수정 리처드슨 반복

수정된 리차드슨 반복은 선형 방정식의 시스템을 해결하기 위한 반복적인 방법이다.리처드슨 반복은 루이스 프라이 리처드슨에 의해 1910년의 그의 작품에서 제안되었다.자코비·가우스-사이델 방식과 비슷하다.

우리는 다음과 같이 행렬 용어로 표현되는 일련의 선형 방정식에 대한 해결책을 모색한다.

$(\displaystyle Ax=b.\,}$

리처드슨 주지사의 반복은

${\displaystyle x^{(k+1)}=x^{(k)}+\omega \left(b-Ax^{(k)}\right),}$

여기서 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$은 시퀀스 ${\displaystyle x^{}}$( k )${\$이(가) 수렴되도록 선택해야$$ 하는 스칼라 파라미터다.

$방법$이 수렴하면 x(${\displaystyle k^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( k $){\$ x$^{(k+1)}\약간의 x^{(k)}},$ $x$(k $){\$$displaysty$ $x$$^{{(k$의 ${\displaystyle \mathrm{용액}}$에 근사치를 ${\displaystyle \mathrm{해야<img\; alt="x^\{(k)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/4c4ad77f04c0f250f01c3b6b5195ac5769d9dacf"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:3.698ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="28">}}$ 하기 때문에 방법이 정확한 $고정점$을 가지고 있음을 쉽게 알 수 있다$.$

수렴

정확한 솔루션 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$을$($를) ${\displaystyle {뺀}^{}}$ 다음 오류 $e{\displaystyle {}^{(}}$ k${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}k{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- x ${\displaystyle e^{(k)=x^{(k)-x}$에 대한 표기법을 도입하면 오류에 대한 동일성을 얻는다$.$

${\displaystyle e^{(k+1)}=e^{(k)-\omega Ae^{(k)}=(I-\omega A)e^{(k)}}}$

그러므로,

${\displaystyle \ \ e^{{(k+1)}\\ (I-\omega A)e^{(k)\leq \ I-\omega A\ \ e^{(k)\,}$

벡터 정규 및 해당 유도 매트릭스 정규에 대해.따라서 - A< ${\displaystyle$\$I-\omega$ A$\{1$}가 되면 방법이 수렴된다

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 대칭 양수 한정자이고 (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}{}_{}}$) ${\displaystyle j_{}}$ ${\$이(가) $A{\displaystyle }$ ${\displaystystyle A}$의 고유값이라고 가정하자$.$1−ω λ j<>이 오류 0{0\displaystyle}에;1{1-\omega \lambda_{j\displaystyle}<1}모든 eigenvalues을 j{\displaystyle \lambda_{j}λ}. 만약, 예를 들어, 모든 eigenvalues에 긍정적이다 만약 ω{\displaystyle \omega}가 0<>ω<>ω 최대 선택 이 보장될 수 있는 한 점인. 엄마ωX:=2/λ max(A){0<, \omega<>\omega_{\text{맥스\displaystyle}}\,,\ \omega _{\text{맥스}}:=2/\lambda _{\text{맥스}}(A)}. 그 최적의 선택, 최소화하면서 모두 1−ω λ j{1-\omega \lambda_{j\displaystyle}},ω 선택하세요:=2/(λ분()+λ 최대(A)){\displaystyle \omega_{\text{opt}}:=2./(\lam$bda _{\text{min}}(A)+\lambda _{\text{max}}(A$ 가장 간단한 체비셰프 반복을 제공한다.이 최적의 선택은 다음의 스펙트럼 반경을 산출한다.

${\displaystyle \min _{\omega \in (0,\omega _{\text{max})}}\rho (I-\omega _{\text{opt}A)=1-{{\frac {2}{\kappa (A)+1}\}\}\}\}}}\}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $\kappa {\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \kappa (A)}$은 조건 번호다.

양의 고유값과 음의 고유값이 모두 있는 경우, 초기 $오류{\displaystyle {}^{}}$ e${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle 0^{}}$ ) ${\$ e$^{(0)}}$이(가) 해당 고유 벡터에 0이 아닌 성분이 있는$$ 경우$$ 이 방법은 임의의 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega$}에 대해 분산된다.

구배 강하와 동등함

Consider minimizing the function ${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}\ {\tilde {A}}x-{\tilde {b}}\ _{2}^{2}}$. Since this is a convex function, a sufficient condition for optimality is that the gradient is zero (${\displaystyle \nabla F(x)=0}$) which gives rise to the방정식

${\displaystyle {\tilde{A}^{T}{\tilde{A}x={\tilde{A}^{T}{\tilde {b}.}$

$정의{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$~ ${\displaystyle {}^{}\stackrel{}{}}$ A${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$ A$={\tilde{A}^{$$T}{\tilde{A}}$ 및$$ $b{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$~ ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\stackrel{}{}}$~ ${\$ b$={\tilde{A}^{\$tilde}^{$T}{\tilde{b$ A의 형태 때문에 양의 반확정 행렬이므로 음의 고유값이 없다.

구배 강하 단계는

${\displaystyle x^{(k+1)}=x^{(k)}-t\nabla F(x^{(k)}=x^{(k)-t(Ax^{(k)-b)}$

$t{\displaystyle }$ =${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle t=\omega }$을(를) 만들어 Richardson 반복에 해당한다$.$

참고 항목

• 리처드슨 외삽

참조

• Richardson, L.F. (1910). "The approximate arithmetical solution by finite differences of physical problems involving differential equations, with an application to the stresses in a masonry dam". Philosophical Transactions of the Royal Society A. 210: 307–357. doi:10.1098/rsta.1911.0009. JSTOR 90994.
• Lebedev, Vyacheslav Ivanovich (2001) [1994], "Chebyshev iteration method", in Michiel Hazewinkel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, ISBN 1-4020-0609-8, retrieved 2010-05-25