호프 표면

복잡한 기하학에서, Hopf 표면은 분리된 그룹의 자유로운 작용에 의해$$ 복잡한 벡터 공간 (제로 삭제된) $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \mathb{C} ^{2}\setminus \{0\}}}}$의 몫으로 얻은 콤팩트한 복합 표면이다.이 그룹이 정수인 경우, Hopf 표면을 1차라고 하고, 그렇지 않으면 2차라고 부른다. (일부 저자는 "Hopf surface"라는 용어를 사용하여 "주차 Hopf surface"를 의미한다.)첫 번째 예는 Hainz Hopf(1948)에 의해 발견되었는데, 이산 그룹이 정수에 이형화된 것으로, $발전기$가 C ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle \mathb{C}$^{$2}}$에 2 곱하기 2로$$ 작용했다. 이것은 Kahler 메트릭이 없는 콤팩트 복합 표면의 첫 번째 예였다.

Hopf 표면의 고차원적 유사성을 Hopf 다지관이라고 한다.

불변제

홉프 표면은 7등급의 표면이며, 특히 모두 고다이라 치수 -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ -$\infit$}과(와$)$ 모든 플뤼게네라 소멸을 가지고 있다.기하속은 0이다.기본 그룹은 유한 지수의 정규 중심 무한 순환 하위 그룹을 가지고 있다.호지 다이아몬드는

		1
	0		1
0		0		0
	1		0
		1

특히 첫 번째 베티 번호는 1이고 두 번째 베티 번호는 0이다.반대로 고다이라 구니히코(1968)는 두 번째 베티 수가 소멸되고 유한 지수의 무한 순환 부분군을 포함하는 콤팩트한 복합 표면이 홉프 표면이라는 것을 보여주었다.

기본 호프 표면

콤팩트한 복합 표면의 분류 과정에서 고다이라가 1차 홉프 표면을 분류했다.

1차 Hopf 표면은 다음과 같이 얻는다.

${\displaystyle H={\Big (}\mathb {C} ^{2}\setminus \{0\}{\Big )}/\Gamma ,}$

여기서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$은 다항식 수축 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma }$에 의해 생성된$$ 그룹이다$.$ $고다이라씨$는 {$${\$displaysty \gamma}$에 대한 정상적인 형식을 찾았다$.$ 적절한 좌표에서는 {$${\$displaysty \gma$ }로$$쓸 수 있다$$.

${\displaystyle (x,y)\mapsto (\cHB x+\buffda y^{n},\buffer y)}$

where ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$ are complex numbers satisfying ${\displaystyle 0< \alpha \leq \beta <1}$, and either ${\displaystyle \lambda =0}$ or ${\displaystyle \alpha =\beta ^{n}}$.

이러한 표면은 타원 곡선(x축의 영상)을 포함하며, $\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ $[\displaystyle \lambda =0}$인 경우 y축의 영상은$$ 두 번째 타원 곡선이다.When ${\displaystyle \lambda =0}$, the Hopf surface is an elliptic fiber space over the projective line if ${\displaystyle \alpha ^{m}=\beta ^{n}}$ for some positive integers m and n, with the map to the projective line given by ${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{m}y^{-n}}$, and그렇지 않으면 유일한 곡선은 축의 두 영상이다.

일차 Hopf 표면의 Picard 그룹은 0이 아닌 복잡한 숫자 $∗{\$에 대해 이형이다$.$

고다이라(1966b)는 복잡한$$ 표면이 $1차{\displaystyle {}^{}}$ 호프 ${\displaystyle {표면}^{}}$인 경우에만$$S ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ S 1 {\displaystyle $S^{3}\time S^{$1}에$$차이가 있다는 것을 입증했다.

보조 호프 표면

2차 Hopf 표면은 1차 Hopf 표면인 유한 비RAM 커버를 가지고 있다.동등하게, 그것의 기본 집단은 정수에 이형화된 유한 지수의 하위 집단을 중심에 가지고 있다.가토 마사히도(1975)는 1차 호프 표면에서 고정된 점 없이 작용하는 유한 집단을 찾아 분류했다.

2차 Hopf 표면의 많은 예는 구면 공간 형태와 원의 산물인 기초 공간으로 구성될 수 있다.

참조

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