내인성 메트릭

미터법 공간의 수학적 연구에서는 공간 내 경로의 길거리를 고려할 수 있다. 두 점이 서로 주어진 거리에 있다면, 그 거리와 (또는 매우 가까운) 경사가 같은 길을 따라 첫 번째 지점에서 두 번째 지점까지 갈 수 있어야 한다고 기대하는 것은 당연하다. 내인성 메트릭에 상대적인 메트릭 공간의 두 점 사이의 거리는 첫 번째 지점부터 두 번째 지점까지의 모든 경로 길이의 최소값으로 정의된다. 메트릭 공간은 내재 메트릭이 공간의 원래 메트릭과 일치하는 경우 길이 메트릭 공간이다.

공간에 항상 존재하는 가장 큰 길이(지오데틱)를 달성하는 경로가 존재하는 경우 지오데틱 메트릭 공간 또는 지오데틱 공간이라고 할 수 있다. 예를 들어, 유클리드 평면은 지오데틱 공간이며, 선 세그먼트를 지오데틱으로 한다. 원점이 제거된 유클리드 평면은 지오데틱은 아니지만 여전히 길이 미터법 공간이다.

정의들

Let ${\displaystyle (M,d)}$ be a metric space, i.e., ${\displaystyle M}$ is a collection of points (such as all of the points in the plane, or all points on the circle) and ${\displaystyle d(x,y)}$ is a function that provides us with the distance between points ${\displaystyle x,y\in M}$. We 새 메트릭 ${\displaystyle d_{}}$ $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\$유도 내인성 메트릭으로 $알려진{\displaystyle }$M {\$displaystyle$M$$$}$의 I$}}}:$ d ${\displaystyle I_{}}$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle d_{\text{$$I}}(x,y)}$은(는) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에서 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$까지의 모든 경로 길이의 최소값이다$.$

여기서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에서 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$까지의 경로는 연속형 맵입니다$$.

${\displaystyle \displaystyle \gamma \colon [0,1]\오른쪽 화살표 M}$

${\displaystyle \gamma }$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle \gamma (0)=x$$}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$( 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \gamma (1)=y}.$ 이러한 경로의 길이는 수정 가능한 곡선에 대해 설명한 대로 정의된다$.$ ${\displaystyle {we}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{set}}$ d${\displaystyle {}_{}}$I${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ , y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ d_${\text{$$I{\displaystyle }$$}}(x,y)=\infully }$ x ${\displaystyle x}$에서 $y{\displaystyle }$ ${\displaysty y}($으)로 한정된 길이의 경로가 없는 경우$$$.$ i}(x,y)=\infully }.

${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=d(x,y)}$

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M$의 모든 $점{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$ $및{\displaystyle }$ y$$ ${\displaystyle y}$에 대해 우리는 $({\displaystyle M}$, ${\displaystyle d}$) ${\d)$는 길이 공간 또는 경로 메트릭 공간이며 $메트릭{\displaystyle }$ d ${\d}$은 본질적이라고 말한다.

우리는 M에서{\displaystyle d}어떤ε하는 경우 대략적인 중간 지점이 미터 법 d;0{\displaystyle \varepsilon>0}지점의 집단이){\displaystyle)}및 y{이\displaystyle}{M\displaystyle}이 M에서 c{\displaystyle c}{M\displaystyle}존재한다고 말하는 것과 d(x, c){$\displaystyle d(x,c)}$ 및 $d$(c , y${\displaystyle }$) ${\displaystyle d(c,y)}$은(는)보다 작음$$

${\displaystyle \frac{d}{}}$( x${\displaystyle \frac{}{}}$, y${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$+ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\$(x,y) $\{}+{\varepsilon$ $\}\}\}$ .

예

• 일반 유클리드 메트릭스가 있는$$ 유클리드 공간 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$은 경로 메트릭 공간이다. ${\displaystyle {\mathbb{R}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0\}}$ ${\displaystyle \mathb {R} ^{n}-\{0\}}$도 마찬가지 입니다$$.
• $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle \mathb{R}^{$2}}($$현상 메트릭)의 유클리드 메트릭으로부터 상속된 메트릭을 포함하는$$ 단위 원 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$1}은 경로 메트릭 공간이 아니다. $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ S$^{1}$의 유도 내인성 메트릭스는 거리를 라디안 단위로 측정하며$$, 그 결과 길이 메트릭스 공간을 리만 원이라고 한다. 2차원에서 구체의 화음계측계는 내재가 아니며, 유도 내성계측계는 큰 원 거리에 의해 주어진다.
• 모든 리만 다지관은 두 점의 거리를 두 점을 연결하는 연속적으로 서로 다른 곡선의 길이에 대한 최소값으로 정의함으로써 경로 메트릭스 공간으로 바꿀 수 있다. (리만니아 구조는 그러한 곡선의 길이를 정의할 수 있게 해준다.) 길이가 정의되는 다른 다지관도 마찬가지로 핀슬러 다지관과 리만 서브 다지관을 포함했다.
• 모든 완전하고 볼록한 미터법 공간은 Karl Menger의 결과물인 길이 미터법 공간(Khamsi & Kirk 2001, Orgoria 2.16)이다. 그러나 그 반대는 일반적으로 유지되지 않는다: 볼록하지 않은 길이 메트릭 공간이 있다.

특성.

• 일반적으로 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\$$I}}$ 및$$ $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\$에 의해 정의된 위상$따라서$ I$}}$은(는) $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$에 의해 정의된 것보다 항상 미세하거나 같음$.$
• 공간$({\displaystyle M}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$) ${\displaystyle($M,$d_{\text}{$$I}}}$은(는) 항상 경로 메트릭 공간이며$$(위에서 언급한 바와 같이 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}${\$displaystyle d_{\text{)$$I}}}$은(는) 무한할 수 있다$$.)
• 길이 공간의 미터법은 대략 중간점을 가지고 있다. 반대로 중간점 근사치가 있는 모든 전체 메트릭스 공간은 길이 공간이다.
• 호프-리노 정리는 길이 공간$({\displaystyle M}$, ${\displaystyle d}$) ${\d$ 디스플레이 스타일$(M,d)}$이(가) 완전하고 국소적으로 압축된 $경우{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$의 어떤 두 지점도 최소 지오데틱으로 연결할 수 있으며$$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 모든 경계 폐쇄 세트가 콤팩트하다고 명시하고 있다.

참조

• Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopulos, ed.) 제1권, 908 p, Springer International Publishing, 2018.

• Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopulos, ed.) 제2권, 842 p, Springer International Publishing, 2018.

• Gromov, Mikhail (1999), Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces, Progress in Math., 152, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3898-9
• Khamsi, Mohamed A.; Kirk, William A. (2001), An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory, Wiley-IEEE, ISBN 0-471-41825-0