그라스만 묶음

대수 기하학에서, 대수 체계 X에 있는 벡터 번들 E의 그래스만 d 평면 묶음은 X에 대한 체계다.

$[\displaystyle p:G_{d}(E)\to X}$

${\displaystyle \mathrm{섬유}}$ $p{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ $){\displaystyle$ p$^{-1}(x)=$가 되도록 한다.$G_{d}(E_{x})$는 ${\displaystyle E_{}}$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 d차원 벡터 서브스페이스의 그래스만니안이다$.$ 예를 들어 ${\displaystyle {G1\mathrm{}}_{}E}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle P\mathbb{}(E}$ ) ${\displaystyle G_{1}(E)=\mathb {P}(E)}($E)}}}}}}은 E의 투영사본격이다.다른 방향에서 그라스만 번들은 (부분적인) 깃발 번들의 특별한 경우다.구체적으로는 그라스만 번들을 인용구도로 건설할 수 있다.

보통의 그라스만인과 마찬가지로 그라스만 번들에는 천연 벡터 번들, 즉 범용 또는 tautological subbundle S와 범용 지수 번들 Q가 있다.

${\displaystyle 0}$→ ${\displaystyle S}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ E${\displaystyle }$→ Q${\displaystyle }$→ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0\to S\to p^{*E\to$ Q$\to 0}$.

구체적으로는 V가 섬유⁻¹ p(x) 안에 있는 경우, V에 대한 S의 섬유 자체가 V이므로, S의 등급은 r = rk(E)이며, $\wedge {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle r^{}}$ ${\displaystyle \wedge ^{r}S}$가 결정적인 라인 번들이다.이제 투영 번들의 보편적 속성에 의해, 주사${\displaystyle {}^{injection}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ S${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ r ${\displaystyle {}^{}}$ $){\displaystyle \wedge ^{r}S\to p^{*}(\wedge ^{r}E)}$는 X:에 대한 형태론에 해당한다.

${\displaystyle G_{}}$ ${\displaystyle d{}_{}}$( E${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle P\mathbb{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle E^{}}$) ${\dplaystyle G_{d}(E)\to \mathb {P}(\wedge ^{r}E$

플뤼커 임베딩의 가족일 뿐이지

G_d(E)의 상대 접선 번들 T는_Gd(E)/X 다음과^[1] 같다.

${\displaystyle T_{G_{d}(E)/X}=\Operatorname {Hom}(S,Q)=S^{\vee }\otimes Q,}$

도덕적으로 두 번째 기본 형태에 의해 주어진다.사례 d = 1에서 V가 유한 차원 벡터 공간인 경우, V의 각 라인 l ${\displaystyle$ l$}($P$$ (${\displaystyle V}$ )${\displaystyle \mathb {P}(V)})$에 대해 자연 식별이 있다(예: Chen class#Complex 투영 공간 참조).

${\displaystyle \operatorname {Hom}(l,V/l)=T_{l}\mathb {P}(V)}$

위 내용은 이 신원 확인의 가족 버전이다.(일반적인 돌봄은 이것의 일반화)

사례 d = 1의 경우, S = O(-1)의 이중으로 긴장된 초기 정확한 시퀀스는 다음을 제공한다.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}\to p^{*}E\otimes {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}(1)\to T_{\mathbb {P} (E)/X}\to 0}$,

오일러 수열의 상대 버전이다.

참조

• Eisenbud, David; Joe, Harris (2016), 3264 and All That: A Second Course in Algebraic Geometry, C. U.P., ISBN 978-1107602724
• Fulton, William (1998), Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 2 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323