그라스마니안

수학에서, 그라스마니안 ${\displaystyle {}_{}}$($)$ {\$displaystyle {Gr} _{k}(V))$는 $필드{\displaystyle }$ K ${\displaystyle$ $n$$}$ -차원$$ $벡터$ 공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $V$$}$의 모든 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ -차원$$ 선형 부분 공간의 집합을 매개 변수화하는 미분가능 다양체입니다$.$ 예를 들어, 그라스마니안 ${\displaystyle {\mathbf{Gr}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}V)}$ ${\displaystyle$ V$laystyle \mathbf {Gr} _{1}(V)}$은 V ${\displaystyle V}$에서 원점을 통과하는 선들의 공간이므로$,$ $V{\displaystyle }${\$displaystyle V}$보다 낮은 1차원의$$ 투영 $공간{\displaystyle \mathbf{}}$ P${\displaystyle }$(${\displaystyle V)}${\$displaystyle \mathbf {P}(V)$와 같습니다$.$^[1][2] $V{\displaystyle }${\$displaystyle V}$이(가) 실수 벡터 공간이거나 복소수 벡터 공간일 때, Grassmannians는 $k차원$의 콤팩트 평활 다양체입니다${\displaystyle .}$${\displaystyle n}$ -${\displaystyle k}$) ${\displaystyle k(n-k$^[3] 일반적으로 그들은 비단수 사영 대수적 다양체의 구조를 갖습니다.

사소하지 않은 그라스마니안에 대한 가장 초기의 연구는 ${\displaystyle {\mathbf{Gr}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ (R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{2}(\mathbf {R}^{4}}}$와 동일한 실제 투영 3-공간의 투영 선 세트를 연구한 줄리어스 플뤼커 때문이며$,$ 이는 현재 플뤼커 좌표라고 불리는 것으로 매개 변수화됩니다.(아래의 § 플뤼커 좌표 및 플뤼커 관계 참조).헤르만 그라스만은 나중에 이 개념을 일반적으로 소개했습니다.

Grassmannian에 대한 표기는 작성자마다 다르며, $Grk{\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}V)}$ ${\displaystyle {Gr} _{k}(V),$${\displaystyle \mathbf{Gr}(k,V)}${\$displaystyle \mathbf {Gr} (k,V$ ${\displaystyle {}_{}n)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(n),$${\displaystyle \mathbf{Gr}(k,n)}$ ${\displaystyle$$k}$의 Grassmannian을 나타내는$$ ${\displaystyle$ \$mathbf {Gr} (k,n)}$를 $포함합니다$$.$$playstyle n}$ - 차원$$ 벡터 $공간{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V$

동기

벡터공간의 부분공간 집합에 위상구조를 부여함으로써, 부분공간의 연속적인 선택 또는 부분공간의 열린 및 닫힌 집합에 대해 이야기할 수 있습니다.그들에게 미분 다양체의 추가적인 구조를 제공함으로써, 우리는 하위 공간의 원활한 선택에 대해 말할 수 있습니다.

유클리드 공간에 내장된 매끄러운 다양체의 접다발로부터 자연스러운 예가 나옵니다.차원 $k$ ${\displaystyle k}$의 $다양체$ M ${\displaystyle M}$이 ${\displaystyle {R}^{n}$에 내장되어 있다고 가정하자$.$ 각 점 $x$ ∈ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in$ M$}$에서$$$M$ ${\displaystyle$ M$}$의 접공간은 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbf {R}^{n}$의 접공간의 부분공간으로 간주될 수 있습니다$.$또한 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$입니다$.$x에 그 접선 공간을 할당하는 맵은 M에서 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {Gr} _{k}(\mathbf {R}^{n})}$까지의 맵을 정의합니다$.$ (이를 $위해서$는 x ${\displaystyle x}$가 아닌 원점을 통과하도록 각 $x$ ∈ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in M}$에서 접선 공간을 변환해야 합니다$.$따라서 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ - 차원$$ 벡터 부분공간을 정의합니다.이 아이디어는 3차원 공간의 표면에 대한 가우스 지도와 매우 유사합니다.)

이것은 다양체 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 걸쳐 모든 벡터 번들로 약간의 노력으로 확장될 수 있으므로$,$ 모든 벡터 번들은 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에서 적절하게$$ 일반화된 Grassmannian으로 연속 맵을 생성하지만, 이를 보여주기 위해서는 다양한 임베딩 정리가 증명되어야 합니다.그런 다음 벡터 다발의 속성이 해당 지도의 속성과 관련이 있다는 것을 알게 됩니다.특히 우리는 그라스만니안으로 호모토픽 지도를 유도하는 벡터 다발이 동형이라는 것을 발견했습니다.여기서 호모토피의 정의는 연속성의 개념, 따라서 위상에 의존합니다.

저차원

k = 1에 대하여, Grassmannian Gr(1, n)은 n-공간에서 원점을 통과하는 선들의 공간이므로, n-1차원의 투영 $공간$ ${\displaystyle {\mathrm{Pn}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$1 ${\displaystyle \mathbf {P}^{n-1}$와 같습니다.

k = 2의 경우 그라스마니안은 원점을 포함하는 모든 2차원 평면의 공간입니다.유클리드 3-공간에서 원점을 포함하는 평면은 그 평면(그리고 그 반대)에 수직인 원점을 통과하는 유일한 선으로 완전히 특징지어집니다. 따라서 공간 Gr(2, 3), Gr(1, 3) 및 P²(투영 평면)는 모두 서로 식별될 수 있습니다.

투영 공간이 아닌 가장 단순한 그라스만리안은 Gr(2, 4)입니다.

미분가능 다양체로서의 그라스마니안

미분 가능한 다양체의 구조와 함께$$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}V)}$ ${\displaystyle {Gr} _{k}(V)$를 부여하려면 $V{\displaystyle }${\$displaystyle V}$에 대한 기저를 선택합니다$.$ 이는 표준 기저가 $({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{},}$ $n$${\$$^{n$로 표시된 $V{\displaystyle }${\$displaystyle$ $V}$을(를$)$ 열 벡터로 보는 것과 같습니다$.$그런 다음$$${\displaystyle {}_{}}$($) {\displaystyle$ k}의 요소로 보는 임의의 k ${\displaystyle$ k$}$ -$차원$ 부분 공간 $w$ ⊂ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle w\$$subset$ $V}$에 대해 k$$${\displaystyle k}$의 선형 독립 열 벡터(W ${\displaystyle 1_{}},{\displaystyle {}_{}\dots ,{}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle$ k$(W_{1},\dots,W_{k})$로 구성된 기저를 선택할 수 있습니다$.$$요소$ $w$ ∈ ${\displaystyle {}_{}V)}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V))$의$$동차 좌표는${\displaystyle }$$i$ ${\displaystyle i}$$번째$ 열 벡터가 ${\displaystyle {Wi}_{}}$ ${\displaystyle W_{i},$$i$ = ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle \dots ,k}$ ${\displaystyle$i= $1,\$dots$,k}$인 n × k {\displaystyle i i 1,\displaystyle i= 1,\displaystyle W$}$의 요소로 구성됩니다$.$ ch이기 때문에기저의 두 개의 최대 순위 직사각형 행렬 $W$ ${\displaystyle W}$ 및 $W{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\displaystyle {\tilde {W}}$은(는) ∈ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)$인 동일한 원소를 나타냅니다.

${\displaystyle {\tilde {W}}=Wg}$

$K$ ${\displaystyle K}$에 항목이 있는 가역 $k{\displaystyle }$× ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\times k}$ 행렬의 일반 선형 그룹의 일부 $요소$ ∈ ${\displaystyle \mathrm{GL}(k,}$ K${\displaystyle )}$ ${\displaystyle g\in GL$$($$k,$ K$)}.$

이제 좌표 지도를 정의합니다.$임의$의 n${\displaystyle }$× ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n\times k}$ 동차$$ 좌표 행렬 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$에 대해 기본 열 연산을 적용하여 감소된 열 에헬론 형태를 얻을 수 있습니다$.$$W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$의 첫 $번째{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k}$ 행이$$$$ 선형으로 독립적이면 결과는 다음과 같은 형태를 갖습니다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\&1\&\&\dots \\&1,1}&\cdots &a_{1,k}\\vdots &\a_{n-k,1}&\cdots &a_{n-k,k}\end{bmatrix}}$

그리고${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ -${\displaystyle k)}$× k ${\displaystyle (n-k$${\displaystyle {}_{}}$$times$ k$}$ 아핀$$ 좌표 행렬${\displaystyle$ A}($a_{ij})$ 항목이 있는$$ ${\$displaystyle A$}$는 w ${\displaystyle w}$을(를$)$ 결정합니다$$. 일반적으로 첫 $k{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ k$}$ 행은 독립적일 필요는 없지만$$W {\$displaystyle$ W$}$의 최대 $순위{\displaystyle }$ $k{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ k$}$이므로 순서 집합이$$ 존재합니다$.$$정수$ <⋯< i k ≤ n {\$displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}:$ k${\displaystyle }$× k ${\displaystyle k\times k}$ 하위 행렬 $Wi$ ${\displaystyle {1_{}}_{}}$ ${\displaystyle {\dots ,i_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle W_{i_{1},\dots,$${\displaystyle {}_{}}$${k}}$ 행이$$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$…,${\displaystyle i_{}}$ k) {\$displaystyle W}$의 ${\$displaystyle $(i_{1},\ldots,i_{k})}$ 행이 단항입니다$.$이 부분 행렬을 항등 행렬로 줄이기 위해 열 연산을 적용할 수 있으며, 나머지 항목은 $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$을(를) 고유하게 결정합니다$.$ 따라서 다음과 같은 정의가 있습니다.

정수 <⋯< ${\displaystyle 1\leqi_{1}<\cdots <i_{k}\leq$ n${\displaystyle {i_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle U_{i_{1},\dots,i_{k}}$를 $k$${\displaystyle }$× ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle$ $k\$$times k$$}$개의 행렬 $W$ ${\displaystyle W}$${\displaystyle {{개}_{}}_{}}$의 집합이며, 이 행렬 W는 ${\displaystyle k_{}}$${\displaystyle }$× k ${\displaystyle$ k\$times$k},${\displaystyle {{}_{}\dots ,}_{}}$ i ${\displaystyle {k_{}}_{}}$ ${\displaystyle W_{i_{1},\dots,i_{k}}$개는 논시입니다.각진, 여기서 $ik{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$ - $Wi$ ${\displaystyle {1_{}}_{}}$의 행,${\displaystyle {{}_{}\dots ,{ik}_{}}_{}}$ ${\$는 ${\displaystyle {ij}_{}}$ ${\$ - $n{\displaystyle }$× ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n\times k}$의 행입니다$.$ ${\displaystyle {Ui{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {1_{}}_{}}$의${\displaystyle {}_{}}$아핀${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ $,$ …, $ik$ {\$displaystyle U_{$i_{$1},\dots,$i_${k$}는 다음${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$- ${\displaystyle k)}$× ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (n-k)\time$의 항목으로 정의됩니다$$.$sk}$ 행렬$$ $Ai$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {\dots ,}^{}}$${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ A$^{i_{1},\dots,i_{k}}$ 행이$$ ${\displaystyle {{Wi}_{}}_1^{{}_{}}}$ $ik$ - 1 {\$displaystyle$${\displaystyle {WW\_\mathrm{}}_{}}$${i_${1},\dots$,i_{k}^{-1},$ $($i1$$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\$dots$,i_{k$}} 행과 동일한 순서로 작성된 {\$displaystyle (i_{1},\dots$,i_{k$}}$ 행입니다.요소 w ∈ Gr(V)을 나타내는 동차 ${\displaystyle n}$× k ${\displaystyle n\times k}$ 좌표 행렬 $W$ ${\displaystyle W}$의 선택은 아핀 좌표 행렬 $Ai$ ${\displaystyle {1_{}}_{}}$의 값에 영향을 미치지 않습니다${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {\dots ,}^{}}$ ${\displaystyle {ik}_{}}$$${\$displaystyle A^{i_{1},\dots,i_{k}},$${\displaystyle {{ik}_{}}_{}}$ ${\displaystyle U_{i_{1},\dots,i_{k}}$. $$또한, 좌표 $행렬{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {{Ai\mathrm{}}_{}}^{}}$ 1${\displaystyle {,}^{}}$ …,${\displaystyle {{Ik}_{}}^{}}$ ${\$는 임의의 값을 취할 수 있으며$$${\displaystyle {,}_{}}$ $Ui{\displaystyle }$ 1$,$ …, $Ik$ {\$displaystyle U_{i_${1$},\$${\displaystyle \mathrm{dots}}$$,i_{k$}}는 K {\displaystyle$$ $K$${\displaystyle \}}$ -${\displaystyle 값}$ ${\displaystyle (n}$- k) × k ${\displaystyle ($n - k)\times $k}$ 행렬의$$ 공간으로 미분$$ 동형을 정의합니다.표시:

${\displaystyle {\hat {A}}^{i_{1},\dots,i_{k}}:=W(W_{i_{1},\dots,i_{k}})^{-1}$

$행{\displaystyle }$ (i 1, $\dots ,{\displaystyle }$ ${\displaystyle {ik\mathrm{}}_{})}$ ${\displaystyle$$k\times$ k} 및 $아핀$ 좌표 행렬$$ ${\displaystyle {{Ai\mathrm{}}_{}}^{}}$ 1${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {\dots ,}^{}}$ ${\displaystyle {{ik}_{}}^{}}$ ${\$displaystyle $A^{i_{1},\dots,i_{k}}$를 갖는 k${\displaystyle }$× ${\displaystyle k}$ ${\$$displaystyle$ k\times k$}$ 하위 행렬로$$ 갖는 동차 좌표 행렬.중첩 ${\displaystyle {Ui}_{}}$ ${\displaystyle {1_{}}_{}}$,${\displaystyle {{}_{}\dots ,{ik}_{}}_{}}$ ∩ ${\displaystyle {Uj}_{}}$ ${\displaystyle {1_{}}_{}}$…,${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {{jk}_{}}^{}}$ ${\displaystyle U_{i_{1},\dots,i_{k}}\cap U_{j_{1},\dots,j_{k}},$ ${\displaystyle {ii}^{}}$ ${\displaystyle {1_{}{ik}_{}}^{}}$ ${\displaystyle$ $A$$^{i_{1},\dots,$$i\_$${$${\displaystyle {k_{}}^{}}$$}},$${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle$ A$^{j_{1},\dots,$$j_{k}}}$은(는) 전환 관계와 관련이$$ 있습니다.

${\displaystyle {\hat {A}}^{i_{1},\dots,i_{k}W_{i_{1},\dots,i_{k}}={\hat {A}}^{j_{1},\dots,j_{k}}W_{j_{1},\dots,j_{k}}$

여기서 ${\displaystyle {{Wi\mathrm{}}_{}}_{}}$ 1${\displaystyle {,}_{}}$ …,${\displaystyle {{ik}_{}}_{}}${\$displaystyle W_{i_{1},\dots,i_{k}}$ $및$ ${\displaystyle {{Wj\mathrm{}}_{}}_{}}$ 1${\displaystyle {,}_{}}$ ${\displaystyle {\dots ,}_{}}$ ${\displaystyle {{jk}_{}}_{}}${\$displaystyle W_{j_{1},\dots,j_{k}}$는 모두 반전 가능합니다.다음과 같이 적을 수 있습니다.

${\displaystyle {\hat {A}}^{j_{1},\dots,j_{k}={\hat {A}^{i_{1},\dots,i_{k}}({\hat {A}}_{j_{1},\dots,j_{k}}^{i_{1},\dots,i_{k})^{-1}}$

여기서 $A{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}^{}}$ j ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}\dots ,}_{}^{}}$ j ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}\dots ,}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{ik}_{}}_{}^{}}$ ${\$는 $가역{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ × k {\$displaystyle k\times$ k$}$ 행렬이며${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ l ${\$displaystyle $l}$은 ${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}^{}}$ ${\displaystyle i^{{}_{}}}$ ${\displaystyle {1_{}}^{}}$의 $j{\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {l_{}}^{}}$${\$ $…,$ ik {\$displaystyle${\$hat$ {$A}^{i_{1},\dots,i_{k}}$입니다$.$ 따라서 전이 함수는 쥐입니다.${\displaystyle {Ai{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}^{}}$ …,${\displaystyle {{ik}_{}}^{}}$ ${\$ A$^{i_{1},\dots,i_{k}},$및${\displaystyle }${ ${\displaystyle {{Ui\mathrm{}}_{}}_{}}$1${\displaystyle {,}_{}}$ …, ${\displaystyle {{ik}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{ii\mathrm{}}_{}}^{}}$1${\displaystyle {,}^{}}$ ${\displaystyle {\dots ,}^{}}$ ${\displaystyle {{ik}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}${\$displaystyle$\{$U_{i_{1},\dots,i_{k}}, A^{i_{1},\dots,i_{k}\}$의 행렬 요소에서 이온은 미분 가능한 다양체로서 또한 대수적 다양체로서 Gr_k(V)에 대한 지도를 제공합니다$$.

직교 투영의 집합으로서의 그래스매니아

실수 또는 복잡한 그라스마니안을 다양체로 정의하는 대안적인 방법은 그것을 직교 투영 연산자의 집합으로 보는 것입니다(Milnor & Stashheff (1974) 문제 5-C).$이$ 경우$$V {\$displaystyle V}$이(가) 실제인지 복합인지에$$따라 $V$ ${\displaystyle V}$에서 양의 실제 또는 에르미트 내부 제품 ⟨ ⋅,${\displaystyle }$⋅ ⟩ ${\displaystyle \cdot$ \$cdot \rangle$}을$($를) 선택합니다.$k$ ${\displaystyle k}$ - 차원 부분공간 $w$ ${\displaystyle w}$에 따라 고유한 직교(또는 유니터리) 투영 $연산자{\displaystyle {Pw}_{}}$: V${\displaystyle }$→ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle P_{w:$$V$ ${\displaystyle V}$을(를) 직교 직합으로 분할하여 이미지가 $w$ $⊂$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle w\subset V}$인 $V\rightarrow V}$

${\displaystyle V=w\opplus w^{\perp}}$

$w$ ${\displaystyle$ w$}$및 해당 직교 보어 $w$ ⊥ ${\displaystyle w^{\perp}}$ 및 정의

${\displaystyle P_{w}(v)={\begin{case}v\quad {\text{if}}}v\in w\0\text{if}}v\in w^{\perp}}.\end{case}}$

반대로, 랭크 $k$ ${\displaystyle k}$의 모든 투영 연산자 $P$ ${\displaystyle P}$는 부분 공간 $w$ ${\displaystyle P_{}}$ := ${\displaystyle \mathrm{Im}}$(${\displaystyle P)}$ ${\displaystyle w_{P$}:=\$mathrm {Im}(P)}$을(를) 이미지로 정의합니다.투영 연산자의 순위는 추적과 같으므로, $순위{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k}$ 직교$$(또는 유니터리) 투영 연산자 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ P$}$로 그라스만$$ 다양체 $Gr{\displaystyle \mathbf{}}$(${\displaystyle \mathbf{k},V)}$ ${\displaystyle$ {$Gr}(k,V)$를 식별할 수 있습니다$.$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)\sim \left\{P\in \mathrm {End}(V)\mid P=P^{2}=P^{\dagger}},\,\mathrm {tr}(P)=k\right\}}$

특히, $V$ = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$V =\$mathbf {R} ^{n}$ 또는 $V$ = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$V =\$mathbf {C} ^{n}$를 취하면, n × n${\$}의 공간에 그라스마니안 Gr ${\displaystyle (k,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{N}),$${\displaystyle \mathbf{Gr}}$(${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{N})}$를 포함하는 완전히 명확한 방정식을 얻을 수 있습니다.$tyle n\times n}$ 행렬$$$$${\displaystyle {}^{}}$× ${\displaystyle n^{}}$ ${\$, ${\displaystyle {}^{}}$× ${\displaystyle n^{}}$ ${\$^{$n\times$ n$}$입니다.

이는 그라스마니안을 구$${${\displaystyle X}$ ∈ ${\displaystyle \mathrm{End}}$(${\displaystyle V)}$ ∣ ${\displaystyle \mathrm{tr}}$ ${\displaystyle (X}$ ${\displaystyle {}^{}}$ † )${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{X\in \mathrm {End} (V)\mid \mathrm {tr} (XX^{\dagger$}) = $k\}$의 닫힌 부분집합으로 정의하므로 이는 그라스마니안이 콤팩트 하우스도르프 공간임을 알 수 있는 한 가지 방법입니다.이 구성은 또한 Grassmannian ${\displaystyle \mathbf{Gr}}$ (${\displaystyle k,V)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$을(를) 메트릭 공간으로 만듭니다$$.

${\displaystyle d(w,w'):=\lVert P_{w}-P_{w'}\rVert,}$

$k$ ${\displaystyle k}$의 임의의 쌍 $, w'\subset V}$ - 차원 부분 공간에 대하여, ‖⋅‖는 연산자 노름을 나타냅니다.사용된 내부 제품은 상관이 없습니다. 내부 제품이 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에 대해 동일한 표준을 제공하므로 동일한 메트릭을 제공합니다$.$

실수 또는 복소수 그래스만인의 경우 위 구성을 행렬로 표현하는 동등한 방법은 다음과 같습니다.

아핀 대수적 변량인$$ 그래스마니안스 ${\displaystyle \mathbf{Gr}}$(${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n$ ${\displaystyle \mathbf{Gr}}$ ${\displaystyle (k,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})}$

$M{\displaystyle (n,}$ ${\displaystyle R)}$ ${\displaystyle M(n,\mathbf {R})}$을(를) $실수$ n${\displaystyle }$× ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$ 행렬의 공간과 부분 집합 $P{\displaystyle (k,}$ n${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle R)}$ ⊂ ${\displaystyle M(n,}$ R${\displaystyle )}$ ${\displaystyle P(k,n,\mathbf {R})\subset$ M$(n,\mathbf {R})$ 이 세 조건을 만족하는 행렬 $P$의 ∈ ${\displaystyle M(n,}$ ${\displaystyle R)}${\$displaystyle P\in$ M$(n,\mathbf {R})}$이라고 하자.

• ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$은(는$)$ 투영 연산자입니다.${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{P2}}$ $=$ P ${\displaystyle$ P${\displaystyle ^}$${2$}= $P}.$
• ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$은(는$)$ 대칭입니다. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T^{}}$ $=$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle$ P${\displaystyle ^}$${T$}= $P}.$
• ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$에 ${\displaystyle \mathrm{추적기}}$${\displaystyle (}$${\displaystyle \mathrm{P})}$ $=$ k ${\displaystyle {\rm {tr$${\displaystyle \}}$$(P$)=$k}}$이(가) ${\displaystyle \mathrm{있습니다}}.$

$P{\displaystyle (k,n,R)}$ ${\displaystyle P(k,n,\mathbf {R}}}$와 $k$의$Grassmannian$ Gr($k$${\displaystyle ,{}^{}}$ ${\displaystyle$k$}$의 \mathbf {Gr}(k$,\mathbf {R}^{$$n})$ -$$$P$ ∈ ${\displaystyle P(k,n,R)}$ ${\$$displaystyle$P(k,n,\$mathbf {R})$를 {\$displaystyle$ P($k$,$n,\mathbf$ {R$})$로 보내어 주어진 ${\displaystyle {}^{}}$의 차원 하위 공간 ${\$displaystyle $P\in$P(k,n,\mathbf ${R})}$ 사이에 사영적 대응 관계가 있습니다.$k$ ${\displaystyle k}$ - ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}$의 차원 부분공간은 열에 의해 확장되며, 반대로 ∈ ${\displaystyle \mathbf{Gr}}$(${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})}$인 원소를 투영 행렬로 보냅니다.

${\displaystyle P_{w}:=\sum _{i=1}^{k}w_{i}w_{i}^{T}}$

여기서$$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle }$⋯${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {wk}_{}}$ ${\displaystyle (w_{1},\cdots,w_{k}}}$은 $w$ ⊂ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle w\subset \mathbf {R}^{n}$에 대한 정규 표준 기저이며$,$ 실제 $n개$의 ${\displaystyle n}$개의 성분 열 벡터로 볼 수 있습니다.

유사한 구성은 복소수 Grasmannian ${\displaystyle \mathbf{Gr}}$(${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {Gr} (k$${\displaystyle ,\backslash }$$mathbf {C}^{n}}}$에 적용되며$,$ 이는 복소수 $n{\displaystyle }$× ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$ $행렬$의 부분 $집합$P (${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle n,}$ C${\displaystyle )}$⊂ ${\displaystyle M}$ (${\displaystyle n}$, $) {\displaystyle P$ $(k,$n,\mathbf {$C})\$${\displaystyle \mathrm{subset}}$ $M$(${\displaystyle n}$$,$${\displaystyle c)}$ ${\displaystyle P\i$$nM(n,\mathbf {C})}$ 충족$$

• ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$은(는$)$ 투영 연산자입니다.${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{P2}}$ $=$ P ${\displaystyle$ P${\displaystyle ^}$${2$}= $P}.$
• ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$은(는) 자기 인접 관계(Hermitian)입니다.${\displaystyle P^{}}$ † $=$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle$ P$^{\da$}=$P$
• ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$의 ${\displaystyle \mathrm{추적기}}$${\displaystyle (}$${\displaystyle \mathrm{P})}$ $=$ ${\displaystyle \mathrm{k}}$ ${\displaystyle {\rm {tr$${\displaystyle \}}$$(P$)=$k$

여기서 에르미트 내부 곱 ⟨ ⋅에 대해 자기 인접성이 있는 경우${\displaystyle }$표준 기저 벡터$$(${\displaystyle {e1}_{}}$ ⋯,$)$ {\$displaystyle (e_{1},\cdot, e_{n})}$가 정칙인 $displaystyle \langle \,\cdot \,\rangle }$을 ⋅ ⟩합니다.복소수 $k$ ${\displaystyle k}$ -차원 부분공간 $w$ ⊂ ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle w\subset \mathbf {C}^{n}$ 위의 직교 투영 $행렬$ ${\displaystyle {Pw}_{}}${\$displaystyle P_{w}$ 공식은 다음과 같습니다. ($w_{${k$}) {\displaystyle$

${\displaystyle P_{w}:=\sum _{i=1}^{k}w_{i}w_{i}^{\dagger }}}$

균질한 공간으로서의 그라스마니안

그래스마니안에 기하학적 구조를 부여하는 가장 빠른 방법은 균일한 공간으로 표현하는 것입니다.먼저, $일반$ 선형 그룹 ${\displaystyle \mathrm{GL}}$ ${\displaystyle (V)}$ ${\$$displaystyle {GL}$ ($V))$이$$V {\$displaystyle$ V}의 k ${\displaystyle k}$ 차원 부분 공간에 대해 과도적으로 작용한다는 것을 기억하십시오$.$ 따라서 $w$ ⊂ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle$ w$\$subset V$}$이(가) ${\displaystyle k}$ $차원$ ${\displaystyle$ k$}$의 $V$ ${\displaystyle$ V$} 부분$ 공간이고 H = ${\displaystyle \mathrm{st}}$ a ${\displaystyle \mathrm{b}}$ (${\displaystyle }$)${\displaystyle$H =\$mathrm {sta$$b}(w)}$은(는) 이 동작에 따른 안정화입니다.

${\displaystyle \mathbf {Gr}(k,V)=\mathrm {GL}(V)/H}$

기본 필드가 $R{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ 또는$$ $C{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$이고 ${\displaystyle \mathrm{GL}(V)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL}(V)}$이(가) Lie 그룹으로 간주되는$$ 경우 이 구성을 통해 Grassmannian을 매끄러운 다양체로 만듭니다.더 일반적으로, 접지 필드 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 대해$,$ ${\displaystyle \mathrm{GL}}$(${\displaystyle V)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ 그룹은$$ 대수적 그룹이며, 이 구성은 그라스마니안이 비단수 대수적 다양체임을 보여줍니다.풀러커 임베딩의 존재로부터 그라스만니안이 대수적 다양성으로서 완전하다는 것이 뒤따릅니다.특히 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$는 ${\displaystyle \mathrm{GL}(V)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL}(V)}$의 포물선 부분군입니다$.$

$R{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ 또는$$ $C{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ 이상에서는 다른 그룹을 사용하여 이 구성을 수행할 수도 있습니다$$.$R{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$에 대해 이 작업을 수행하려면 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에서 내부 제품 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$을(를) 수정하십시오$.$직교 그룹 $O{\displaystyle (V}$,${\displaystyle q)}$ ${\displaystyle O(V,q)}$가 k차원 $부분$ 공간 $Gr$(k${\displaystyle ,V)}$ ${\$$displaystyle \mathbf {Gr}(k,V)}$ 집합에 대해 과도적으로 작용하고 k {\$displaystyle$ $k}$ - 공간 w$$⊂ $V}$의 안정기는

${\displaystyle O}$(${\displaystyle w}$,${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$× ${\displaystyle O}$(${\displaystyle {}^{}{{\perp ,}^{}}_{}{}_{}}$ ⊥${\displaystyle {{}^{}}_{}}$) ${\displaystyle$ O$(w,q_{w})\times O(w^{\perp}},q_{w^{\perp$

여기서 $w$ ⊥ ${\displaystyle$ w$^{\perp }}$는 $V$ ${\displaystyle V}$에 $있는$ w$${\$displaystyle w}$의 직교 여집합입니다$.$ 이것은 동차 공간으로 설명합니다.

${\displaystyle \mathrm{Gr}}$ (${\displaystyle k,\mathbf{}}$V )$=$ O${\displaystyle }$( ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle q}$)${\displaystyle }$/${\displaystyle }$( O${\displaystyle }$( ${\displaystyle w}$,${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$× ${\displaystyle O\mathbf{}}$( ${\displaystyle {}^{}{{\perp ,}^{}}_{}\mathbf{}{}_{}}$ w ⊥${\displaystyle {{}^{}}_{}}$)${\displaystyle \mathbf {Gr} ($) = $O(V,q)/\left$

$V$ = R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$V =\$mathbf {R} ^{n}$ 와 $w$ = R ${\displaystyle {}^{}}$ ⊂ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle$w =\$mathbf {R}$ ^{$k}\$subset$\mathbf {R}$^{$n}$ 를 취하면 동형 사상을 얻습니다.

${\displaystyle \mathbf {Gr}(k,\mathbf {R}^{n})=O(n)/\left(O(k)\times O(n-k)\right)}$

C 위에서 에르미트 내부 곱 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$을$($를) 선택하면 유니터리 그룹 $U{\displaystyle (V,}$ ${\displaystyle h)}${\$displaystyle U(V,h)}$이(가) 과도적으로 작용하여$$ 유사한 결과를 얻습니다.

${\displaystyle \mathbf {Gr}(k,\mathbf {C}^{n})=U(V,h)/\left(U(w,h_{w})\times U(w^{\perp},h_{w^{\perp}})\right)}$

또는 $V$ = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$V =\$mathbf {C} ^{n}$ 및 $w$ = ${\displaystyle {}^{}}$ ⊂ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$w =\$mathbf {C} ^{k}\$subset$\mathbf {C} ^{n$

${\displaystyle \mathbf {Gr}(k,\mathbf {C}^{n})=U(n)/\left(U(k)\times U(n-k)\right)}$

특히, 이것은 그라스만니안이 콤팩트하고 (실제 또는 복잡한) 차원 k(n - k)임을 보여줍니다.

그라스마니안의 계략

대수기하학의 영역에서 그라스마니안은 그것을 대표적인 함수로 표현함으로써 도식으로 구성될 수 있습니다.^[4]

대표기능기

$E{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 스킴 S의 준간섭성 스킴이라고 하자$$.양의 정수 k를 고정합니다.그 다음 각 S-scheme T에 그라스만 함수는 다음의 계수 모듈 집합을 연결합니다.

지역적으로 T에서 k위를 받지 않습니다.우리는 이 집합을 ${\displaystyle \mathbf{Gr}}$ ${\displaystyle (k,}$ $)$ {\$displaystyle$ \$mathbf$ {$Gr} (k,{\mathcal {E}}_{$$T$

이 함수는 분리된 S-scheme ${\displaystyle \mathbf{Gr}}$ ${\displaystyle (k,}$ ${\displaystyle E)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} ($k, ${\mathcal {E})}$로 표시됩니다$.$후자는 $E{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 유한 생성되면 투영형입니다.S가 장 K의 스펙트럼일 때, 면 $E{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\${\$mathcal {E}}$는 벡터 공간 V에 의해 주어지며$$, 우리는 V의 이중 공간의 일반적인 Grasmann 다양성, 즉 Gr(k, V^∗)을 복구합니다.

구성에 의해, 그라스만 체계는 기저 변화와 양립할 수 있습니다: 임의의 S'에 대해, 우리는 정준 동형을 갖습니다.

특히, S의 임의의 점에 대하여, 정규 형태론 {s} = Spec(K(s)) → S는 잔차 필드 K(s)에 대해 섬유 ${\displaystyle \mathbf{Gr}(k,}$ ${\displaystyle E)}$의 ${\displaystyle \mathbf {Gr}(k$, ${\mathcal {E})_{s}$에서 통상적인 $Grassmannian{\displaystyle \mathrm{Gr}(k}$, E$$⊗ ${\displaystyle {{OS}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}(s))}${\$displaystyle$ \$mathbf$ {Gr$}(k,$ {\$mathcal$ {$E}})\otimes _{O_{S}K(s)}$로 동형을 유도합니다.

유니버설 패밀리

그래스만 체계는 함수를 나타내므로$,$ ${\displaystyle \mathbf{Gr}(k,}$ ${\displaystyle {\mathbf{EGr}(k,}_{}}$ ${\displaystyle \mathcal$ ${G}},$ {\displaystyle \mathbf ${Gr} \left(k$, ${\mathcal {E}}$_{\$mathbf {Gr}(k$, ${\mathcal {E}})\right), 따라서$ ${\displaystyle {\mathbf{Gr}(k,}_{}}$ ${\displaystyle {E)}_{}}$의 몫 $모듈$ G ${\$displaystyle {\$mathcal {G}}},$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr}(k$, ${\mathcal {E}})},$${\displaystyle \mathbf{Gr}(k,}$ ${\displaystyle E)}$ ${\displaystyle$ $k}$에서 $로컬$로 자유로운 ${\displaystyle$ \$mathbf${Gr}(k, {\$mathcal {E}})$입니다$.$몫 동형 사상은 사영 다발로부터 닫힌 몰입을 유도합니다.

${\displaystyle \mathbf {P}({\mathcal {G}})\to \mathbf {P} \left ({\mathcal {E}_{\mathbf {G}}\right)=\mathbf {P}({\mathcal {E}})\times _{S}\mathbf {Gr}(k,{\mathcal {E}).}$

S-scheme의 형태론에 대하여:

${\displaystyle T\to \mathbf {Gr}(k,{\mathcal {E}),}$

이 닫힌 몰입은 닫힌 몰입을 유도합니다.

${\displaystyle \mathbf {P}({\mathcal {G}}_{T})\to \mathbf {P}({\mathcal {E})\times _{S}T.}$

반대로, 그러한 닫힌 몰입은 ${\displaystyle {OT}_{}}$ ${\$ - ${\displaystyle {ET}_{}}$ ${\$의 모듈의 주관적 동형에서 나옵니다.$T}:$ 랭크 $k$ {\$displaystyle k}$ 의 로컬 자유 모듈에$.$^[5] ${\displaystyle \mathbf{따라서}}$, Gr ${\displaystyle (k\mathcal{},}$ E${\displaystyle }$)${\displaystyle }$(${\displaystyle T)}$ ${\displaystyle {Gr} ($k, ${\mathcal {E}})$ ($T)}$ 의 요소는 $정확히$ P${\displaystyle }$(${\displaystyle E){}_{}}$× S ${\displaystyle {}_{}}$에서 랭크$$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 의 투영 부분군입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {E})\times _{S}T.$

이 식별 하에서, ${\displaystyle T}$ =$$S${\displaystyle$T = S$}$ 가 $필드$ K ${\displaystyle K}$ 의 스펙트럼이고 $E$ ${\displaystyle {E}}$ 가 벡터 $공간$ V ${\displaystyle V}$ 에 의해 주어졌을 때$,$ 유리점 ${\displaystyle \mathbf{Gr}}$ ${\displaystyle (k,}$ E${\displaystyle }$)${\displaystyle }$(${\displaystyle K}$) ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k$, ${\mathcal {E}}$ ($K)}$ 가 차원의 투영 선형 부분 $공간$에 해당합니다.${\displaystyle -}$$P{\displaystyle \mathbf{}(V)}$ {\$displaystyle k-1}$ ${\displaystyle \mathbf {P}(V)}$의 ${\displaystyle$ k-1}$$및 $P{\displaystyle \mathbf{}(G)(}$K$) {\$displaystyle $\mathbf {$P}({\$mathcal {G})(K)$의 이미지

$\mathbf {P}(V)\times _{K}\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})$

세트입니다

${\displaystyle \left\{(x,v)\in \mathbf {P}(V)(K)\times \mathbf {Gr}(k,{\mathcal {E})(K)\mid x\in v\right\}}$

플뤼커 임베딩

플뤼커 임베딩은 그라스마니안 ${\displaystyle \mathrm{Gr}}$ (k, V)$$${\$$displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf{번째}}$ $외부$ 전력 λk V${\$displaystyle k}${\displaystyle {번째}^{}}$ 외부 전력 {\$displaystyle$\$Lambda$ $^{k}V}$의 투영화에 자연스럽게 포함됩니다$.$

$\iota :\mathbf {Gr} (k,V)\to \mathbf {P} \left(\Lambda^{k}V\right).$

$w$ ⊂ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle w\subset V}$을(를) $n$ ${\displaystyle n}$ 차원 벡터 $공간$ V ${\displaystyle V}$의 $k$ ${\displaystyle k}$ 차원 부분 공간이라고 가정합니다$.$ ι${\displaystyle (w)}$ ${\displaystyle \iota(w)}$을(를) 정의하려면$$$w$ ${\displaystyle$ w$}$에 대한 기본$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$⋯${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {wk}_{}}$ ${\displaystyle (w_{1},\cdots,w_{k})$을 선택하십시오$.$그리고 ι${\displaystyle }$(${\displaystyle w)}$ ${\displaystyle \iota(w)}$를 다음과 같은 기본 요소의 쐐기곱이라 하자:

여기서${\displaystyle }[$⋅${\displaystyle [\,\cdot \,]}$은 투영 동치 클래스를 나타냅니다.

$w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$에 대한 다른 기저는 다른 웨지 곱을 제공하지만$$, 이 둘은 0이 아닌 스칼라 배수(기저 행렬의 변경 결정 변수)로만 다를 것입니다.오른쪽은 투영된 공간에서 값을 취하므로 ι ${\displaystyle \iota}$이(가) 잘 정의됩니다.임베딩인지 확인하려면 w ${\displaystyle w}$을(를) ι${\displaystyle (w)}$ ${\displaystyle \iota(w)}$에서 모든 벡터 ${\displaystyle v}$ ∈ V ${\displaystyle v\in V}$ 집합의 스팬으로 복구할 수 있습니다.

${\displaystyle v}$ ∧ $ι$( ${\displaystyle w}$ )$=$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyl$edge $\iota$)=$0}$입니다$.$

플뤼커 좌표와 플뤼커 관계

그라스만니아의 플뤼커 임베딩은 플뤼커 관계라고 불리는 단순한 2차 관계의 집합을 만족시킵니다.이것들은 그라스마니안 ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle V)}$ ${\displaystyle \mathbf${${\displaystyle {}^{}}$$} _{k}(V))$가 $V$ ${\displaystyle k}$번째 외부 전력의 $투영$ $P$( λ$K$ V) $displaystyle \mathbf {P}(\Lambda ^{k}V)$의 비단수 투영 대수 하위 변수로 포함됨을 보여주며 그라스마니안을 구성하기 위한 또 다른 방법을 제공합니다.Pücker 관계를 설명하려면 $V$ ${\displaystyle V}$에 대해 기저$({\displaystyle {e1}_{}}$,${\displaystyle }$⋯${\displaystyle ,}$${\displaystyle }$$)$ {\$displaystyle (e_{1},\cdots,e_{n})}$을$($를${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle w\subset$ V$}$인 k $\{\backslash {\displaystyle {displaystyle}_{}}$ k} - $기저$(${\displaystyle {}_{}}$, ⋯$,$$wk$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ V$}$의 차원 부분공간을 ${\displaystyle$ k}이라고 합니다.$$(${\displaystyle {wi}_{}}$$$${\displaystyle 1_{}}$ ⋯${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\mathrm{win}}_{}}$ ${\displaystyle$($w_1},\cdots, w_{k}}$라고 합니다.$w_{i1},\cdots,w_{in}}$는 선택한 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 기저에 대한$$ ${\displaystyle {wi}_{}}$ ${\$의 성분이며$,$ (${\displaystyle {W1\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \dots ,{Wn}^{}}$ ${\$$displaystyle$$$($W$$^{1},\dots,W^{n$$})}$ $k개$의 성분$$ 열 벡터는 해당하는 동차 좌표 행렬의 전치를 형성합니다$.$

${\displaystyle W^{T}=[W^{1}\,\cdots W^{n}]={\begin{bmatrix}w_{11}&\cdots &w_{1n}\\vdots &\wdots \\w_{k1}&\cdots &w_{kn}\end{bmatrix}}$

순서가 매겨진 <⋯ $k$$≤$ n {\$displaystyle$ $1$$\$$leq$ i_${1}<\cdots <i_{k}\leq$ n$},$ ${\displaystyle {wi}_{}}$ ${\displaystyle {\dots ,{ik}_{}}_{}}$ {\$displaystyle w_{i_{1},\dots,$i_${k}}$를 열이 있는 $k{\displaystyle }$× ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\times$ k$}$ 행렬의 행렬식으로 지정합니다$$[${\displaystyle {}^{}}$ $1$, ${\displaystyle \dots ,{}^{}}$ $k$] ${\displaystyle$ [W$^{i_{1}},\dots$W$^{$i_${k}}.$ …, k < ⋯< i ${\displaystyle \{w_{i_{1},\dots,i_{k}}\,\vert \,1\leq i_{1}<\cdots$<${\displaystyle \mathrm{i\_}}$${k}\leq n\}}$을(를$)$${\displaystyle }그라스만니안$의${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$$${\$displaystyle (e_{1},\cdots,$$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ V$})$의 $e_{n}}.$$이$ 좌표는 V ${\displaystyle V}$의 기저 {e, ..., e}에 의해 생성된 $외부$ 전력 λ$k$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$$w}$의 기저 {e, ..., e$}$ 공간에 대한 이미지${\displaystyle }$ι(w) {\$displaystyle \iota$$(w$$)}$의 선형 좌표입니다$.$ $w$ ${\displaystyle w}$에 대한 기저의 변경은 곱셈을 발생시키므로0이 아닌 상수(기저행렬의 변화의 결정요인)에 의한 Pl\cker 좌표 중 이것들은 투영 동치까지만 정의되므로 $P$ (${\displaystyle }$λ ${\displaystyle K^{}}$ ${\displaystyle {}^{})}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)}$의 한 점을 결정합니다$.$

$임의$의 두 순서 시퀀스 ${\displaystyle }$ 1< i ⋯< - ${\displaystyle 1\leq i_{1}< i_{2}\cdots$< $i_{k-1}\leq n}$ 및 j < j ⋯< j + ${\displaystyle 1\leq j_{1}< j_{2}\cdots <j_$${$$k+1$$}\$$cdots$ <j_${$k+1}}, k + 1 ${\displaystyle \{\backslash \mathrm{displaystyle}}$ $k+1}$ 양의 ${\displaystyle \mathrm{정수}}$로 알려져 있습니다.s 플뤼커 관계 또는 플뤼커-그래스만 관계는 유효하며, 플뤼커 맵 임베딩 아래에서 ${\displaystyle {\mathbf{이미지}}_{}}$ι$($(V)) {\$displaystyle \iota$ (\$mathbf {Gr} _{k}(V))}$의 이미지 ι${\$$displaystyle$ \$mathbf {Gr} _{k}(V))$를 결정합니다.

${\displaystyle \sum _{l=1}^{k+1}(-1)^{\ell }w_{i_{1},\dots,i_{k-1},j_{l}}w_{j_{1},\dots,{\widehat {j_{l}},\dots j_{k+1}}=0,}$

여기서 $j{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle j\stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{l_{}}}$ ${\displaystyle ^,}$… j ${\displaystyle {\mathrm{k}}_{}}$+${\displaystyle {}_{}}$1 ${\$${\displaystyle {ldots}_{}}$ $j_{k+1}}$는 ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$ldots,j_{k+1}}$라는 용어가 생략된$$$$ $수열$을 나타냅니다$$.이들은 일관성이 있어 비단수 프로젝트 대수적 다양성을 결정하지만 대수적으로 독립적이지는 않습니다.ι(${\displaystyle w}$) ${\displaystyle$ \$iota$$($w$)}이($$가$) λ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ \$Lambda^{k}V}$의 완전히 분해 가능한 요소의 투영이라는 문장과 같습니다.

${\displaystyle \dim }$ ⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle V)}$ = ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \dim(V$)=$4$ $k$ = ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle$k=$2}($투영 공간이 아닌 가장 간단한 Grassmannian)일 때 위의 내용은 단일 방정식으로 줄어듭니다.이미지 ι${\displaystyle }$(${\displaystyle {\mathbf{Gr}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle V))}$ ⊂ P ($$λ 2 ${\displaystyle {}^{})}$ ${\displaystyle \iota (\mathbf {Gr} _{2}(V))\subset \mathbf {P} (\Lambda ^{2}V$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (w_{12},$이 단일 Pl\"uker 관계는

${\displaystyle w_{12}w_{34}-w_{13}w_{24}+w_{14}w_{23}=0.}$

일반적으로, 플뤼커 임베딩 아래에서 $P$ (${\displaystyle }$λ ${\displaystyle {}^{}}$ V${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)}$의 이미지 ι${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle V))}${\$displaystyle \iota$(\$mathbf {Gr} _{k}(V))$를 정의하려면 더 많은 방정식이 필요합니다.

이중성

모든 $k$ ${\displaystyle k}$ - 차원 부분공간 ${\displaystyle W}$ ⊂ V ${\displaystyle W\subset V}$은(는)$$$V$ ${\displaystyle V}$의 (${\displaystyle n}$- $)$ {\$displaystyle (n-k))$- 차원 몫공간 $V{\displaystyle /W}$ ${\displaystyle V/W}$을(를) 결정합니다$.$ 이렇게 하면 자연스럽게 짧은 정확한 순서가 나옵니다.

${\displaystyle 0\right arrow W\right arrow V\right arrow V/W\right arrow 0}$

이 세 공간 각각에 이중을 적용하고 이중 선형 변환을 적용하면 계수 $W$ ∗ ${\$$displaystyle(V/W)^{*}$의$$$V$ ∗ ${\displaystyle$ V^{*}에 (V$/$W)${\displaystyle {}^{}}$∗ ${\$$displaystyle$ W$^{*}$가 포함됩니다.

${\displaystyle 0\rightarrow(V/W)^{*}\rightarrow V^{*}\rightarrow W^{*}\rightarrow 0.}$

이중 이중 이중성을 가진 유한 차원 벡터 공간의 자연 동형을 사용하면 이중성을 취하는 것이 원래의 짧은 정확한 시퀀스를 다시 회복한다는 것을 보여줍니다.$따라서{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k}$ - $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 차원$$ 부분 공간과 $({\displaystyle n}$- k${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (n-k))$ {\displaystyle (n-k)} - $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 차원 부분 공간 사이에는 일대일 대응 관계가 있습니다$.$ Grassmannian의 관점에서, 이것은 표준 동형 사상을 제공합니다.

${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)\왼쪽 오른쪽 화살표 \mathbf {Gr} {(n-k),V^{*}}$

각 부분공간 ${\displaystyle W}$ ⊂ V ${\displaystyle W\subset V}$의 소멸기 $W$ ${\displaystyle 0^{}}$ ⊂ ${\displaystyle {}^{}}$ ∗ ${\displaystyle$ W$^{0}\subset$ V$^{*}.$$V$ ∗가${\displaystyle$ V$^{*}$인 $V$ ${\displaystyle V}$의 동형을 선택하면 ${\displaystyle {}_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle V)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)$와 ${\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle k_{}}$(${\displaystyle V)}$ ${\displaystyle$ V} 사이의 (비정규) 동형을 결정합니다.$\mathbf {Gr} _{n-k}(V$ $V$ ${\displaystyle V}$와 $V$ $∗$ ${\displaystyle V^{*}$의 동형은 내부 곱의 선택과 같으므로, 선택한 내부 곱에 대하여,이 그래스만니안의 동형 사상은 $임의$의 k ${\displaystyle k}$차원$$ 부분 공간을 그것의 $({\displaystyle n}$- ${\displaystyle k)}$ ${\displaystyle ($n - k$)}$차원 직교 상보로 보냅니다.

슈베르트 세포

그라스만니안에 대한 상세한 연구는 열거 기하학에서 처음 적용된 슈베르트 세포라고 불리는 아핀 부분공간으로의 분해를 사용합니다.${\displaystyle {}_{}V}$${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle$$$\$mathbf$${Gr} _{k}(V)}$에 대한 슈베르트 셀은 부분 공간 V ${\displaystyle 1_{}}$ ⊂ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ⊂ ⋯ ⊂ V ${\displaystyle n_{}}$ = ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{1}\부분$ 집합 $V_{2}\부분$ 집합 $\cdots \$subset$V_{n$} = V$} 차원$ ${\displaystyle \dim }$($V_{i$})$$=$i}$에 대한 슈베르트 셀 정의입니다$.$ 임의의 파티션에 대해

${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\cdots,\lambda _{k})}$

무게가 있는

${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}}$

약하게 감소하는 음이 아닌 정수로 이루어진

${\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{k}\geq 0,}$

(n -${\displaystyle k^{}}$k ${\displaystyle (n$ - k$)^{k},$슈베르트 셀 $X$ λ ${\displaystyle {}_{}k,}$ ${\displaystyle n)}$ ⊂ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle V)}$ ${\displaystyle X_{\lambda }(k,$$n)\subset \mathbf {Gr} _{k}(V$${\displaystyle {}_{}}$은${\displaystyle (}$는${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\mathbf{부분}}_{}}$ 공간${\displaystyle }${$Vi$ ${\displaystyle$ $W\in \mathbf${$Gr}$ $_{$$k}($$V)}$과(는$$) 다음과 같은 차원을 갖는$$ $요소$로 구성됩니다$$.

${\displaystyle X_{\lambda }(k,n)=\{W\in \mathbf {Gr} _{k}(V)\, \,\dim(W\cap V_{n-k+j-\lambda _{j}}=j\}}$

이것들은 아핀 공간이고, 그들의 폐쇄는 슈베르트 품종으로 알려져 있습니다.

기법의 예로, R의 k차원 부분공간의 그라스마니안 ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \chi _{k,n}}$ ${\displaystyle {Gr} _{k}(\mathbf {R}^{n})$의 오일러 특성 χ ${\displaystyle k_{}}$를${\displaystyle {\mathrm{결정}}_{}}$하는 문제를 생각해 보십시오.$1$ ${\displaystyle 1}$ 차원 부분공간 $R$ ⊂ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} \subset \mathbf {R}^{n}}$을(를) R을 포함하는 k 차원 부분공간과 포함하지 않는 k 차원 부분공간으로 ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R}^{n})$의 분할을 고려합니다.전자는 ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$(${\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ )$${\$displaystyle \mathbf {Gr} _{k-1}(\mathbf {R}^{n-1$${\displaystyle {}^{}}$이고 후자는 ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}{\mathrm{Rn}}^{}}$ ${\displaystyle {-}^{}}$ 1$)$ {\$displaystyle$ \$mathbf {Gr}$ _${k$}(\$mathbf${R$}^{n-1})}$ 위의 $순위{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k}$ 벡터$$ 번들입니다$.$이것은 다음과 같은 재귀적 공식을 제공합니다.

${\displaystyle \chi _{k,n}=\chi _{k-1,n-1}+(-1)^{k}\chi _{k,n-1},\qquad \chi _{0,n}=\chi _{n,n}=1.}$

이러한 재귀 관계를 푸는 공식은 $다음$과 같습니다:${\displaystyle {}_{}}$χ k${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$ = 0 {\$displaystyle \chi$ _${k,$n}=0, n {\displaystyle $k}$가 $짝수$이고$$k {\$displaystyle$ k$}$가 홀수이면

${\displaystyle \chi _{k,n}={\begin{pmatrix}\left\l바닥 {\frac {n}{2}}\right\rf바닥 \\l바닥 {\frac {k}{2}}\right\rf바닥 \end{pmatrix}}}$

그렇지않으면.

복잡한 그라스마니안의 코호몰로지 고리

복잡한 Grassmann 다양체 ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}{}^{}}$) ${\displaystyle {Gr} _{k}(\mathbf {C}^{n})}$의 모든 점은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -공간에서$$ k ${\displaystyle k}$ -평면을$$ 정의합니다$$.이 평면들을 그라스만식으로 섬유화하면 투영 공간의 타우토학적 번들을 일반화하는 벡터$$ 번들 E ${\displaystyle E}$에 도달합니다.마찬가지로$,{\displaystyle }$ 이 ${\displaystyle \mathrm{평면들}}$의${\displaystyle (}$n$$- k) {\$displaystyle$ (n-k$)}-$차원$$ 직교 보체는 직교 벡터 $다발{\displaystyle }$ F ${\displaystyle F}$를 산출합니다$.$ 그라스마니안들의 적분 코호몰로지는 $환$으로서 E ${\displaystyle E}$의 체른 클래스에 의해 생성됩니다$.$ 특히,모든 적분 코호몰로지는 투영 공간의 경우처럼 균등한 정도입니다.

이 생성기들은 링을 정의하는 일련의 관계에 종속됩니다.정의 관계는 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$ $및{\displaystyle }$ F$$ ${\displaystyle F}$의 Chern 클래스로 구성된 더 큰 생성기 집합에서 쉽게 표현할 수 있습니다$.$ 그러면 관계는 $번들{\displaystyle }$E {\$displaystyle E}$ $및{\displaystyle }$F {\$displaystyle$ F$}$의 직접 합이 사소하다고만$$ 말합니다.총 체른 클래스의 함수성은 이 관계를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle c(E)c(F)=1.}$

양자 코호몰로지 고리는 에드워드 위튼에 의해 베를린데 대수와 그라스마니안의 코호몰로지에서 계산되었습니다.생성기는 고전적 코호몰로지 고리와 동일하지만, 최상위 관계는 다음과 같습니다.

${\displaystyle c_{k}(E)c_{n-k}(F)= (-1)^{n-k}}$

2n ${\displaystyle 2n}$의 페르미온 영 modes를 $가진$ 인스턴트의 해당 양자장 이론에서 존재를 반영하며, 이는 상태에 해당하는 코호몰로지의 정도를 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle 2n}$개의 단위로 위반합니다.

연관측량

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가$)$ {\$displaystyle n}$차원 유클리드 공간일 때${\displaystyle ,}$ 우리는 다음과 같은 방법으로$$ ${\displaystyle {}_{}}$($V)$ {\$displaystyle {Gr}$ _${k}(V))$에 대한 균일한 측도를 정의할 수 있습니다.θ${\displaystyle }$$n$ ${\displaystyle$ \$theta$ _${n}}$을(를) 직교 $그룹$ O(${\displaystyle n)}$ ${\displaystyle O(n)}$의 단위 Haar 측도라고 하고 ∈ $Grk$ (${\displaystyle {}_{}}$ $displaystyle$ w$\in \mathbf$ {Gr} $_{k}(V)$를 ${\displaystyle \mathrm{고정}}$합니다$.$그런 다음 집합 $A$ ⊂ ${\displaystyle {\mathbf{Grk}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ A$\subset$ \$mathbf$ {$Gr}$ $_{k}(V)$에 대해 정의합니다.

${\displaystyle \gamma _{k,n}(A)=\theta _{n}\{g\in \operatorname {O}(n):gW\in A\}}$

이 측도는 그룹 O${\displaystyle (n)}$ ${\displaystyle O(n)}$의 작용 하에서는 불변합니다$.$ 즉,

${\displaystyle \gamma _{k,n}(gA)=\gamma _{k,n}(A)}$

${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $g$ ∈ O${\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle g\in O(n)}.$θ n${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle O}$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle$ \$theta$ _{$n}(O($${\displaystyle {\mathbf{n}}_{}}$$))$=$1이므로$γ ${\displaystyle {k,}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ (Grk (${\displaystyle V))}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$\gamma $_{k,n}(\mathbf {Gr} _{k}(V$))= 1$}$을 $갖습니다$ 또한 γ ${\displaystyle {k,}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle$\gamma $_{k,$$n}}$은 메트릭 공간 토폴로지에 대한 라돈 측정값이며 동일한 반경의 모든 공(이 메트릭에 대해)이 동일한 측정값이라는 점에서 균일합니다.

오리엔티드 그라스마니안

이것은 모든 $방향{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k}$ - ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 차원$$ 부분 공간으로 구성된 다양체입니다$.$ 이것은 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{$k$}$ (\$mathbf {R}$^{$n})$의 이중 커버이며$$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{Gr}}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$($)$ {\$displaystyle {\mathbf {Gr}}}_{k}(\mathbf {R} ^{n})$로 표시됩니다$.$

균질 공간으로서 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

${\displaystyle {\widetilde {\mathbf {Gr}}}_{k}(\mathbf {R}^{n})=\operatorname {SO}(n)/(\operatorname {SO}(k)\times \operatorname {SO}(n-k))}$

적용들

Grassmannians의 핵심 응용은 콤팩트한 다양체에 연결이 있는 번들을 위한 "보편적" 임베딩 공간입니다.^[7][8]

카돔체프-페트비아슈빌리 방정식의 해는 무한 차원 그라스만 다양체 위의 아벨리안 군 흐름으로 표현될 수 있습니다.^[9][10][11]타우 함수(적분 시스템) 측면에서 히로타이선형 형태로 표현된 KP 방정식은 플뤼커 관계와 동등합니다.^[12][13]양의 그라스만 다양체는 KP 흐름 매개 변수의 실제 값에 대해 비특이적인 KP 방정식의 솔리톤 해를 표현하는 데 사용될 수 있습니다.^[14][15]

실제 또는 복잡한 스칼라 곱과 관련된 최대 등방성 그라스만은 카르탕의 스피너 이론과 밀접한 관련이 있습니다.^[16]카르탕 임베딩 하에서, 그들의 연결된 구성 요소는 투영된 최소 스피너 궤도와 동일하게 동형이며, 스핀 표현 하에서, 소위 투영 순수 스피너 버라이어티라고 불리는, 플뤼커 맵 임베딩의 이미지와 유사하게, 다수의 쿼드릭스인 카르탕 쿼드릭스의 교차점으로 잘라냅니다.^[16][17][18]

그래스만 다양체는 비디오 기반 얼굴 인식 및 모양 인식의 컴퓨터 비전 작업에 응용할 수 있습니다.^[19]그랜드 투어라고 알려진 데이터 시각화 기술에서도 사용됩니다.

그래스마니안은 아원자 입자의 산란 진폭이 진폭면체라고 불리는 양의 그래스마니안 구조를 통해 계산될 수 있도록 합니다.^[20]

참고 항목

• 슈베르트 미적분학
• 미분기하학에서 그라스마니안을 사용한 예는 가우스 지도와 투영기하학에서 플뤼커 좌표를 참조하십시오.
• 깃발 다양체는 그라스만의 일반화이며 슈티펠 다양체는 밀접한 관련이 있습니다.
• 하위 공간의 구분이 주어지면 라그랑지안 그라스마니안과 같은 이러한 하위 공간의 그라스마니안을 정의할 수 있습니다.
• 그래스마니안은 K-이론에서 분류 공간, 특히 U(n)의 분류 공간을 제공합니다.체계의 호모토피 이론에서 그라스마니안은 대수적 K-이론과 유사한 역할을 합니다.^[21]
• 아핀 그라스마니안
• 그라스만 다발
• 그라스만 그래프

메모들

참고문헌

• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994). Principles of algebraic geometry. Wiley Classics Library (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons. p. 211. ISBN 0-471-05059-8. MR 1288523. Zbl 0836.14001.</ref>

• Hatcher, Allen (2003). Vector Bundles & K-Theory (PDF) (2.0 ed.). 섹션 1.2
• Milnor, John W.; Stasheff, James D. (1974). Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies. Vol. 76. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08122-0. 제5장 내지 제7장 참조
• Harris, Joe (1992). Algebraic Geometry: A First Course. New York: Springer. ISBN 0-387-97716-3.
• Helgason, Sigurdur (1978), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Academic Press, ISBN 978-0-8218-2848-9
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• Mattila, Pertti (1995). Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-65595-1.
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