정확한 삼각값

삼각법
개요 역사 사용. 함수(역) 일반 삼각법
언급
아이덴티티 정확 상수 표 단위원
법칙과 정리
씨네 코사인 접선 코탄젠트 피타고라스 정리
미적분학.
삼각 치환 적분(역함수) 파생상품
v t

수학에서 삼각 함수의 값은 ${\displaystyle cos}$⁡$($π / 4) ≈ 0$.707${\$display \cos$pi / 4)\approx 0.${\displaystyle \mathrm{707}\}}$에서와 같이 대략적으로 표현될 수 있으며${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 정확히}$는 ${\displaystyle cos}$ ⁡(π / $4)$=$$2/$2$ style \cos(\pi / 4) = {\sqrt {2}/2}에서와 같이 표현될 수 있습니다. 삼각형 표는 많은 근사 값을 포함하지만, 특정 각도에 대한 정확한 값은 산술 연산과 제곱근의 조합으로 표현할 수 있습니다. 이렇게 표현할 수 있는 삼각형 값을 갖는 각도는 정확히 나침반과 직선 모서리로 구성할 수 있는 각도이며, 그 값을 구성 가능한 숫자라고 합니다.

공각

15°, 18° 또는 22.5°의 배수인 각도의 삼각함수는 단순한 대수적 값을 갖습니다. 이 값은 0°에서 90°^[1] 사이의 각도에 대해 다음 표에 나열되어 있습니다. $아래$ 표에서$$∞ {\$displaystyle$\infty}는 1:0 비율을 나타냅니다. 또한 이러한 값은 정의되지 않은 것으로 간주될 수 있습니다(0으로 나누는 것 참조).

라디안	도	죄를 짓다	코	황갈색의	간이 침대	초	csc
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0^{\circ }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \infty }$
${\displaystyle {\frac {\pi}{12}}$	${\displaystyle 15^{\circ }$	${\display style {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}{4}}$	${\display style {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}{4}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}$	${\display style {\sqrt {6}-{\sqrt {2}}$	${\display style {\sqrt {6}+{\sqrt {2}}$
${\displaystyle {\frac {\pi}{10}}$	${\displaystyle 18^{\circ }$	${\display style {\frac {{\sqrt {5}-1}{4}}$	${\display style {\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}{4}}$	${\display style {\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}{5}}$	${\display style {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}$	${\display style {\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}{5}}$	${\display style {\sqrt {5}+1}$
${\displaystyle {\frac {\pi}{8}}$	${\displaystyle 22.5^{\circ }$	${\display style {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}{2}}$	${\display style {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}{2}}$	${\display style {\sqrt {2}-1}$	${\display style {\sqrt {2}+1}$	${\display style {\sqrt {4-2}{\sqrt {2}}}$	${\display style {\sqrt {4+2}{\sqrt {2}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi}{6}}$	${\displaystyle 30^{\circ }$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}{2}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}{3}}$	${\display style {\sqrt {3}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}{3}}$	${\displaystyle 2}$
${\displaystyle {\frac {\pi}{5}}$	${\displaystyle 36^{\circ }$	${\display style {\frac {\sqrt {10-2}{\sqrt {5}}}{4}}$	${\display style {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}$	${\display style {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}$	${\display style {\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}{5}}$	${\display style {\sqrt {5}-1}$	${\display style {\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}{5}}$
${\displaystyle {\frac {\pi}{4}}$	${\displaystyle 45^{\circ }$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\display style {\sqrt {2}}$	${\display style {\sqrt {2}}$
${\displaystyle {\frac {3\pi}{10}}$	${\displaystyle 54^{\circ }$	${\display style {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}$	${\display style {\frac {\sqrt {10-2}{\sqrt {5}}}{4}}$	${\display style {\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}{5}}$	${\display style {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}$	${\display style {\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}{5}}$	${\display style {\sqrt {5}-1}$
${\displaystyle {\frac {\pi}{3}}$	${\displaystyle 60^{\circ }$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}$	${\display style {\sqrt {3}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}{3}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}{3}}$
${\displaystyle {\frac {3\pi}{8}}$	${\displaystyle 67.5^{\circ }$	${\display style {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}{2}}$	${\display style {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}{2}}$	${\display style {\sqrt {2}+1}$	${\display style {\sqrt {2}-1}$	${\display style {\sqrt {4+2}{\sqrt {2}}}$	${\display style {\sqrt {4-2}{\sqrt {2}}}$
${\displaystyle {\frac {2\pi}{5}$	${\displaystyle 72^{\circ }$	${\display style {\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}{4}}$	${\display style {\frac {{\sqrt {5}-1}{4}}$	${\display style {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}$	${\display style {\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}{5}}$	${\display style {\sqrt {5}+1}$	${\display style {\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}{5}}$
${\displaystyle {\frac {5\pi}{12}}$	${\displaystyle 75^{\circ }$	${\display style {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}{4}}$	${\display style {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}{4}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}$	${\display style {\sqrt {6}+{\sqrt {2}}$	${\display style {\sqrt {6}-{\sqrt {2}}$
${\displaystyle {\frac {\pi}{2}}$	${\displaystyle 90^{\circ }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 1}$

이 범위를 벗어난 각도의 경우 다음과 같은 반사 및 시프트 ID를 적용하여 삼각값을 찾을 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{alignat}{3}&\sin(2\pi +\theta)&{}=\sin(\pi -\theta)&{}=\sin(\pi +\theta)&{}=\sin(-\theta)&{}=-\sin(\theta),\[5mu]&{}&\cos(2\pi +\theta )&{}=\cos (-\theta )&{}=\cos(\theta),\quad &\cos(\pi +\theta )&{}=\cos(\pi -\theta )&{}=-\cos(\theta).\end{alignat}}$

삼각수

삼각수는 유리수 π 라디안의 사인 또는 코사인으로 표현할 수 있는 수입니다. ${\displaystyle \sin }$ ⁡ (${\displaystyle x}$) =${\displaystyle \cos }$ ⁡ $($x - π$$/ $2$), {\$displaystyle \sin(x)$ =\cos(x-\pi / 2)}이므로 사인의 경우는 이 정의에서 생략할 수 있습니다. 따라서 임의의 삼각형 숫자는 ${\displaystyle \cos }$⁡$($ π k/n)${\displaystyle$cos(2\pi k/n)}로 작성할 수 있으며, 여기서 k와 n은 정수입니다. 이 수는 복소수 ${\displaystyle \cos }$⁡$($ π${\displaystyle }$k${\displaystyle /n}$ ) +${\displaystyle isin}$⁡$($2 π k$/n) {\displaystyle$cos(2\pi k/n)+i\sin(2\pi k/n)}의 실수 부분으로 생각할 수 있습니다. 드 모이브르의 공식은 이 형태의 수가 합집합임을 보여줍니다.

${\displaystyle \left(\cos \left ({\frac {2\pik}{n}\right)+i\sin \left ({\frac {2\pik}{n}\right)\right)^{n}=\cos(2\pi k)+i\sin(2\pi k)=1}$

유니티의 근은 다항식 xⁿ - 1의 근이므로 대수적입니다. 삼각수는 합근과 그 복소수의 평균이고 대수수는 산술 연산으로 닫혀 있으므로 모든 삼각수는 대수적입니다.^[2] 삼각수의 최소 다항식은 명시적으로 열거할 수 있습니다.^[3] 대조적으로, 린데만에 의해-0이 아닌 대수수의 사인 또는 코사인은 항상 초월적입니다.^[4]

모든 합근의 진짜 부분은 삼각수입니다. 니븐의 정리에 의하면 유리 삼각수는 0, 1, -1, 1/2, -1/2뿐입니다.^[5]

시공성

각도는 그 사인(또는 코사인)이 산술 연산과 정수에 적용된 제곱근의 조합으로 표현될 수 있는 경우에만 나침반과 직선으로 구성할 수 있습니다.^[6] 또한${\displaystyle }$π${\displaystyle$ $\$pi } 라디안의 유리수 배수인 각도는$$a와 b가 상대적으로 소수인 정수인 분모의 소인수분해 ${\displaystyle b}$인 경우에만 구성할 수 있습니다. 는 2의 거듭제곱과 임의의 수의 구별된 페르마 소수(페르마 소수는 2의 거듭제곱보다 큰 소수)의 곱입니다.^[7]

따라서 예를 들어, $2{\displaystyle }$π / 15 = 24 ∘${\displaystyle$ 2\$pi$/$15$ = 24^{\circ }는 구성 가능한 각도이며, 이는 15가 페르마 소수 3과 5의 곱이기 때문입니다. 마찬가지로${\displaystyle }$π / 12 = 15 ∘${\displaystyle$ \$pi$/$12$ = 15^{\circ }는 12는 페르마 프라임(3)의 2(4)배의 거듭제곱이므로 구성 가능한 각도입니다. 그러나${\displaystyle }$π / ${\displaystyle 9^{}}$ = $20$∘ {\$displaystyle$ \$pi$/ $9$ = 20^{\circ }는 구성 $가능$한 각도가 아닙니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle 9}$ = 3 ⋅ 3 ${\displaystyle$9 = 3\cdot 3}은 3을 ${\displaystyle 요인}$으로${\displaystyle }$두 번 포함하므로 서로 다른 페르마 소수의 곱이 ${\displaystyle {\mathrm{아니며,}}^{}}$π /$7$ ≈ $25.714$∘ {\displaystyle \pi / 7\approx 25.714^{\circ }, 7은 페르마 프라임이 아니기 때문입니다.^[8]

위와 같은 특성으로 인해 이 각도가 3의 배수인 경우에만 정수 도수의 각도를 구성할 수 있습니다.

구성 가능한 값

45°

반사 항등식에서 ${\displaystyle {\cos }^{}}$⁡${\displaystyle {}^{}{45}^{}}$ ∘${\displaystyle {)}^{}}$=${\displaystyle {}^{\sin }}$ ⁡($90$∘${\displaystyle {}^{}}$- $45$∘) =$sin$ ⁡($45$ ∘) ${\displaystyle$ \cos($45$^{\$circ })$ =\sin$($90^{\circ }-45^{\circ }) =\sin(45^{\circ })} ⁡${\displaystyle (45{}^{}}$∘$)$ ${\displaystyle 2^{}{}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$코스 ⁡($45$∘) 2$$=$$1 ${\display style \sin$(45$^{\circ$ })^{2$}+\cos$45^{\$circ$ })^{2} =$1$}에서${\displaystyle {피타고라스}^{}}$ 삼각법 항등식 2 $(45$∘) 2 - 1$$= 0${\$display$$style 2\sin(45^{\circ })^{2}-1 = 0}을 ${\displaystyle \mathrm{구합니다}.}$ 양의 근을 취하면, ${\displaystyle {\sin }^{}}$⁡${\displaystyle {}^{}{45}^{}}$ ∘${\displaystyle )}$=$cos$ ⁡${\displaystyle (45}$ ∘) =$$1/2$$=$$2/2 {\$displaystyle \sin(45$^{\circ}) =\cos$(45$^{\circ}) = $1$sqrt {2} = {\sqrt {2}/2}을(를) 찾습니다.

30°와 60°

정삼각형을 분석하여 30도와 60도의 사인과 코사인 값을 도출합니다. 정삼각형에서 3개의 각도는 동일하고 합이 180°이므로 각 모서리 각도는 60°입니다. 한 모서리를 이등분하면 각도가 30-60-90인 특수 직각 삼각형이 얻어집니다. 대칭에 의해, 이등분된 변은 정삼각형의 변의 절반이므로 ${\displaystyle {\sin }^{}}$⁡$30$ ∘) = 1/2${\displaystyle$ \sin(30^{\$circ$}) = 1/2}로 끝납니다. 그런 다음 피타고라스 및 반사 ID는 ${\displaystyle {\sin }^{}}$⁡${\displaystyle {}^{}{60}^{}}$ ∘${\displaystyle \sqrt{)}}$ = ${\displaystyle cos}$ ⁡${\displaystyle \sqrt{{}^{}}30\sqrt{}}$∘) = 1$$- (1 / 2) $2$= 3 / 2 {\$displaystyle \sin(60$^{\circ }) =\$cos(30^{\circ$ }) = {\$sqrt {1-(1$2)^{2}} = {\sqrt {3}/2}를 제공합니다.

18°, 36°, 54°, 72°

사인 및 코사인에 대한 다중 각도 공식을 사용하여 ${\displaystyle {\sin }^{}}$⁡$18$∘)${\displaystyle$\sin(18^{\circ})}의 값을 도출할 수 있습니다. 사인에 대한 이중 각도 공식에 의해:

${\displaystyle \sin(36^{\circ })=2\sin(18^{\circ })\cos(18^{\circ })}$

코사인에 대한 삼중각 공식에 의해:

${\displaystyle \cos(54^{\circ })=\cos ^{3}(18^{\circ })-3\sin ^{2}(18^{\circ })\cos(18^{\circ })=\cos(18^{\circ })(1-4\sin ^{2}(18^{\circ }))}$

sin(36°) = cos(54°)이므로 이 두 식을 동일하게 하고 cos(18°) 인자를 취소합니다.

${\display style 2\sin(18^{\circ })=1-4\sin ^{2}(18^{\circ })}$

이 2차 방정식에는 양의 근이 하나만 있습니다.

${\displaystyle \sin(18^{\circ})={\frac {{\sqrt {5}-1}{4}}$

그런 다음 피타고라스 아이덴티티는 ${\displaystyle {\cos }^{}}$⁡$18$∘)${\displaystyle$\cos$($18^{\circ })}를 제공하고 이중 및 삼중 각도 공식은 36°, 54° 및 72°의 사인 및 코사인을 제공합니다.

3°의 나머지 배수

3°의 배수인 0°에서 90° 사이의 다른 모든 각도의 사인과 코사인은 위에서 설명한 각도와 합 및 차분 공식에서 도출할 수 있습니다. 구체적으로.^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}3^{\circ }&=18^{\circ }-15^{\circ }&24^{\circ }&=54^{\circ }-30^{\circ }&51^{\circ }&=60^{\circ }-9^{\circ }&78^{\circ }&=60^{\circ }+18^{\circ }&\6^{\circ }=36^{\circ }-30^{\circ },&27^{\circ }&=45^&\\9^{\circ }&=45^{\circ }-36^{\circ },&33^{\circ }&=60^{\circ }-27^{\circ },&63^{\circ }&=45^{\circ }+18^{\circ },&84^{\circ }&=54^{\circ }+30^{\circ },&\\12^{\circ }&=30^{\circ }-18^{\circ },&39^{\circ }&=30^{\circ }+9^{\circ },&66^{\circ }&=36^{\circ }+30^{\circ },&87^{\circ }&=60^{\circ }+27^{\circ }.&\\15^{\circ }&=45^{\circ }-30^{\circ },&42^{\circ }&=60^{\circ }-18^{\circ },&69^{\circ }&=60^{\circ }+9^{\circ },&\\21^{\circ }&=36^{\circ }-9^{\circ },&48^{\circ }&=30^{\circ }+18^{\circ },&75^{\circ }&=45^{\circ }+30^{\circ },&\end{aligned}}}$

예를 들어, ${\displaystyle 24}$ ∘ =$60$∘ - $36$ ∘ {\$displaystyle 24$^{\$circ$} = 60$^\{\backslash$circ }-36^{\circ }이므로 코사인 차이 공식을 통해 코사인을 유도할 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(24^{\circ})&=\cos(60^{\circ})\cos(36^{\circ})+\sin(60^{\circ})\\&={\frac {1}{2}}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}\\&={\frac {1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}}{8}}\end{aligned}}}$

반각

분모인 b에 2의 추가 요인을 곱하면 반각 공식으로 사인과 코사인을 유도할 수 있습니다. 예를 들어, 22.5°(π/8rad)는 45°의 절반이므로 사인과 코사인은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \sin(22).5^{\circ })={\sqrt {\frac {1-\cos(45^{\circ })}{2}}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle \cos(22).5^{\circ })={\sqrt {\frac {1+\cos(45^{\circ })}{2}}}={\sqrt {\frac {1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$

코사인 반각 공식을 반복적으로 적용하면 각 응용 프로그램이 분자에 $2$+$$⋯ {\$displaystyle {\sqrt$ {2$+\$cdots}}을(를) 더하고 분모가 2인 패턴으로 계속되는 중첩 제곱근이 발생합니다. 예:

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{16}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\qquad \cos \left({\frac {\pi }{32}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}$

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{12}}\right)={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\qquad \cos \left({\frac {\pi }{24}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}$

이와 같은 반각 공식의 성질이 많은 각도 공식에서 2의 제곱근이 나타나는 이유입니다.

17의 분모

17은 페르마 소수이므로 규칙적인 17곤을 구성할 수 있으며, 이는 $2개$의$$π / $17 {\displaystyle$2\pi / 17} 라디안과 같은 각도의 사인과 코사인을 제곱근으로 표현할 수 있음을 의미합니다. 특히 1796년 칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)는 다음과 같은 사실을 보여주었습니다.^[12][13]

${\displaystyle \cos \left ({\frac {2\pi}{17}}\right)={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {170+38{\sqrt {17}}}}}{16}}$

여기서 분모가 17로 분할되는 다른 구성 가능한 각도의 사인과 코사인을 도출할 수 있습니다.

1°의 비시공성

§ $구성$ 가능성에서 논의한 바와 같이,$$π ${\displaystyle$ \pi} 라디안의 유리수$배수$인 특정 각도만 제곱근으로 표현할 수 있는 삼각형 값을 갖습니다. 각도 1°는${\displaystyle }$π / 180 =${\displaystyle {}^{}}$π /${\displaystyle }$(2$$⋅ 3 $2$⋅ 5) ${\displaystyle \pi /180$=$\$pi /(2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5)} 라디안이며$$에 반복되는 인자가 $3이므로 sin$ ⁡(1 ∘) {\displaystyle \sin(1^{\circ })}은(는) 제곱근만 사용하여 표현할 수 없습니다. 이와 관련된 문제는 세제곱근을 사용하여 표현할 수 있는지 여부입니다. 3각 항등식을 사용하여 ${\displaystyle {}^{}}$⁡${\displaystyle (}$$1$∘)${\displaystyle$\sin(1^{\circ }}을 ${\displaystyle \mathrm{3차}{}^{}}$의 근으로 식별할 수 있습니다: ${\displaystyle {}^{}}$⁡$(3$∘) = -$4$x 3 + 3 x {\$displaystyle \sin($3$^\{\backslash$circ }) = - 4x^{3} + 3x} The three roots of this polynomial are ${\displaystyle \sin(1^{\circ })}$, ${\displaystyle \sin(59^{\circ })}$, and ${\displaystyle -\sin(61^{\circ })}$. Since ${\displaystyle \sin(3^{\circ })}$ is constructible, 이에 대한 식을 카르다노의 공식에 대입하여 $sin$ ⁡ $($∘$) {\displaystyle$\sin$($1^{\circ }}에 대한 식을 만들 수 있습니다. 그러나 이는 입방체의 세 근이 모두 실수이므로 이는 이레듀시빌리스의 한 예이며, 이를 표현하기 위해서는 복소수의 세 근을 취해야 합니다.

참고 항목

• 15°의 배수에 대한 정확한 값을 찾는 데 사용되는 Ailles 직사각형
• 삼각 항등식 목록

참고문헌

서지학