행렬 분해

선형대수의 수학에서 행렬 분해 또는 행렬 인수분해는 행렬의 곱으로 행렬을 인수분해하는 것이다.여러 가지 다른 행렬 분해가 있으며, 각각은 특정 종류의 문제들 사이에서 사용됩니다.

예

수치 분석에서는 효율적인 매트릭스 알고리즘을 구현하기 위해 서로 다른 분해가 사용됩니다.

예를 들어, $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ A x $=$ $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ {\ $displaystyle$ A $\mathbf {x}$ =\ $mathbf {b}$ 의 계통을 풀 때 행렬 A는 LU 분해를 통해 분해될 수 있다.LU 분해는 행렬을 하위 삼각 행렬 L과 상위 삼각 행렬 U로 인수 분해합니다.시스템 $L(U\mathbf {x} )=\mathbf {b}$ $L(U\mathbf {x} )=\mathbf {b}$ x ) $=$ $(\$ L $(U\mathbf {x})=\mathbf {b} }$ 및 $L(U\mathbf {x} )=\mathbf {b}$ $U\mathbf {x} =L^{-1}\mathbf {b}$ $U\mathbf {x} =L^{-1}\mathbf {b}$ $U\mathbf {x} =L^{-1}\mathbf {b}$ $U\mathbf {x} =L^{-1}\mathbf {b}$ - 1 $U\mathbf {x} =L^{-1}\mathbf {b}$ b(\ $displaystyle$ U $\mathbf {x}$ $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ $L^{-1}\mathbf {b})$ 는 $U\mathbf {x} =L^{-1}\mathbf {b}$ 원래 $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ 에 비해 더 적은 추가 및 곱셈이 필요합니다.부동소수점 등 부정확한 산술에서 더 많은 자릿수를 사용할 수 있습니다.

마찬가지로 QR 분해는 A를 QR로 표현하고 Q는 직교 행렬, R은 상부 삼각 행렬로 표현합니다.시스템 Q(Rx) = b는 Rx = Qb^T = c로 해결되며, 시스템 Rx = c는 '백 치환'으로 해결된다.필요한 덧셈 및 곱셈 수는 LU 솔버를 사용하는 것보다 약 2배이지만 QR 분해가 수치적으로 안정적이기 때문에 부정확한 산술에서는 더 이상의 숫자가 필요하지 않습니다.

선형 방정식 해법과 관련된 분해

LU 분해

전통적으로 정사각형 행렬 A에 적용 가능하지만 직사각형 행렬을 적용할 ^[1]^{[nb 1]}수 있습니다.
분해: $A=LU$ $LU$ 여기서 L은 삼각 하한이고 U는 삼각 상한입니다.
관련: LDU $A=LDU$ 는 A $A=LDU$ $A=LDU$ $A=LDU$ (\ $displaystyle A=$ LDU $A=LDU$ 입니다.여기서 L은 대각선상에 있는 것과 삼각하위, U는 대각선상에 있는 것과 삼각상위, D는 대각선행렬입니다.
관련: LUP 분해는 A $A=LUP$ $A=LUP$ $A=LUP$ (\ $displaystyle$ A $=DISP$ 이며, L은 아래쪽 삼각형, U는 위쪽 삼각형, P는 치환 매트릭스이다.
존재: 모든 정사각형 행렬 A에 대해 LUP 분해가 존재합니다.P가 아이덴티티 매트릭스일 경우 LU 분해는 LU 분해로 감소합니다.LU 분해가 존재할 경우 LDU 분해가 존재합니다.^[2]
코멘트:LU 및 LU 분해는 선형 $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ x $=$ {\ $displaystyle$ A $\mathbf {x}$ =\ $mathbf {b}$ $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ 의 n-by-n 시스템을 푸는 데 유용합니다. 이러한 분해는 가우스 제거 과정을 행렬 형식으로 요약합니다.행렬 P는 가우스 제거 과정에서 수행된 모든 행 교환을 나타냅니다.가우스 제거를 통해 행 교환 없이 행 에켈론 형식이 생성되면 P = I이므로 LU 분해가 존재합니다.

LU 삭감

블록 LU 분해

순위 인수분해

적용 대상: 순위 r의 m-by-n 매트릭스 A
분해: $A=CF$ $A=CF$ $A=CF$ F { $displaystyle$ A $=CF}$ 여기서 $A=CF$ C는 m-by-r 열 순위 행렬이고 F는 r-by-n 열 순위 행렬입니다.
코멘트:순위 인수분해를 사용하여 ^[3]A의 무어-펜로즈 유사 역수를 계산할 수 있으며, 이를 적용하여 선형 $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ x $=$ {\ $style$ A $\mathbf {x}$ =\ $mathbf {$ b $}$ 의 모든 해를 구할 수 있다.

콜레스키 분해

적용 대상: 제곱, 은둔, 양의 유한 행렬 A
분해: $A=U^{*}U$ $A=U^{*}U$ $A=U^{*}U$ $A=U^{*}U$ {\ $displaystyle$ A $=U^{*}U$ $U$ 서U {\ $displaystyle$ U $}$ 는 $U$ 실제 양의 대각 엔트리가 있는 상부 삼각형입니다.
주석: $행렬$ A $({displaystyle$ A $})$ 가 $A$ 에르미트식이고 양의 반정렬인 경우 U $(\$ $displaystyle$ A $=U^{*}U$ )의 $U$ $대각선$ 엔트리가 0인 경우 A $A=U^{*}U$ (\ $displaystyle$ A $=$ U^{*}U $)$ $A=U^{*}U$ 으로 $A=U^{*}U$ 분해됩니다.
고유성: 양의 유한 행렬의 경우 콜레스키 분해는 고유합니다.그러나 이는 양의 반확정 사례에서만 해당되는 것은 아닙니다.
코멘트: A가 실재하고 대칭인 경우 U $(\displaystyle$ U $)$ 는 $U$ 모든 실재 요소를 가지고 있습니다.
코멘트:대안으로 LDL 분해가 있는데, 이는 제곱근 추출을 피할 수 있다.

QR 분해

적용 대상: 선형 독립 열을 가진 m-by-n 행렬 A
분해: $A=QR$ $=$ $A=QR$ ( $여기서$ Q { $displaystyle$ $Q$ $}$ 는 $A=QR$ $Q$ m-by-m 크기의 단일 매트릭스, $R$ ${\displaystyle$ R $}$ 은 $R$ m-by-n 크기의 상위 삼각 매트릭스)
고유성:일반적으로는 고유하지 않지만 A $(\displaystyle$ A)가 $A$ 풀랭크일 $경우$ 모든 양의 대각선 요소를 가진 $단일$ R $(\displaystyle$ R $)$ 이 $R$ 존재합니다.A $(디스플레이$ 스타일 A $)$ 가 $A$ 정사각형인 $경우$ Q $(디스플레이 스타일$ Q $)$ 도 $Q$ 고유합니다.
코멘트:QR 분해는 $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ x $=$ {\ $displaystyle$ A $\mathbf {x}$ =\ $mathbf {b$ $}$ 의 시스템을 푸는 효과적인 방법을 제공합니다. Q $(\displaystyle$ Q})가 $Q$ 직교한다는 $Q^{\mathrm {T} }Q=I$ 은 $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ $Q^{\mathrm {T} }Q=I$ Q $=$ I(\ $displaystyle$ Q $^{\mathrm {T}) A$ $R\mathbf {x} =Q^{\mathsf {T}}\mathbf {b}$ 는 $R\mathbf {x} =Q^{\mathsf {T}}\mathbf {b}$ x $R\mathbf {x} =Q^{\mathsf {T}}\mathbf {b}$ $Q$ T $R\mathbf {x} =Q^{\mathsf {T}}\mathbf {b}$ b {\ $displaystyle$ R $\mathbf {x} =Q^{\$ mathsf { $T}}\mathbf {b$ 에 해당하며 $,$ 이는 R {\ $displaystyle$ R $}$ 이 $R$ 삼각형이기 $R$ 에 매우 쉽다.

RRQR 인수분해

보간 분해

고유값 및 관련 개념에 따른 분해

아이젠데콤포지션

스펙트럼 분해라고도 합니다.
적용 대상: 선형 독립 고유 벡터가 있는 정사각형 행렬 A(고유값이 반드시 구별될 필요는 없음).
분해: $A=VDV^{-1}$ $A=VDV^{-1}$ $A=VDV^{-1}$ D $A=VDV^{-1}$ - $A=VDV^{-1}$ (\ $displaystyle$ A $=VDV^{-1$ 단, D는 A의 고유값으로 이루어진 대각행렬이며, V의 열은 A의 대응하는 고유벡터이다.
존재:n-by-n 행렬 A에는 항상 n개의 (복소수) 고유값이 있습니다. 이 고유값은 (복소수 이상의 방법으로) N개의 대각 행렬 D와 고유값 $AV=VD$ $AV=VD$ $AV=VD$ $AV=VD$ $AV=VD$ {\ $display$ $style AV=$ VD $AV=VD$ . V {\display $style$ V $}$ 를 $V$ 충족하는 0이 아닌 열 V의 해당 행렬을 형성하도록 명령할 수 있습니다 $.$ rly 독립(즉, 각 고유값은 대수적 다수와 동일한 기하학적 다수를 가진다).이것이 일어나기에 충분한(필요하지는 않지만) 조건은 모든 고유값이 다르다는 것이다(이 경우 기하학적 및 대수적 다수는 1과 동일함).
코멘트:고유 벡터는 항상 길이 1을 가지도록 정규화할 수 있습니다(고유값 방정식의 정의 참조).
코멘트: 모든 정규행렬 A( $AA^{*}=A^{*}A$ $AA^{*}=A^{*}A$ A $AA^{*}=A^{*}A$ $AA^{*}=A^{*}A$ $AA^{*}=A^{*}A$ A $AA^{*}=A^{*}A$ A $AA^{*}=A^{*}A$ a A a A a A { A { A { { * } $A$ $A^{*}$ $AA^{*}=A^{*}A$ （ $A^{*}$ $∗$ \ $display style$ A $A^{*}$ ^ { * } ） ig A ） $A^{*}$ 정규행렬 A(및 정규행렬에만 해당)의 경우 고유벡터( $VV^{*}=I$ V $VV^{*}=I$ ∗ $=$ (\ $displaystyle$ $VV$ ^{*}= $I$ 를 직교 정규행렬로 만들 수 있으며, 특히 모든 단위에서 eigendecomposition은 A $A=VDV^{*}$ $A=VDV^{*}$ $A=VDV^{*}$ $A=VDV^{*}$ V ∗ VDV = $VDV^{*}$ 로 읽힌다 $A=VDV^{*}$ kew-matrix는 각각 정규 행렬이므로 이 특성을 가집니다.
코멘트:임의의 실대칭행렬 A에 대하여, eigendecomposition은 항상 존재하며 A $A=VDV^{\mathsf {T}}$ $A=VDV^{\mathsf {T}}$ D $A=VDV^{\mathsf {T}}$ {\ $display$ A = $VDV^{\mathsf$ {T $A=VDV^{\mathsf {T}}$ 라고 쓸 수 있다. 여기서 D와 V는 모두 실값이다.
코멘트:eigendecomposition은 선형 상미분 방정식 또는 선형 차분 방정식의 시스템의 해법을 이해하는 데 유용합니다.예를 들어, 차분 $x_{t+1}=Ax_{t}$ x $x_{t+1}=Ax_{t}$ t + $x_{t+1}=Ax_{t}$ $x_{t+1}=Ax_{t}$ $x_{t+1}=Ax_{t}$ x $x_{t+1}=Ax_{t}$ { $display style$ x _ { $t$ + 1 } $=$ $Ax_{t}$ 는 $x_{{t+1}}=Ax_{t}$ 초기 $x_{0}=c$ $x_{0}=c$ 0 $=$ {\ $displaystyle x_{0$ }= $c}$ 부터 $x_{0}=c$ x t $x_{t}=A^{t}c$ $x_{t}=A^{t}c$ $x_{t}=A^{t}c$ c {\ $displaystyle x_{t$ } $=$ $A^{t}c$ $x_{t}=VD^{t}V^{-1}c$ t $x_{t}=VD^{t}V^{-1}c$ $x_{t}=VD^{t}V^{-1}c$ $x_{t}=VD^{t}V^{-1}c$ $x_{t}=VD^{t}V^{-1}c$ V - $x_{t}=VD^{t}V^{-1}c$ { $display$ style $x$ _ { t } $=$ $x_{t}=VD^{t}V^{-1}c$ ) $VD^{t}V^{-1}c$ 여기서 V와 D는 A의 고유 벡터와 고유값으로 형성된 행렬이다.D는 대각선이기 때문에 D $(\$ D $^{t$ 의 거듭제곱으로 올리면 대각선상의 각 요소를 거듭제곱 t로 올리면 됩니다.A는 보통 대각선이 아니기 때문에 A를 t승으로 하는 것보다 훨씬 쉽게 이해하고 실행할 수 있습니다.

조던 분해

조던 정규형과 조던-체발리 분해

적용 대상: 정사각형 매트릭스 A
코멘트: 조던 정규형은 반복적인 고유값이 있어 대각화할 수 없는 경우로 eigendecomposition을 일반화하며, 조던-체발리 분해는 베이스를 선택하지 않고 이를 수행합니다.

슈어 분해

적용 대상: 정사각형 매트릭스 A
분해(복잡한 버전): $∗$ $UTU^{*}$ (U는 단일행렬, $U^{*}$ ${\$ {\ $displaystyle$ U $^{*})$ 는 $U^{*}$ U의 켤레 전치, T는 복소수르형이라고 불리는 상부 삼각행렬로 대각선을 따라 A의 고유값을 가진다.
주석: A가 정규 매트릭스일 경우 T는 대각선이며 Schur 분해는 스펙트럼 분해와 일치합니다.

실슈르 분해

적용 대상: 정사각형 매트릭스 A
분해:이것은V {\ $displaystyle$ V $}$ 와S {\ $displaystyle$ S $}$ 가 $S$ 실수만 포함하는 $Schur$ 분해 버전입니다.A $A=VSV^{\mathsf {T}}$ $A=VSV^{\mathsf {T}}$ $A=VSV^{\mathsf {T}}$ $A=VSV^{\mathsf {T}}$ T $A=VSV^{\mathsf {T}}$ ({ $displaystyle$ A = $VSV$ $V^{\mathsf {T}}$ ^{\ $mathsf$ {T $A=VSV^{\mathsf {T}}$ }}})라고 $A=VSV^{\mathsf {T}}$ 수 있다. 여기서 V는 실직교 행렬, $V^{\mathsf {T}}$ 의 전치 행렬, V T(\ $displaystyle$ V $^{\$ mathsf { $T}})$ 는 $V^{\mathsf {T}}$ 실형이라고 한다.S의 대각선에 있는 블록은 크기 1×1(이 경우 실제 고유값을 나타냄) 또는 2×2(이 경우 복합 켤레 고유값 쌍에서 파생됨)입니다.

QZ 분해

일반화된 Schur 분해라고도 합니다.
적용 대상: 정사각형 행렬 A 및 B
코멘트: 이 분해에는 복잡한 버전과 실제 버전의 두 가지 버전이 있습니다.
분해(복잡한 버전): $A=QSZ^{*}$ $A=QSZ^{*}$ $A=QSZ^{*}$ S $A=QSZ^{*}$ $∗$ { $displaystyle$ A = $QSZ$ ^ { * } 、 $B=QTZ^{*}$ $B=QTZ^{*}$ $B=QTZ^{*}$ $B=QTZ^{*}$ Z $∗$ { $displaystyle$ B = $Q$ $TZ^{*}:$ 여기서 $B=QTZ^*$ Q와 Z는 단일 행렬이고 * 윗첨자는 켤레 전치 행렬을 나타내며 S와 T는 상위 삼각 행렬입니다.
주석: 복소 QZ 분해에서 S의 대각 원소와 T의 대응 대각 원소의 비율, $\lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}$ i $\lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}$ $\lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}$ / $\lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}$ \ $displaystyle$ \ $displayda$ _ { i } $=$ $S_{ii}/T_{ii$ 는 일반화 고유치 $A\mathbf {v} =\lambda B\mathbf {v}$ $A\mathbf {v} =\lambda B\mathbf {v}$ $A\mathbf {v} =\lambda B\mathbf {v}$ $A\mathbf {v} =\lambda B\mathbf {v}$ ${\$ $A\mathbf {v} =\lambda B\mathbf {v}$ v \ $displaystyle$ A \ $mathbf { v$ } $=$ \ $displaystyle$ B \ $mathbf { v }$ ( $\lambda$ 서 $style$ \ displaystyle \ scalara $}$ 는 $\lambda$ 미지의 스칼라이고 v는 미지의 벡터이다.)를 해결하는 일반화 고유치이다.
분해(실제 버전): $A=QSZ^{\mathsf {T}}$ $A=QSZ^{\mathsf {T}}$ $A=QSZ^{\mathsf {T}}$ $A=QSZ^{\mathsf {T}}$ $A=QSZ^{\mathsf {T}}$ T {\ $displaystyle$ A $=QSZ^{\mathsf {T}}}$ $B=QTZ^{\mathsf {T}}$ B $B=QTZ^{\mathsf {T}}$ $B=QTZ^{\mathsf {T}}$ $B=QTZ^{\mathsf {T}}$ $B=QTZ^{\mathsf {T}}$ T {\ $displaystyle$ B $=Q$ $TZ^{\mathsf {T}}.$ 여기서 $B=QTZ^{\mathsf {T}}$ A, B, Q, Z, S 및 T는 실수만을 포함하는 행렬이다.이 경우 Q와 Z는 직교 행렬이고 T 윗첨자는 전이를 나타내며 S와 T는 블록 상부 삼각 행렬입니다.S와 T의 대각선 블록은 1×1 또는 2×2 사이즈입니다.

다카기 인수분해

적용 대상: 정사각형, 복소수, 대칭 행렬 A.
분해: $A=VDV^{\mathsf {T}}$ $A=VDV^{\mathsf {T}}$ $A=VDV^{\mathsf {T}}$ $A=VDV^{\mathsf {T}}$ $A=VDV^{\mathsf {T}}$ T $A=VDV^{\mathsf {T}}$ {\ $displaystyle$ A $=VDV^{\mathsf {T$ 여기서 D는 실제 비음수 대각 행렬이고 V는 유니터리이다. $V^{\mathsf {T}}$ T $(\$ V $^{\mathsf {T}})$ 는 $V^{\mathsf {T}}$ V의 행렬 전치이다.
코멘트:D의 대각 원소는 $AA^{*}=VD^{2}V^{*}$ $AA^{*}=VD^{2}V^{*}$ $AA^{*}=VD^{2}V^{*}$ $AA^{*}=VD^{2}V^{*}$ $AA^{*}=VD^{2}V^{*}$ $AA^{*}=VD^{2}V^{*}$ V ${\$ {\ { $display AA$ ^ { * } = $VD$ ^ {2 $} V ^$ { * $AA^{*}=VD^{2}V^{*}$ } $AA^{*}=VD^{2}V^{*}$ values values values values values negative negative square square square square square square square square square square square square square square square square square square square square square square square square square
설명: A이(가) 실제인 경우에도 V은 복잡할 수 있습니다.
코멘트:이는 V $(\$ V $^{\mathsf {T$ $V^{\mathsf {T}}$ $V^{-1}$ V - $(\$ V $^{-1})$ 을 $V^{{-1}}$ $V^{-1}$ 하는 eigendecomposition(위 참조)의 특수한 경우가 아닙니다.또, A가 실재하지 않는 경우, Hermitian이 아니고, V $∗$ {\ $displaystyle$ V $^}$ 을 $V^{*}$ $V^{*}$ 하는 형식도 적용되지 않습니다.

특이값 분해

적용 대상: m-by-n 매트릭스 A.
분해: $∗$ 여기서 D는 $A=UDV^{*}$ 음이 아닌 $A=UDV^{*}$ 대각 행렬이며, U와 V는 U , U $U^{*}U=I,V^{*}V=I$ 、 V $v$ $U^{*}U=I,V^{*}V=I$ $=$ I （ \ $display$ $style$ U ^ { * } U $U^{*}U=I,V^{*}V=I$ = $U^{*}U=I,V^{*}V=I$ I 、 $V$ ^ { * } V $=$ I $U^{*}U=I,V^{*}V=I$ $v$ V ） 단, V $∗$ V ose V $V^{*}$ ∗ V i I ∗ $U^{*}U=I,V^{*}V=I$ ∗ V i $V^{*}$ i ∗ ate ate ate ate ate ate ate ate ate ate ate ate ate ate ate ate ate ate ate ate ate ate ate ate ate ate
코멘트:D의 대각 원소를 A의 특이치라고 한다.
코멘트: 위의 eigendecomposition과 같이, 특이치 분해는 행렬 곱셈이 스칼라 곱셈과 동등한 기본 방향을 찾는 것을 수반하지만, 고려 중인 행렬이 제곱일 필요는 없기 때문에 더 큰 일반성을 가진다.
고유성: A $(\displaystyle$ A $)$ 의 $A$ 특이값은 항상 고유하게 결정됩니다. $\displaystyle$ U $\$ 와 $U$ V $\displaystyle$ V는 $V$ 일반적으로 고유할 필요가 없습니다.

축척 불변 분해

대각 스케일링과 관련하여 불변한 기존 행렬 분해의 변형(SVD 등)을 말합니다.

적용 대상: m-by-n 매트릭스 A.
단위 척도-불변 특이값 분해: $A=DUSV^{*}E$ $A=DUSV^{*}E$ $A=DUSV^{*}E$ $A=DUSV^{*}E$ S $A=DUSV^{*}E$ E {\ $displaystyle$ A $=CJV^{*}E$ (여기서 S는 스케일 일치 단수값의 고유한 음이 아닌 대각행렬, U와 V는 $V^{*}$ , V $V^{*}$ {\ $displaystyle$ V^{*}})는 $V^{*}$ V와 양의 대각행렬 D의 켤레 전치이다.
코멘트:단, S의 대각 요소가 A의 왼쪽 및/또는 오른쪽의 대각 행렬에 의한 A의 왼쪽 및/또는 오른쪽의 곱셈에 대해 불변하다는 점을 제외하고 SVD와 유사하다.
코멘트:A의 단일 변환보다는 대각선 변환에 관해 불변성이 요구되는 경우 표준 SVD의 대안이다.
고유성: $($ S의 대각 요소에 의해 주어진 $)$ A의 $스케일$ 불변 단수 값은 항상 고유하게 결정됩니다.대각행렬 D와 E, 유니터리 U와 V는 일반적으로 고유할 필요는 없다.
코멘트: U행렬과 V행렬은 SVD행렬과 동일하지 않습니다.

유사한 스케일 불변 분해는 스케일 불변 고유값을 ^[4]^[5]얻기 위해 다른 매트릭스 분해로부터 도출될 수 있다.

기타 분해

극성 분해

적용 대상: 임의의 정사각형 복소 행렬 A.
분해: $A=UP$ $A=UP$ $A=UP$ P $A=UP$ { $displaystyle$ A $=UP}$ $A=UP$ (우측 극분해) $A=P'U$ A $A=P'U$ $A=P'U$ U { $displaystyle$ A $=P'U$ } $A=P'U$ (좌측 극분해) (U는 단위행렬, P와 P'는 양의 반정의 에르미트행렬)
$고유성$ : $P는$ 항상 고유하며 A $a$ A ${\sqrt {A^{*}A}}$ a A a { \ $sqrt$ { A ${\sqrt {A^{*}A}}$ ^ { * $}$ （ ${\sqrt {A^{*}A}}$ 항상 은둔적이고 양의 반확정)와 ${\sqrt {A^{*}A}}$ . $A\displaystyle$ A가 $A$ 반전가능한 $경우 U\$ displaystyle U는 $U$ $U$ 합니다.
코멘트: 에르미트 행렬은 모두 단일 행렬의 스펙트럼 분해를 허용하므로 P $(\$ $displaystyle$ P)는 $P$ P $P=VDV^{*}$ $P=VDV^{*}$ $P=VDV^{*}$ ${\$ {*}로 $P=VDV^{*}$ 할 수 있습니다.P $(\displaystyle$ P $=$ $VDV$ 는 $P$ 양수이므로 D(\ $displaystyle$ D $)$ 의 $D$ 모든 원소는 음수가 아닙니다.두 개의 유니터리 행렬의 곱은 단일 행렬이므로 W $W=UV$ $W=UV$ (\ $displaystyle$ W $=UV$ )를 $W=UV$ $A=U(VDV^{*})=WDV^{*}$ $A=U(VDV^{*})=WDV^{*}$ $A=U(VDV^{*})=WDV^{*}$ U ( $A=U(VDV^{*})=WDV^{*}$ D V $A=U(VDV^{*})=WDV^{*}$ ) $A=U(VDV^{*})=WDV^{*}$ $A=U(VDV^{*})=WDV^{*}$ D V ${\$ \ $displaystyle$ A $= U$ ( $VDV$ ^ {*} $=$ $WDV^{*}:$ 특이값 $A=U(VDV^{*})=WDV^{*}$ 분해입니다.따라서 극성 분해의 존재는 특이치 분해의 존재와 동등하다.

대수 극분해

적용 대상: 정사각형, 복소수, 비단수 행렬 A.^[6]
분해: $A=QS$ $A=QS$ $A=QS$ S $A=QS$ { $displaystyle$ A $=QS$ 여기서 Q는 복소 직교 행렬이고 S는 복소 대칭 행렬입니다.
고유성: $A^{\mathsf {T}}A$ T $(\style$ A $^{\mathsf {T}}A})$ 에 $A^{\mathsf {T}}A$ 음의 실제 고유값이 없는 $A^{\mathsf {T}}A$ 분해는 ^[7]고유합니다.
코멘트:이 분해의 존재는 A $AA^{\mathsf {T}}$ T $($ $A^{\mathsf {T}}A$ 스타일 $AA^{\mathsf {T}})$ 가 $AA^{\mathsf {T}}$ A $A^{\mathsf {T}}A$ A $(표시 스타일$ A $^{\mathsf {T}A$ ^[8]와 같은 것과 $AA^{\mathsf {T}}$ .
주석: 이 분해의 변형은 A $=$ $A=RC$ $(R$ 은 실행렬, C는 원형행렬 $A=RC$ ^[7]입니다.

모스토우 분해

적용 대상: 정사각형, 복소수, 비단수 행렬 A.^[9]^[10]
분해: $A=Ue^{iM}e^{S}$ $A=Ue^{iM}e^{S}$ $A=Ue^{iM}e^{S}$ $A=Ue^{iM}e^{S}$ i $A=Ue^{iM}e^{S}$ $A=Ue^{iM}e^{S}$ { $displaystyle$ A = $Ue^$ { $iM$ } $e^$ { $S$ (U는 유니터리, M은 리얼 안티스트라이닝, S는 리얼 대칭)
코멘트:행렬 A는 A $A=U_{2}e^{S_{2}}e^{iM_{2}}$ $A=U_{2}e^{S_{2}}e^{iM_{2}}$ $A=U_{2}e^{S_{2}}e^{iM_{2}}$ $A=U_{2}e^{S_{2}}e^{iM_{2}}$ $A=U_{2}e^{S_{2}}e^{iM_{2}}$ 2 $A=U_{2}e^{S_{2}}e^{iM_{2}}$ $A=U_{2}e^{S_{2}}e^{iM_{2}}$ M $A=U_{2}e^{S_{2}}e^{iM_{2}}$ $({$ A $=U_{2}$ e $^{S_{2}}$ e $^{iM_{2$ 로 분해할 수도 있다.여기서₂ U는₂ 유니터리이고 M은 실제 안티바이러스이고 S는₂ 실제 ^[7]대칭이다.

싱크혼 정규형

적용 대상: 엄밀하게 양의 요소를 갖는 정사각형 실행렬 A.
분해: $(\$ $SD_{2$ 여기서 S는 이중 확률이고 D와₁₂ D는 엄밀하게 양의 요소를 가진 실제 대각 행렬이다.

부문별 분해

적용 대상: $S_{\alpha }=\left\{re^{i\theta }\in \mathbb {C} \mid r>0,|\theta |\leq \alpha <{\frac {\pi }{2}}\right\}$ $S_{\alpha }=\left\{re^{i\theta }\in \mathbb {C} \mid r>0,|\theta |\leq \alpha <{\frac {\pi }{2}}\right\}$ α $=$ { $S_{\alpha }=\left\{re^{i\theta }\in \mathbb {C} \mid r>0,|\theta |\leq \alpha <{\frac {\pi }{2}}\right\}$ $S_{\alpha }=\left\{re^{i\theta }\in \mathbb {C} \mid r>0,|\theta |\leq \alpha <{\frac {\pi }{2}}\right\}$ i $S_{\alpha }=\left\{re^{i\theta }\in \mathbb {C} \mid r>0,|\theta |\leq \alpha <{\frac {\pi }{2}}\right\}$ C $S_{\alpha }=\left\{re^{i\theta }\in \mathbb {C} \mid r>0,|\theta |\leq \alpha <{\frac {\pi }{2}}\right\}$ $S_{\alpha }=\left\{re^{i\theta }\in \mathbb {C} \mid r>0,|\theta |\leq \alpha <{\frac {\pi }{2}}\right\}$ > $S_{\alpha }=\left\{re^{i\theta }\in \mathbb {C} \mid r>0,|\theta |\leq \alpha <{\frac {\pi }{2}}\right\}$ , $S_{\alpha }=\left\{re^{i\theta }\in \mathbb {C} \mid r>0,|\theta |\leq \alpha <{\frac {\pi }{2}}\right\}$ C < $S_{\alpha }=\left\{re^{i\theta }\in \mathbb {C} \mid r>0,|\theta |\leq \alpha <{\frac {\pi }{2}}\right\}$ 2 $}$ { $displaystyle S_{\alpha$ } =\ $left\{re^{i\theta$ }\ $in \mathbb {C}$ \ $mid r0 >$ \alphaq \ $le$ 에 포함되는 수치범위의 제곱 복소행렬 A
분해: $A=CZC^{*}$ $=$ $A=CZC^{*}$ $A=CZC^{*}$ C $∗$ { \ $displaystyle$ A = $CZC$ ^ { * $A=CZC^{*}$ } 。여기서 C는 $Z=\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)$ 복소 $Z=\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)$ 이고 Z $Z=\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)$ $Z=\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)$ ( ( e $Z=\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)$ $Z=\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)$ 1, $Z=\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)$ … $Z=\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)$ , $Z=\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)$ n ) { $displaystyle$ Z = \ $operatorname$ { $diag$ } \ $left$ ( e ^ { i\ $ta$ _ 1 \ ta { $1$ } ) } } } ) 、

윌리엄슨의 정상형

적용 대상: 2n×2n 차수의 정사각형 정의 실행렬 A.
분해: $A=S^{\mathsf {T}}\operatorname {diag} (D,D)S$ $A=S^{\mathsf {T}}\operatorname {diag} (D,D)S$ $A=S^{\mathsf {T}}\operatorname {diag} (D,D)S$ T $A=S^{\mathsf {T}}\operatorname {diag} (D,D)S$ $A=S^{\mathsf {T}}\operatorname {diag} (D,D)S$ ( D , $A=S^{\mathsf {T}}\operatorname {diag} (D,D)S$ ) $A=S^{\mathsf {T}}\operatorname {diag} (D,D)S$ { \ $displaystyle$ A = $S$ ^ { \ $mathsf$ { T } } \ $operatorname$ { $diag$ ( $A=S^{\mathsf {T}}\operatorname {diag} (D,D)S$ $S\in {\text{Sp}}(2n)$ $A=S^{\mathsf {T}}\operatorname {diag} (D,D)S$ , D ) $S\in {\text{Sp}}(2n)$ 2 $S\in {\text{Sp}}(2n)$ ) \ $displaystyle$ S \ $in$ \ text { $Sp }$ ( n )는 $S\in {\text{Sp}}(2n)$ 심플렉틱 매트릭스 행렬입니다.

행렬 제곱근

분해: $A=BB$ $A=BB$ $A=BB$ B { $style$ A $=BB$ 일반적으로 고유하지 않습니다.
양의 $A$ 의 A $({displaystyle$ A $A$ 의 경우, A $A=B^{*}B=BB$ B $A=B^{*}B=BB$ $A=B^{*}B=BB$ $=$ $A=B^{*}B=BB$ B({ $displaystyle$ A = $B^{*}B=$ BB $A=B^{*}B=BB$ 와 같은 고유한 양의 $B$ 의B({ $displaystyle$ B $})$ 가 $B$ 있습니다.

일반화

준행렬과 cmatrice 또는 ^[14]연속행렬에 대한 SVD, QR, LU 및 콜레스키 인수분할의 유사점이 존재한다.'quasimatrix'는 행렬과 같이 요소가 색인화된 직사각형 체계이지만 하나의 이산 인덱스는 연속 인덱스로 대체됩니다.마찬가지로, 'cmatrix'는 두 지수 모두에서 연속적입니다.cmatrix의 예로는 적분 연산자의 커널을 생각할 수 있습니다.

이러한 인수분해는 프레드홀름(1903), 힐버트(1904) 및 슈미트(1907)의 초기 연구에 기초한다.계정 및 주요 논문의 영문 번역에 대해서는 Stewart(2011)를 참조한다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

메모들

^ 그러나 정사각형 행렬이 아닌 행렬을 사용하는 경우 행렬 U도 원래 행렬 A와 같은 직사각형 모양을 갖게 됩니다.따라서 행렬 U를 올바른 용어로 부르는 것은 U가 A의 '열 형태'라고 하는 것이므로 틀릴 수 있습니다.이 외에는 제곱 행렬과 비제곱 행렬에 대한 LU 인수분해에서 차이가 없습니다.

인용문

^ Lay, David C. (2016). Linear algebra and its applications. Steven R. Lay, Judith McDonald (Fifth Global ed.). Harlow. p. 142. ISBN 1-292-09223-8. OCLC 920463015.
^ Simon & Blume 1994 Chapter 7.
^ Piziak, R.; Odell, P. L. (1 June 1999). "Full Rank Factorization of Matrices". Mathematics Magazine. 72 (3): 193. doi:10.2307/2690882. JSTOR 2690882.
^ Uhlmann, J.K. (2018), "A Generalized Matrix Inverse that is Consistent with Respect to Diagonal Transformations", SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 239 (2): 781–800, doi:10.1137/17M113890X
^ Uhlmann, J.K. (2018), "A Rank-Preserving Generalized Matrix Inverse for Consistency with Respect to Similarity", IEEE Control Systems Letters, arXiv:1804.07334, doi:10.1109/LCSYS.2018.2854240, ISSN 2475-1456
^ Choudhury & Horn 1987, 219–225페이지
^ ^a ^b ^c Bhatia, Rajendra (2013-11-15). "The bipolar decomposition". Linear Algebra and Its Applications. 439 (10): 3031–3037. doi:10.1016/j.laa.2013.09.006.
^ Horn & Merino 1995, 43–92페이지
^ Mostow, G. D. (1955), Some new decomposition theorems for semi-simple groups, Mem. Amer. Math. Soc., vol. 14, American Mathematical Society, pp. 31–54
^ Nielsen, Frank; Bhatia, Rajendra (2012). Matrix Information Geometry. Springer. p. 224. arXiv:1007.4402. doi:10.1007/978-3-642-30232-9. ISBN 9783642302329.
^ Zhang, Fuzhen (30 June 2014). "A matrix decomposition and its applications" (PDF). Linear and Multilinear Algebra. 63 (10): 2033–2042. doi:10.1080/03081087.2014.933219.
^ Drury, S.W. (November 2013). "Fischer determinantal inequalities and Highamʼs Conjecture". Linear Algebra and Its Applications. 439 (10): 3129–3133. doi:10.1016/j.laa.2013.08.031.
^ Idel, Martin; Soto Gaona, Sebastián; Wolf, Michael M. (2017-07-15). "Perturbation bounds for Williamson's symplectic normal form". Linear Algebra and Its Applications. 525: 45–58. arXiv:1609.01338. doi:10.1016/j.laa.2017.03.013.
^ 타운센드 & 트레페텐 2015

참고 문헌

Choudhury, Dipa; Horn, Roger A. (April 1987). "A Complex Orthogonal-Symmetric Analog of the Polar Decomposition". SIAM Journal on Algebraic and Discrete Methods. 8 (2): 219–225. doi:10.1137/0608019.
Fredholm, I. (1903), "Sur une classe d'´equations fonctionnelles", Acta Mathematica (in French), 27: 365–390, doi:10.1007/bf02421317
Hilbert, D. (1904), "Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen", Nachr. Königl. Ges. Gött (in German), 1904: 49–91
Horn, Roger A.; Merino, Dennis I. (January 1995). "Contragredient equivalence: A canonical form and some applications". Linear Algebra and Its Applications. 214: 43–92. doi:10.1016/0024-3795(93)00056-6.
Meyer, C. D. (2000), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-454-8
Schmidt, E. (1907), "Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I Teil. Entwicklung willkürlichen Funktionen nach System vorgeschriebener", Mathematische Annalen (in German), 63 (4): 433–476, doi:10.1007/bf01449770
Simon, C.; Blume, L. (1994). Mathematics for Economists. Norton. ISBN 978-0-393-95733-4.
Stewart, G. W. (2011), Fredholm, Hilbert, Schmidt: three fundamental papers on integral equations (PDF), retrieved 2015-01-06
Townsend, A.; Trefethen, L. N. (2015), "Continuous analogues of matrix factorizations", Proc. R. Soc. A, 471 (2173): 20140585, Bibcode:2014RSPSA.47140585T, doi:10.1098/rspa.2014.0585, PMC 4277194, PMID 25568618
Jun, Lu (2021), Numerical matrix decomposition and its modern applications: A rigorous first course, arXiv:2107.02579, retrieved 2021-11-17

외부 링크

온라인 매트릭스 계산기
울프램 알파 매트릭스 분해 연산 and LU 및 QR 분해
스프링거 수학 백과사전 matrix 행렬 인수분해
GraphLab GraphLab 협업 필터링 라이브러리, 멀티코어를 위한 행렬 분해 메서드의 대규모 병렬 구현(C++).

[2] 그러나 정사각형 행렬이 아닌 행렬을 사용하는 경우 행렬 U도 원래 행렬 A와 같은 직사각형 모양을 갖게 됩니다.따라서 행렬 U를 올바른 용어로 부르는 것은 U가 A의 '열 형태'라고 하는 것이므로 틀릴 수 있습니다.이 외에는 제곱 행렬과 비제곱 행렬에 대한 LU 인수분해에서 차이가 없습니다.

[1] Lay, David C. (2016). Linear algebra and its applications. Steven R. Lay, Judith McDonald (Fifth Global ed.). Harlow. p. 142. ISBN 1-292-09223-8. OCLC 920463015.

[3] Simon & Blume 1994 Chapter 7.

[4] Piziak, R.; Odell, P. L. (1 June 1999). "Full Rank Factorization of Matrices". Mathematics Magazine. 72 (3): 193. doi:10.2307/2690882. JSTOR 2690882.

[5] Uhlmann, J.K. (2018), "A Generalized Matrix Inverse that is Consistent with Respect to Diagonal Transformations", SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 239 (2): 781–800, doi:10.1137/17M113890X

[6] Uhlmann, J.K. (2018), "A Rank-Preserving Generalized Matrix Inverse for Consistency with Respect to Similarity", IEEE Control Systems Letters, arXiv:1804.07334, doi:10.1109/LCSYS.2018.2854240, ISSN 2475-1456

[7] Choudhury & Horn 1987, 219–225페이지

[:0-8] Bhatia, Rajendra (2013-11-15). "The bipolar decomposition". Linear Algebra and Its Applications. 439 (10): 3031–3037. doi:10.1016/j.laa.2013.09.006.

[9] Horn & Merino 1995, 43–92페이지

[10] Mostow, G. D. (1955), Some new decomposition theorems for semi-simple groups, Mem. Amer. Math. Soc., vol. 14, American Mathematical Society, pp. 31–54

[11] Nielsen, Frank; Bhatia, Rajendra (2012). Matrix Information Geometry. Springer. p. 224. arXiv:1007.4402. doi:10.1007/978-3-642-30232-9. ISBN 9783642302329.

[Zhang2014-12] Zhang, Fuzhen (30 June 2014). "A matrix decomposition and its applications" (PDF). Linear and Multilinear Algebra. 63 (10): 2033–2042. doi:10.1080/03081087.2014.933219.

[13] Drury, S.W. (November 2013). "Fischer determinantal inequalities and Highamʼs Conjecture". Linear Algebra and Its Applications. 439 (10): 3129–3133. doi:10.1016/j.laa.2013.08.031.

[14] Idel, Martin; Soto Gaona, Sebastián; Wolf, Michael M. (2017-07-15). "Perturbation bounds for Williamson's symplectic normal form". Linear Algebra and Its Applications. 525: 45–58. arXiv:1609.01338. doi:10.1016/j.laa.2017.03.013.

[15] 타운센드 & 트레페텐 2015

[1]

[nb 1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

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v t 선형 대수
기본 개념	스칼라 벡터 벡터 공간 스칼라 곱셈 벡터 투영 선형 스팬 선형 지도 선형 투영 선형 독립성 선형 조합 근거 기준 변경 행 및 열 벡터 행 및 열 공간 커널 고유값 및 고유벡터 전치 선형 방정식
매트릭스	블록 분해 반전 가능 작은 곱셈 순위 변혁 크레이머의 법칙 가우스 소거
쌍선형	직교성 도트 제품 내부 제품 공간 외부 제품 크로네커 곱 그램-슈미트 과정
다선형 대수	행렬식 크로스 프로덕트 트리플 프로덕트 7차원 교차곱 기하학 대수 외부 대수 바이벡터 멀티벡터 텐서 외형성
벡터 공간 구성	듀얼 다이렉트 기능 공간 몫 부분 공간 텐서 곱
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