9점 원

기하학에서 9점 원은 주어진 삼각형에 대해 구성할 수 있는 원이다. 그것은 삼각형에서 정의된 9개의 유의한 순환점을 통과하기 때문에 그렇게 이름이 붙여졌다. 이 9가지 포인트는 다음과 같다.

• 삼각형 각 변의 중간점
• 각 고도의 발
• 삼각형의 각 꼭지점에서 직교점까지의 선 세그먼트의 중간점(세 개의 고도가 만나는 곳, 이 선 세그먼트는 각각의 고도에 위치함)^[1][2]

9점 원은 푸에르바흐의 원, 오일러의 원, 테르켐의 원, 6점 원, 12점 원, n점 원, 중점 원, 중원 또는 원곡 중원으로도 알려져 있다. 그것의 중심은 삼각형의 9점 중심이다.^[3][4]

유의점 9점

위의 도표는 9점 원의 9개의 유의점을 나타낸다. 점 D, E, F는 삼각형의 세 변의 중간점이다. 점 G, H, 그리고 나는 삼각형의 고도의 발이다. 점 J, K, L은 각 고도의 꼭지점 교차로(점 A, B, C)와 삼각형의 직각점(점 S) 사이의 선 세그먼트의 중간점이다.

급성 삼각형의 경우, 6개의 점(중점과 고도 발)이 삼각형 자체에 놓여 있다. 둔탁한 삼각형의 경우 2개의 고도는 삼각형 밖에 발을 가지고 있지만, 이 발은 여전히 9개의 원 안에 속한다.

디스커버리

비록 그가 그 발견으로 공로를 인정받았지만, 칼 빌헬름 푸에르바흐는 삼각형의 세 면의 중간점과 그 삼각형의 고도의 발의 중요성을 인식하면서, 9점 원 전체를 발견하지 않고 오히려 6점 원을 발견하였다. (그림 1, 점 D, E, F, G, H, I를 참조) (조금 전 날짜에 찰스 브리안콘과 장 빅토르 폰셀렛은 같은 정리를 명시하고 증명했다.) 그러나 푸에르바흐 직후 수학자 올리 테르켐 자신이 원의 존재를 증명했다. 그는 삼각형의 정점과 직교점 사이에 세 개의 중간점이 더해진 중요성을 가장 먼저 인식했다. (그림 1 J, K, L 지점 참조) 따라서 9점 원이라는 명칭을 처음 사용한 것은 테르켐이었다.

접선원

1822년에 칼 푸에르바흐는 어떤 삼각형의 9점 원도 그 삼각형의 3개 원근에 외부적으로 접하고 내적으로 그 근방에 접한다는 것을 발견했다; 이 결과는 푸에르바흐의 정리라고 알려져 있다. 그는 다음과 같은 사실을 증명했다.

... 삼각형의 고도의 발을 통과하는 원은 4개의 원 모두에 접하고, 그 원은 삼각형의 세 면에 접한다. (Feuerbach 1822) harv 오류: 대상 없음: CITREFuerbach1822 (도움말)

근친과 9점 원과 접하는 삼각형 중심을 푸에르바흐 포인트라고 한다.

9점 원의 기타 특성

• 삼각형의 원곡선 반지름은 그 삼각형의 9점 원 반지름의 두 배다.^{[5]: p.153}

그림 3

• 9개의 점 원은 해당 삼각형의 직교점에서 원곡선의 어떤 점으로 가는 선 세그먼트를 이등분한다.

그림 4

• 9점 원의 중심 N은 직교점 H에서 원곡점 O까지 세그먼트를 이등분한다(직교점을 두 원까지 확장의 중심으로 만든다).^{[5]: p.152}

ON = NH.

• 9점 중심 N은 중심 G에서 직교점 H까지 오일러 선을 따라가는 거리의 4분의 1이다.^{[5]: p.153}

HN = 3NG.

• $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$을(를) 주기적 4각형의 대각 삼각형의 9점 원이 되도록$$ 한다. 주기 4각형의 바이메디언들의 교차점은 9점 원에 속한다.^[6][7]

• 기준 삼각형의 9점 원은 기준 삼각형의 내측 삼각형(기준 삼각형의 측면 중간점에 정점이 있음)과 그 직교 삼각형(기준 삼각형의 고도의 발에 정점이 있음)의 원곡이다.^{[5]: p.153}
• 삼각형의 정점을 통과하는 모든 직사각형 하이퍼볼라의 중심은 그것의 9점 원 위에 있다. 예로는 카이퍼트, 제아벡, 푸에르바흐의 잘 알려진 직사각형 하이퍼볼라가 있다. 이 사실은 Feuerbach conic 정리라고 알려져 있다.

• 만약 4개의 점 A, B, C, H의 직교 시스템이 주어진다면, 그 시스템의 3개의 구별되는 점들의 조합에 의해 형성된 4개의 삼각형은 모두 동일한 9개의 점 원을 공유한다. 이것은 대칭의 결과물이다: 다른 삼각형에 직각점인 정점에 인접한 한 삼각형의 옆면은 그 두 번째 삼각형의 세그먼트들이다. 세번째 중간점은 그들의 공통적인 측면에 있다. (9점 원을 별도로 정의하는 동일한 '중간점'은 동시에 존재해야 한다.)
• 결과적으로, 이 네 개의 삼각형에는 동일한 반지름을 가진 원주가 있다. N은 공통 9점 중심을 나타내며 P는 직교 시스템의 평면에서 임의의 점이 된다. 그러면

NA²+NB²+NC²+NH² = 3R²

여기서 R은 일반적인 회음부(calleradius)이며, 다음과 같은 경우

PA²+PB²+PC²+PH² = K²,

where K is kept constant, then the locus of P is a circle centered at N with a radius ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {K^{2}-3R^{2}}}}$. As P approaches N the locus of P for the corresponding constant K, collapses onto N the nine-point center. 더군다나 9점 원은 P의 중심점이라 할 수 있다.

PA²+PB²+PC²+PH² = 4R².

• 삼각형의 근골과 외골의 중심은 직교 체계를 형성한다. 그 직교체계에 대해 만들어진 9개의 원은 원래 삼각형의 원곡선이다. 정사각형 시스템에서 고도의 발은 원래 삼각형의 정점이다.
• 직교 체계를 형성하지 않는 네 개의 임의 점 A, B, C, D가 주어진다면, ABC, BCD, CDA, DAB의 9개 점 원은 한 점에서 일치한다. 이들 9개 원형의 나머지 6개 교차로 지점은 각각 4개의 삼각형의 중간점과 일치한다. 놀랍게도, 이 4개의 임의 지점의 중심을 중심으로, 이 9점 원의 7개 지점의 교차점을 모두 통과하는 독특한 9점 원뿔체가 존재한다. 나아가 위에서 언급한 푸에르바흐 원뿔 정리 때문에, 4개의 삼각형의 직교뿐만 아니라 4개의 원래의 임의의 지점을 통과하는 4개의 9개의 원형의 공통 교차점을 중심으로 한 독특한 직사각형 원뿔이 존재한다.
• 만약 4개의 점 A, B, C, D가 주기적인 4각형을 형성하도록 주어진다면, ABC, BCD, CDA, DAB의 9개 점 원은 주기적인 4각형의 반점입구에서 일치한다. 9점 원은 모두 주기적인 4각형의 원곡선의 반경의 반경을 가진 합치물이다. 9점 원은 4개의 존슨 원으로 이루어져 있다. 결과적으로, 네 개의 9점 중심은 순환하며, 순환 4각형의 반점 중심인 네 개의 9점 원과 일치하는 원에 놓여 있다. 더욱이, 네 개의 9개의 폰트 중심에서 형성된 순환 4각형은 -/¹₂의 인수에 의해 기준 주기 4각형 ABCD에 동음극이며, 그것의 동음극 중심(N)은 환원(O)과 항응고(M)를 연결하는 선에 놓여 있다.

ON = 2NM.

• 원곡선을 통과하는 선들의 직교돌은 9점 원 위에 놓여 있다.
• 삼각형의 원곡선, 9점 원, 극원, 접선 삼각형의^[8] 원곡선은 동축이다.^[9]
• 키퍼트 하이퍼볼라 중심에 대한 트리린 좌표는

(b² − c²)²/a : (c² − a²)²/b : (a² − b²)²/c

• 제아벡 하이퍼볼라 중심에 대한 트릴린 좌표는

Cos A sin² (B - C) : Cos B sin² (C - A) : Cos C sin² (A - B)

• x : y : z를 삼각 좌표에서 변수 점으로 지정하면, 9점 원 방정식은 다음과 같다.

x²sin 2A + y²sin 2B + z²sin 2C − 2(yz sin A + zx sin B + xy sin C) = 0.

일반화

원은 원뿔 단면의 인스턴스(instance)이고, 9점 원은 삼각형 ABC와 4점 P와 관련하여 구성된 일반 9점 원뿔의 인스턴스(instance)로, P가 ABC의 직각점일 때 특정 9점 원 인스턴스(instance)가 발생한다. 삼각형과 P의 정점은 정사각형의 반대쪽이 교차하는 완전한 정사각형과 세 개의 "대각점"을 결정한다. 4각형에는 6개의 "지선"이 있다. 9개의 점 원뿔은 이것들의 중간점을 교차하며 또한 대각선을 포함한다. 원뿔은 P가 ABC 내부 또는 삼각형과 수직 각도를 공유하는 지역에 있을 때 타원형이지만, P가 인접한 세 지역 중 하나에 있을 때 9점짜리 하이퍼볼라가 발생하며, 하이퍼볼라는 ABC의 원주에 있을 때 직사각형이다.

참고 항목

• 레스터 정리
• 폰셀레 포인트
• 합성 기하학

메모들

참조

• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble, LCCN 52013504
• Feuerbach, Karl Wilhelm; Buzengeiger, Carl Heribert Ignatz (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung (Monograph ed.), Nürnberg: Wiessner.
• Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston, LCCN 69012075
• Fraivert, David (2019), "New points that belong to the nine-point circle", The Mathematical Gazette, 103 (557): 222–232, doi:10.1017/mag.2019.53
• Fraivert, David (2018), "New applications of method of complex numbers in the geometry of cyclic quadrilaterals" (PDF), International Journal of Geometry, 7 (1): 5–16

외부 링크

• rykap.com에서 "9점 원의 자바스크립트 시연"
• 클라크 킴벌링의 트라이앵글 센터 백과사전 9점 중심은 X(5), Feuerbach 포인트는 X(11)로, 키퍼트 하이퍼볼라의 중심은 X(115), 제아벡 하이퍼볼라의 중심은 X(125)로 인덱싱된다.
• J.S.에 근거한 9점 원들에 대한 역사. 1892년 맥케이 기사: 나인 포인트 서클의 역사
• Weisstein, Eric W. "Nine-Point Circle". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Orthopole". MathWorld.
• Java의 Nine Point Circle at the Knot
• Feuerbach의 정리: 핵심을 찌르는 증거
• 월터 펜트(Walter Fendt)의 삼각형 안에 있는 특별한 선과 원
• 울프램 시연 프로젝트의 인터랙티브 9 포인트 서클 애플릿
• 동적 지오메트리 스케치에서 9점 원뿔 및 오일러 선 일반화 9점 원뿔을 9점 원뿔에 일반화하며 오일러 선의 관련 일반화를 수반한다.