.

$\theta '={\frac {R_{0}}{\max\{\coses \theta, \sin \theta \}}}}$

여기서 $R_{0}$ $R_{0}$ ${\$ 은 $R_{0}$ (는) 평가해야 할 가장 높은 주파수다.null

동심 사각 래스터는 모든 보간 위치가 직사각형 DFT 격자 위에 있도록 하여 계산 효율을 향상시킨다.게다가 보간 오류를 줄인다.^[4]그러나 푸리에-트랜스폼 알고리즘은 본질적으로 시끄러운 출력을 내는 단점이 있다.null

백 투영 알고리즘

단층 영상 재구성의 실무에서는 역 라돈 변환의 안정화 및 탈소화 버전을 사용하는 경우가 많은데, 역 라돈 변환은 여과 백 투영 알고리즘으로 알려져 있다.^[2]null

표본 추출된 이산 시스템에서 역 라돈 변환은

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi }\sum _{{i-1}\Delta \theta _{i}g_{\theta _{i}(x\cos \cos \theta _{i}+y\sin \ta_{i})$

$g_{\teta }(t)=p_{\teta }(t)\cdot k(t)$

여기서 $\Delta \theta$ $\Delta \theta$ $\Delta \theta$ 은(는) 투영 사이의 각도 $k(t)$ 이고 $\Delta \theta$ k $k(t)$ ( $t$ ) {\ $displaystyle$ k(t $k(t)$ )}은 주파수 응답 $|\omega |$ Ω {\ $displaystyle$ \omega }인 라돈 커널이다 $|\omega |$

백프로젝트라는 이름은 2D 신호를 얻기 위해 1D 투영을 1D 라돈 커널(백프로젝트)으로 필터링해야 한다는 데서 유래한다.사용되는 필터는 DC 게인을 포함하지 않으므로 DC 바이어스를 추가하는 것이 바람직할 수 있다.백프로젝트를 사용한 재구성은 위에서 설명한 보간법보다 더 나은 분해능을 가능하게 한다.그러나 필터는 고주파 함량을 증폭하기 쉽기 때문에 더 큰 소음을 유도한다.null

반복재건 알고리즘

반복 알고리즘은 계산적으로 집약적이지만 시스템 $f(x,y)$ ( x $f(x,y)$ , $f(x,y)$ ) $f(x,y)$ 에 대한 사전 정보를 포함할 수 있다 $f(x,y)$ ^[2]

$\theta _{i}$ $N$ 을(를) 투영 횟수로 $N$ $D_{i}$ , D $D_{i}$ {\ $displaystyle$ $D_$ ${$ i $i$ $}$ 각도에서 $\theta _{i}$ $i$ ${\$ $displaystyle$ $i}$ $투영$ 의 왜곡 연산자로 한다 $D_{i}$ $\theta _{i}$ $\{\lambda _{i}\}$ { ${$ }{\ $lambda _{$ i}}}}는 $\{\lambda _{i}\}$ 반복 변환을 최적화하기 위한 매개 변수 집합이다..

$f_{0}(x,y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{\teta _{i}(r)$

센서 간격이 다른 Shepp-Logan 팬텀의 팬 빔 재구성.센서 사이의 간격이 작을수록 재구성이 미세해진다.이 수치는 MATLAB를 사용하여 생성된 것이다.

$f_{k}(x,y)=f_{k-1}(x,y)+\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}[p_{i}(r)-D_{k-1}{k-1}(x,y)}}}}}}}}}}}}$

재귀 단층 재구성 알고리즘의 다른 제품군은 대수 재구성 기법과 반복성 희소성 점증 최소 분산이다.null

팬빔 재구성

시준된 방사선 빔을 얻기 어렵기 때문에 시준되지 않은 팬 빔을 사용하는 것이 일반적이다.팬 빔은 투영으로 서로 평행하지 않고 일련의 라인 통합을 생성한다.팬빔 시스템은 기계적 제약을 가하는 360도 범위의 각도를 요구하지만, 의약 분야와 같은 특정 설정에서 유리할 수 있는 더 빠른 신호 획득 시간을 허용한다.백프로젝트는 필터링된 투영에서 얻은 가중 합계 백프로젝트를 계산하여 재구성을 산출하는 유사한 2단계 절차를 따른다.null

딥러닝 재구성

포아송 노이즈가 유발하는 딥러닝 재구성에 포아송 노이즈의 영향은 기존의 고대비 병변과 같은 대상을 재구성하지 못한다.

요즘 이미지 재구성에 딥러닝 방식이 폭넓게 적용되고 있으며 저선량 데노화, 희소경 재구축, 제한된 각도 단층촬영, 금속 공예품 축소 등 다양한 이미지 재구성 과제에서 인상적인 성과를 거두고 있다.훌륭한 개요는 IEEE Transaction on Medical Imaging 특별호에서 찾을 수 있다.딥러닝 재구성 알고리즘의 한 그룹은 후처리 신경망을 적용하여 영상 대 영상 재구성을 달성하는데, 입력 영상이 기존의 재구성 방식으로 재구성된다.제한된 각도 단층촬영에서 U-Net을 이용한 아티팩트 감소가 그러한 예다.^[6]그러나 그림에 표시된 것처럼 완전히 데이터 중심적인 방법으로 재구성된 영상에서 잘못된 구조가 발생할 수 있다.^[7]그러므로, 정밀학습의 개념에서 설명한 바와 같이, 신경망의 아키텍처 설계에 알려진 연산자의 통합은 유익해 보인다.^[8]예를 들어 투영 데이터에서 직접 영상 재구성은 필터링된 백프로젝션의 프레임워크에서 배울 수 있다.^[9]또 다른 예는 반복재건 알고리즘을 풀어서 신경망을 구축하는 것이다.^[10]정밀 학습을 제외하고 딥러닝 재구성이 선행된 기존의 재구성 방법을 이용하는 것도 딥러닝 재구성의 영상 품질을 개선하기 위한 대안적 접근법이다.null

단층 재구성 소프트웨어

유연한 단층 재구성을 위해 PYRO-NN,^[12] TomoPy,^[13] CONRAD,^[14] ODL, ASTRA 툴박스,^[15]^[16] TIGRE 등 오픈소스 툴박스를 이용할 수 있다.^[17]TomoPy는 Argonne National Laboratory의 Advanced Photon Source에서 단층 데이터 처리 및 영상 재구성 작업을 수행하는 오픈 소스 Python 툴박스다.TomoPy 툴박스는 싱크로트론 설비 빔라인에서 사용과 배치가 용이하도록 특별히 설계되었다.디스크에서 사이언티픽 데이터 교환을 통해 많은 공통 싱크로트론 데이터 형식을 읽을 수 있도록 지원하며,^[18] 싱크로트론 데이터에 일반적으로 사용되는 몇 가지 다른 처리 알고리즘을 포함한다.TomoPy는 또한 멀티 코어 워크스테이션과 대규모 컴퓨팅 시설에서 실행할 수 있는 몇 가지 재구성 알고리즘을 포함하고 있다.^[19]The ASTRA Toolbox is a MATLAB and Python toolbox of high-performance GPU primitives for 2D and 3D tomography, from 2009 to 2014 developed by iMinds-Vision Lab, University of Antwerp and since 2014 jointly developed by iMinds-VisionLab (now imec-VisionLab), UAntwerpen and CWI, Amsterdam.툴박스는 병렬, 팬 및 콘 빔을 지원하며, 매우 유연한 소스/디텍터 위치 지정 기능을 제공한다.TomoPy와 ASTRA 툴킷을 통해 FBP, Gridrec, ART, SIRT, SART, BART, CGLS, PML, MLEM, OSTM을 포함한 다수의 재구성 알고리즘을 이용할 수 있다.2016년, ASTRA 툴박스가 TomoPy 프레임워크에 통합되었다.^[20]TomoPy 프레임워크에 ASTRA 툴박스를 통합하여 최적화된 GPU 기반 재구성 방법을 싱크로트론 빔라인 사용자가 쉽게 사용할 수 있게 되었으며, ASTRA 툴박스 사용자는 데이터를 보다 쉽게 읽고 TomoPy의 다른 기능을 사용하여 데이터 필터링 및 아티팩트 보정을 할 수 있다.null

갤러리

갤러리에 표시된 것은 ART를 기반으로 한 간단한 객체 단층 촬영과 다음과 같은 단층 재구성을 위한 완전한 과정이다.null

그림 2: 팬텀 오브젝트, 두 개의 키티코너 사각형.null
그림 3: 단층 촬영으로 인한 팬텀 객체의 시노그램(그림.2). 50개의 투영 슬라이스를 180도 각도 이상 동일하게 샘플링했다(우연의 일치로 x축은 -50/50 단위로 변위를 표시한다).null
그림 4: 반복 재구성 프로세스에 애니메이션으로 제시된 그림 3의 시노그램의 ART 기반 단층 재구성.결과 영상에 일부 시각적 아티팩트가 있기 때문에 원래 개체를 근사적으로 재구성할 수 있다.null

참고 항목

참조

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추가 읽기

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외부 링크

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ASTRA(All Scale Tomographic Reconstruction Antwerp) 도구 상자, 컴퓨터 단층 재구성을 위한 매우 유연하고 빠른 오픈 소스 소프트웨어
NiftyRec, 포괄적인 오픈 소스 단층 재구성 소프트웨어, Matlab 및 Python 스크립트 가능
오픈 소스 단층 촬영 재구성 및 시각화 도구
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