해버신 공식

해버신 공식은 구상의 두 점 사이의 위도와 경도를 고려하여 대원 거리를 결정합니다.항법에서 중요한 것은 구면 삼각형의 변과 각도를 관련짓는 구면 삼각법의 더 일반적인 공식인 해버의 법칙의 특별한 경우입니다.

영어로 된 최초의 haversines 표는 1805년에 ^[1]James Andrew에 의해 출판되었지만,^[2]^[3] Florian Cajori는 1801년에 José de Mendoza 이 Rios에 의해 이전에 사용되었다고 믿는다.Haversine이라는 용어는 James Inman에 ^[4]^[5]의해 1835년에 만들어졌다.

이 이름들은 그들이는 관례적으로 haversine 기능, hav(θ))sin2(.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-out의 용어로 쓰여진으로부터 얻어지는 것입니다.).sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}θ/2다.공식은 오래된 베르사인 함수(해버신의 2배)와 같은 모든 해버신의 배수로 동일하게 작성할 수 있습니다.컴퓨터가 등장하기 전에, 2의 인수에 의한 나눗셈과 곱셈의 제거는 19세기 및 20세기 초반의 내비게이션과 삼각법 ^[6]^[7]^[8]텍스트에 하버사인 값과 로그의 표가 포함될 만큼 충분히 편리하다는 것이 입증되었다.최근에는 하버신 형태도 $sin 2$ 함수 앞에 계수가 없다는 점에서 편리하다.

공식화

구의 두 점 사이의 중심 각도 $θ$ 를 다음과 같이 가정합니다.

\theta = specfrac {d}{r}

여기서:

$d$ 는 구의 큰 원을 따라 두 점 사이의 거리이다(구면 거리 참조).
$r$ 은 구의 반지름입니다.

Haversine 공식을 사용하면 두 지점의 위도( $θ$ 로 $표시$ )와 경도( $θ$ 로 표시)에서 직접 $θ$ ( $hav($ θ)의 haversine을 계산할 수 있다.

\displaystyle \operatorname {displaystyle \left(\theta \right)=\operatorname {display} \left(\varphi _2}-\varphi _{1}\right)+\cos \left(\varphi _{2}\right)\operatorname {dis} \display(\left(\right) \left}

또는^{[dubious – discuss]} 작은 각도에서 분해능 저하를 일으키는 코사인 사용을 피하려면:

{\displaystyle \operatorname {filename}(\theta)=\operatorname {filename {filename}(\varphi _{2}-\varphi _{1})+left(1-\operatorname {fi _{1}),\operatorname {filename {filename {filename {filename {f}(\filename {f}(\fi _fi _fi _fi _filename {filename {fi _{{{{f})

어디에

$θ 1 2$ , θ는 점 1의 위도이고 점 2의 위도입니다.
,, $are$ 는₂ 점 1의 경도, 점 2의 $경도$ 입니다₁.

마지막으로, 위의 중심 $각도$ θ와 위도 및 경도의 차이 모두에 적용되는 하버사인 $함수$ hav $(θ)$ 는 다음과 같다.

\operatorname {display}(\theta)=\sin ^{2}\leftfrac {{theta }{2}\right}=sinfrac {1-\cos(\theta)}{2}

Haversine 함수는 각도 $θ$ 의 반쪽 versine을 계산한다.

$거리$ d를 해결하려면 h = $hav($ hav(hav $)$ 에 아치버신(harchaversine)을 적용하거나 아크신(harcsine) 함수를 사용합니다.

({displaystyle d=r\operatorname {archav}(h)=2r\arcsin\leftfrt {h}}\오른쪽)}

또는 보다 명확하게:

{\displaystyle{\begin{정렬}d&, =2r\arcsin \left({\sqrt{\operatorname{hav}(\varphi_{2}-\varphi_{1})+(1-\operatorname{hav}(\varphi_{1}-\varphi_{2})-\operatorname{hav}(\varphi_{1}+\varphi_{2}))\cdot\operatorname{hav}(\lambda_{2}-\lambda_{1})}}\right)\\&, =2r\arcsin \left({\sqrt{\sin ^{2}\left({\frac{\varphi_{2}-\varphi_{1.}}{2}}\rIght)+\left(1-\sin ^{2}\left({\frac{\varphi_{2}-\varphi_{1}}{2}}\right)-\sin ^ᆬ\left({\frac{\varphi_{2}+\varphi_{1}}{2}}\right)\right)\cdot \sin ^ᆭ\left({\frac{\lambda_{2}-\lambda_{1}}{2}}\right)}}\right)\\&,=2r\arcsin \left({\sqrt{\sin ^{2}\left({\frac{\varphi_{2}-\varphi_{1}}{2}}\right)+\cos _{1}\cdot\cos \varphi _{2}\varphi.\cdot \sin ^{2}\leftfrac\frac({2}-\fracda_{1}{2}}}\right).\end { aligned}}

^[9]

이들 식을 사용할 때는 부동소수점 오류로 인해h가 1을 넘지 않도록 $해야$ $합니다$ (0 $µh µ1에 대해서$ 만 실재합니다. $h$ 는 (구체의 반대쪽) 대척점에 대해서만 1에 접근한다. 이 영역에서는 유한 정밀도를 사용할 때 공식에서 상대적으로 큰 수치 오차가 발생하는 경향이 있다.d는 큰 크기(' $R$ 에 근접하여 원주의 절반)이므로 이 비정상적인 경우 작은 오류가 큰 문제가 되지 않는 경우가 많습니다(이 문제를 회피하는 다른 대원거리 공식도 있습니다).(위의 공식은 때때로 아크탄젠트 함수의 관점에서 쓰여지지만, 이는 $h$ = 1 $부근$ 에서 유사한 수치 문제를 겪는다.)

아래에 설명된 것과 같이, 유사한 공식은 haversine 대신 코사인(평면 기하학에 대한 코사인 법칙과 혼동하지 않기 위해 코사인 구면 법칙이라고도 함)을 사용하여 쓰여질 수 있지만, 만약 두 점이 서로 가까운 경우(예: 지구에서 1km 떨어져 있음) cos $(d / R) = 0.99999999가 되어$ 부정확한 결과를 초래할 수 있다.정답.haversine 공식은 sine을 사용하기 때문에 이 문제를 회피할 수 있습니다.

두 공식 모두 지구에 적용되었을 때 근사치일 뿐 완벽한 구는 아니다: " $지구$ 반지름" R은 극지방에서 6356.752 km에서 적도지방에서 6378.137 km까지 다양하다.더 중요한 것은, 지구 표면의 남북 선의 곡률 반경이 적도(356335.439km)보다 극(996399.594km)에서 1% 더 크다는 것이다. 따라서 하버사인 공식과 코사인 법칙이 ^{[citation needed]}0.5%보다 크게 정확하다고 보장할 수 없다.지구의 타원성을 고려하는 더 정확한 방법들은 빈센티의 공식과 지리학적 거리 기사에 있는 다른 공식들에 의해 제시되었다.

해빙의 법칙

해버의 법칙으로 풀린 구면 삼각형

단위 구가 지정되면 구 표면의 "삼각형"은 구면의 세 $점$ u, $v$ $및$ w를 연결하는 대원에 의해 정의됩니다.이 세 변의 길이가 a( $u$ 에서 $v$ 까지), b( $u$ 에서 w까지), $c$ ( $v$ 에서 w까지)이고 $반대쪽$ 모서리의 각도가 $C$ 인 경우, 해버사인 법칙은 다음과 같습니다.^[10]

\operatorname {filename}(c)=\operatorname {filename}(a-b)+\sin(a)\sin(b)\operatorname {filename}(C)입니다.

이것은 단위구이기 때문에 $길이$ a, $b$ $및$ c는 구체의 중심에서 그 변에 의해 기울어진 각도(라디안 단위)와 같다(단위구가 아닌 구체의 경우, 이러한 각 호 길이는 구체의 $반지름$ R을 곱한 중심각과 같다).

이 법칙에서 전절의 해버신 공식을 얻기 위해서는 단순히 u가 $북극$ 이고, $v$ 와 w가 $분리$ d가 결정되는 두 $점$ 이라는 특별한 경우를 고려한다.이 경우 $a$ 와 b는 $θ / 2-θ 1,2$ (즉, co-latitudes), $C$ 는 $경도분리θ-θ 2 1,$ $c$ 는 $원하는$ d $/ R$ 이다.sin $(sin / 2 -$ () = $cos($ cos $)$ 라는 $점$ 에 주목하면, haversine 공식은 바로 뒤에 나타난다.

해버의 법칙을 도출하기 위해서는 코사인 구면 법칙에서 시작한다.

\displaystyle \cos(c)=\cos(a)+\sin(a)\sin(b)\cos(C)\,}

위에서 설명한 바와 같이, 이 공식은 c가 작을 $때$ c에 $대한$ 조건 없는 해결 방법입니다.대신, 우리는 $위$ 의haversines의 법칙을 구하기 위해 cos $(a$ - b)= cos $(a) cos(b)$ + $sin(a)$ sin $(b)$ 을 사용하여 cos(a - $b$ ) = $1$ - 2 $hav(b)$ 인 $항등식$ 을 대입한다.

증명

공식을 증명할 수 있습니다.

\displaystyle \operatorname {displaystyle \left(\theta \right)=\operatorname {display} \left(\varphi _2}-\varphi _{1}\right)+\cos \left(\varphi _{2}\right)\operatorname {dis} \display(\left(\right) \left}

위도와 경도에 의해 주어진 점을 데카르트 좌표로 변환한 다음 점곱을 취합니다.

단위구상의 ${\bf {p_{1},p_{2}}}$ 의 ${\bf {p_{1},p_{2}}}$ p 1, ${\bf {p_{1},p_{2}}}$ p ${\bf {p_{1},p_{2}}}$ 2 $(\style {p_{1},p_$ { $}})$ 는 위도 $(\displaystyle \varphi)$ 와 $\varphi$ 경도 $(\displaystyle \lambda$ 로 나타냅니다.

{\bf {p_{2}}&=(\displayda _{2},\varphi _{1}}\=(\displayda _{1},\varphi _{1}\end {aligned}}}}

이러한 표현은 구면 좌표와 매우 유사하지만 위도는 북극이 아닌 적도에서 각도로 측정됩니다.이러한 점들은 데카르트 좌표로 다음과 같이 표현됩니다.

\displaystyle {\bf {p_{2}}&=(\cos(\cosda _{2}),\sin(\cosda _{2}),\cos(\varphi _{2}),\sin(\varphi _{2})\\{\bf {p_{1}}&=(\cos(\cos(\cosda _{1}),\sin(\cosda _{1}),\sin(\varphi _{1}),\end{aligned}}})

여기서 직접 도트 곱을 계산하여 진행할 수 있지만, Z축을 따라 구를 회전시켜도 두 점 사이의 거리가 변하지 않는다는 사실을 고려할 때 공식은 상당히 간단해집니다.이를 통해 실질적으로 $\lambda _{1},\lambda _{2}$ $(\$ _ ${1},\lambda$ _{ $2$ 에 상수가 추가됩니다.위도 변환에는 유사한 고려 사항이 적용되지 않습니다.위도에 상수를 추가하면 점 사이의 거리가 변경될 수 있습니다.상수를 $-\lambda _{1}$ 1 $({$ _ ${1$ 로 선택하고 $=$ $\lambda '=\lambda _{2}-\lambda _{1}$ 2 $\lambda '=\lambda _{2}-\lambda _{1}$ - $\lambda '=\lambda _{2}-\lambda _{1}$ 1 $({$ '=\ $displaystyle$ _{ $2}-\displayda$ _{1 $\lambda '=\lambda _{2}-\lambda _{1}$ 로 설정하면 새로운 포인트가 됩니다.

{\displaystyle {\bf {p_{2}}}}&=(\cos(\cosda')\cos(\varphi_{2}),\sin(\varphi_{2}),\sin(\varphi_{2})\\{\bf {p_{1}}}&=(\cos(0)\cos(\varphi _{1}),\sin(0)\cos(\varphi _{1}),\&=(\cos(\varphi _{1}),\0,\sin(\varphi _1\pi _{1})

$({$ ${$ 1 ${\bf {p_{1}}}$ }})과 ${\bf {p_{2}}}$ p2 $({displaystyle$ { $p_{$ 2 ${\bf {p_{2}}}$ 사이의 $\theta$ 각도를 $나타내는$ {\({ $displaystyle$ \theta $})$ 에 따라 다음과 같이 됩니다.

{\displaystyle{\begin{정렬}(\theta)&, =\langle{\bf{p_{1}}},{\bf{{2p_}}}\rangle=\langle{\bf{p_{1}의}},{\bf{{2p_}'}}\rangle =\cos(\lambda의)\cos(\varphi_{1})\cos(\varphi_{2})+\sin(\varphi_{1})\sin(\varphi_{2})\\&, =\sin(\varphi_{2})\sin(\varphi_{1})+\cos(\varphi_{2})\cos(\varphi_{1})-\cos(\varphi_{2})\cos(\varphi_{1})+\co.s(\lambda)\cos(\varphi _{2}\cos(\varphi _{1})\&=\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1}\cos(\varphi _{1})\Rightarrow \\operatorname {parames} \left(\theta \right)&=\operatorname {parames} \left(\varphi _2}-\varphi _{1}-\cos(\varphi _{1})\operatorname {parames} \da} \left(\da})

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ van Brummelen, Glen Robert (2013). Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry. Princeton University Press. ISBN 9780691148922. 0691148929. Retrieved 2015-11-10.
^ de Mendoza y Ríos, Joseph (1795). Memoria sobre algunos métodos nuevos de calcular la longitud por las distancias lunares: y aplicacion de su teórica á la solucion de otros problemas de navegacion (in Spanish). Madrid, Spain: Imprenta Real.
^ 커조리,Florian(1952년)[1929년].수학 Notations의 역사라Vol2(2(1929년 문제 3수정 인쇄),).시카고:오픈 코트 출판사. 우편 172. 아이 에스비엔 978-1-60206-714-1. 1602067147.2015-11-11 Retrieved.그 haversine 먼저 호세 드 멘도사의 리오스는(마드리드, 1801년, 또한 1805년, 1809년)의 로그 versines의 표에, 그리고 후에 제임스 인먼(1821년).(NB다. 아이 에스비엔, 2판의 코시모, Inc., 뉴욕, 2013년까지 재판에 링크를 클릭합니다.)항해에 관한 논문에 나타납니다.
^ Inman, James (1835) [1821]. Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen (3 ed.). London, UK: W. Woodward, C. & J. Rivington. Retrieved 2015-11-09. (제4판 : [1]).
^ "haversine". Oxford English Dictionary (2nd ed.). Oxford University Press. 1989.
^ H. B. Goodwin, 항해천문학 하버신, 해군연구소 회보, 제36권, 제3호(1910년), 제735-746쪽: 하버신 표를 사용한다면 첫 번째 예에서는 로그의 합을 2로 나누는 수고를 덜 수 있을 것이고, 두 번째 예에서는 같은 수치표에서 취해진 각도의 곱셈을 하는 수고를 줄일 수 있을 것이다.이것은 거의 한 세기 전에 포츠머스 왕립 해군 대학의 인만 교수가 처음 도입한 테이블 형태의 특별한 장점이다.
^ W. W. Sheppard 및 C. C. Soule, 실용 내비게이션(세계기술연구소:Jersey City, 1922).
^ E. R. Hedrick, 로그 및 삼각법 표(Macmillan, New York, 1913).
^ Gade, Kenneth (2010). "A Non-singular Horizontal Position Representation". Journal of Navigation. 63 (3): 395–417. doi:10.1017/S0373463309990415. ISSN 0373-4633.
^ Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000) [1922]. "Appendix B: B9. Plane and Spherical Trigonometry: Formulas Expressed in Terms of the Haversine Function". Mathematical handbook for scientists and engineers: Definitions, theorems, and formulas for reference and review (3rd ed.). Mineola, New York: Dover Publications. pp. 892–893. ISBN 978-0-486-41147-7.

추가 정보

미국 인구조사국 지리정보시스템 FAQ(콘텐츠는 '두 지점 사이의 거리를 계산하는 가장 좋은 방법은 무엇인가'로 이동)
R. W. 시노트, "하버신의 신비", 스카이 앤 텔레스코프 68(2), 159(1984).
Haversine 공식인 Ask Dr. Math(1999년 ^{[dead link]}4월 20일-21일).2020년 1월 20일 Wayback Machine에 보관
Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, 구면 삼각법, Elementary-Geometry Trigonometry 웹 페이지(1997).
W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner, H. Küstner, VNR 수학 백과사전, 제2판 제12장 (Van Nostroand Reinhold:뉴욕, 1989년).

외부 링크

haversine 공식은 rosettacode.org에서 91개 언어로, codecodex.com에서는 17개 언어로 구현됩니다.
C ++, C(MacOS), Pascal, Python, Ruby, JavaScript, PHP, Matlab, MySQL의 기타 구현

[Brummelen_2013-1] van Brummelen, Glen Robert (2013). Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry. Princeton University Press. ISBN 9780691148922. 0691148929. Retrieved 2015-11-10.

[Ríos_1795-2] Mendoza y Ríos, Joseph (1795). Memoria sobre algunos métodos nuevos de calcular la longitud por las distancias lunares: y aplicacion de su teórica á la solucion de otros problemas de navegacion (in Spanish). Madrid, Spain: Imprenta Real.

[Cajori_1929-3] 커조리,Florian(1952년)[1929년].수학 Notations의 역사라Vol2(2(1929년 문제 3수정 인쇄),).시카고:오픈 코트 출판사. 우편 172. 아이 에스비엔 978-1-60206-714-1. 1602067147.2015-11-11 Retrieved.그 haversine 먼저 호세 드 멘도사의 리오스는(마드리드, 1801년, 또한 1805년, 1809년)의 로그 versines의 표에, 그리고 후에 제임스 인먼(1821년).(NB다. 아이 에스비엔, 2판의 코시모, Inc., 뉴욕, 2013년까지 재판에 링크를 클릭합니다.)항해에 관한 논문에 나타납니다.

[Inman_1835-4] Inman, James (1835) [1821]. Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen (3 ed.). London, UK: W. Woodward, C. & J. Rivington. Retrieved 2015-11-09. (제4판 : [1]).

[OED_1989_Haversine-5] "haversine". Oxford English Dictionary (2nd ed.). Oxford University Press. 1989.

[6] H. B. Goodwin, 항해천문학 하버신, 해군연구소 회보, 제36권, 제3호(1910년), 제735-746쪽: 하버신 표를 사용한다면 첫 번째 예에서는 로그의 합을 2로 나누는 수고를 덜 수 있을 것이고, 두 번째 예에서는 같은 수치표에서 취해진 각도의 곱셈을 하는 수고를 줄일 수 있을 것이다.이것은 거의 한 세기 전에 포츠머스 왕립 해군 대학의 인만 교수가 처음 도입한 테이블 형태의 특별한 장점이다.

[7] W. W. Sheppard 및 C. C. Soule, 실용 내비게이션(세계기술연구소:Jersey City, 1922).

[8] E. R. Hedrick, 로그 및 삼각법 표(Macmillan, New York, 1913).

[Gade2010-9] Gade, Kenneth (2010). "A Non-singular Horizontal Position Representation". Journal of Navigation. 63 (3): 395–417. doi:10.1017/S0373463309990415. ISSN 0373-4633.

[Korn_2000-10] Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000) [1922]. "Appendix B: B9. Plane and Spherical Trigonometry: Formulas Expressed in Terms of the Haversine Function". Mathematical handbook for scientists and engineers: Definitions, theorems, and formulas for reference and review (3rd ed.). Mineola, New York: Dover Publications. pp. 892–893. ISBN 978-0-486-41147-7.

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