잔여 매핑

수학에서는 부분 순서 집합의 이론에서 잔류 매핑의 개념이 발생한다.모노톤 함수의 개념을 재조정한다.

A, B가 posets인 경우, f: A → B 함수는 그것이 주문 보존 상태라면, 즉 x y y가 f(x) f f(y)를 내포하는 경우, 단조로움을 정의한다.이는 B의 모든 다운셋의 f 아래의 프리이미지가 A의 다운셋이라는 조건에 해당한다.주 다운셋을 ↓{b} = {b' ∈ B : b' ≤ b }. b } 형식 중 하나로 정의한다.일반적으로 주 다운셋의 f에 따른 사전 이미지가 주 다운셋이 될 필요는 없다.만약 그렇다면 f는 잔류라고 불린다.

잔류 지도 개념은 구성 요소별 잔류물을 통해 이항 연산자(또는 더 높은 아리티)로 일반화할 수 있다.이러한 접근방식은 부분적으로 주문한 마그마에서 좌우분할에 대한 개념을 발생시켜 퀘이시그룹 구조를 추가로 부여한다. (어떤 접근방식은 상위 아리에 대한 잔류 대수만을 말한다.이진(또는 더 높은 경도) 잔류 지도는 일반적으로 단항 지도로서 잔류하지 않는다.^[1]

정의

A, B가 포셋인 경우, 기능 f: A → B는 모든 주요 다운셋의 f에 따른 프리이미지가 A의 주요 다운셋인 경우에만 잔류한다.

결과들

A, B posets로, A → B함수의 집합은 pointwise 오더 f f g ↔ g ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ g g g g ( ( ( ( ( ( (.

f o ⁺ id_B id와 f ⁺ id id_A, 여기서 id가 ID 함수인 f o ≤ id와 같은 (필요적으로 고유한) 모노톤 함수 ⁺ f: B → A가 존재하는 경우에만 f가 잔류한다는 것을 나타낼 수 있다.f함수는 ⁺ f의 잔존성이다.잔여 함수 및 그 잔여물은 그 개념의 (더 최신) 단조 정의에 따라 갈루아 연결부위를 형성하며, 모든 (단조) 갈루아 연결부위에 대해 하부 보조부는 상단 보조부가 되는 잔여물과 함께 잔류된다.^[2]따라서 단조로운 갈루아 연결과 잔류 매핑의 개념은 본질적으로 일치한다.

추가로 f ^-1(↓){b} = ↓{f ⁺(b)}이 있다.

B°가 B에 대한 이중 순서(반대자 포셋)를 나타내는 경우, f : A → B는 이 개념의 원래 반대편 정의에 따라 갈루아 연결을 형성하는 f가 ^* 존재하는 경우에만 잔류 매핑이다 ^*.

f : A → B, g : B → C가 잔류 매핑이라면 함수 구성 fg : A → C, 잔차( ⁺fg) = gf가 ^{+ +} 있는 것이다.반대편 갈루아 연결은 이 속성을 공유하지 않는다.

포셋에 대한 모노톤 변환(기능) 집합은 점 순서와 함께 순서가 정해진 모노이드로, 잔여 변형 집합도 마찬가지다.^[3]

예

• 천장 함수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \rceil }$ ${ display$ {\$displaystyle$x$\mapsto \lceil$ x\rceil $}$이(가) R에서 Z에 자연적으로 내장되는 잔여 매핑과 함께 잔류한다.
• R에 Z를 내장하는 것도 잔류한다.바닥 기능 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \rfloor }$ { { {$\\displaysty$ x\$mapsto \lfloor$$}.$

잔류이진 연산자

• : P × Q → R이 바이너리 맵이고 P, Q, R이 포셋이라면, 좌, 우 번역, 즉 고정 요소에 의한 곱셈에 대해 잔류 성분을 정의할 수 있다.P의 원소 x에 대해서는 λ(y) = x • y를 정의하고, Q에 대해서는 λ_x(y) = y • x를 정의한다.그 다음에 • λ과 λ이_x 모든 x에 대해 (각각 P와 Q에) 잔류하는 경우에만 잔류한다고 한다.왼쪽(각각 오른쪽) 구획은 왼쪽(각각 오른쪽) 번역의 잔차(x\y = (i)⁺ 및 _xx/y = (y_x)(⁺y)를 취하여 정의한다.

예를 들어, 주문된 모든 집단은 잔여물이며, 위에서 정의한 분할은 집단의 분할 개념과 일치한다.덜 사소한 예는 부울대수 B에 대한 제곱 행렬의 세트 Mat_n(B)이며, 여기서 행렬은 점 순으로 정렬된다.점 순서는 점 순서가 Mat_n(B)와 일치, 결합 및 보완을 나타낸다.매트릭스 곱셈은 "제품"이 만남이고, "섬"은 조인인 일반적인 방식으로 정의된다.X^[4]\Y = (YX^t')와 X/Y = (X^t'Y)로 나타날 수 있다. 여기서 X'는 X의 보완물이고 Y는^t 전치 행렬이다.

참고 항목

• 잔여 격자

메모들

참조

• J.C. 데르데리안, "갈루아 연결부와 쌍 알헤브라스", 캐나다 J. 수학. 21 (1969) 498-501.
• Jonathan S. Golan, Semirings 및 Affine 방정식 오버: Kluwer Academy, 2003, 이론과 응용, ISBN1-4020-1358-2.페이지 49.
• T.S. 블라이스, "지도 복원" 순서 1 (1984) 187-204.
• T.S. Blyth, Lattice and Ordered 대수 구조, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5.7페이지.
• T.S. Blyth, M. F. Janowitz, 잔류 이론 Pergamon Press, 1972년 ISBN 0-08-016408-0.페이지 9.
• M. Erné, J. Koslowski, A. Melton, G. E. Strecker, A primer on Galois connections, in: Proceedings of the 1991 Summer Conference on General Topology and Applications in Honor of Mary Ellen Rudin and Her Work, Annals of the New York Academy of Sciences, Vol. 704, 1993, pp. 103–125.다양한 파일 형식으로 온라인 제공: PS.GZ PS
• 클라우스 드네케, 마르셀 에르네, 쉘리 L.Wismath, Galois 연결 및 애플리케이션, Springer, 2004, ISBN 1402018975
• 갈라토스, 니콜라오스, 피터 집센, 토마스 코왈스키, 오노 히로아키라(2007)는 잔류 라티시스. ISBN 978-0-444-52141-5.