스트레치인자

임베딩의 스트레치 인자는 임베딩이 거리를 왜곡하는 인자를 측정한다.하나의 메트릭 공간 S가 메트릭 맵에 의해 다른 메트릭 공간 T에 포함된다고 가정하자. 즉, 각 지점 쌍 사이의 거리를 유지하거나 줄이는 연속적인 일대일 함수 f.그런 다음 내장은 S에서 점 쌍 사이의 거리에 대한 두 가지 다른 개념을 제시한다.S의 모든 점 쌍(x,y)은 내인 거리, S의 경우 x에서 y까지의 거리 및 T의 경우 f(x)에서 f(y)까지의 거리인 작은 외부 거리를 모두 가진다.쌍의 스트레치 계수는 d(f(x),f(y)/d(x,y) 두 거리 사이의 비율이다.전체 매핑의 스트레치 계수는 모든 점 쌍의 스트레치 계수의 우월성(있는 경우)이다.스트레치 인자는 또한 매핑의 왜곡 또는 팽창이라고도 불린다.null

스트레치 인수는 유클리드 평면의 점 집합 사이의 유클리드 거리에 근접한 가중 그래프인 기하학적 스패너 이론에서 중요하다.이 경우 내장된 미터법 S는 유한한 미터법 공간이며, 거리는 그래프에서 최단 경로 길이이며, S가 내장된 미터법 T는 유클리드 평면이다.그래프와 그 임베딩이 고정되어 있지만 그래프 에지 가중치가 다를 수 있는 경우, 가중치가 에지 끝점 사이의 유클리드 거리인 경우 스트레치 계수는 최소화된다.이 영역에 대한 연구는 스트레치 인자가 낮은 주어진 점 집합에 대한 희박한 그래프를 찾는 데 초점을 맞추었다.^[1]null

존슨-린덴스트라우스 보조정리자는 ε의 선택에 따라 O-notation의 상수 인자가 달라지는 어떤 상수 ε > 0에 대해 n개의 지점이 있는 어떤 유한한 미터 공간도 치수 O(log n)의 유클리드 공간에 삽입될 수 있다고 주장한다.^[2]이 결과, 그리고 저분배 측정지표 임베딩의 관련 방법은 근사 알고리즘 이론에서 중요하다.이 영역의 주요 개방적 문제는 GNRS 추측인데, (사실이라면) if ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle \ell _{1$} 공간에$$ 경계 삽입된 그래프의 집단을 모두 마이너 폐쇄 그래프 패밀리로 특징지을 것이다.null

매듭 이론에서, 매듭의 왜곡은 유클리드 공간에서 공간 곡선으로 매듭을 내장하는 모든 것의 최소 스트레치 요소인 매듭 불변성이다.학부 연구원 존 사면은 토러스 매듭의 왜곡에 상한이 없다는 연구로 2012년 모건상을 수상해 미하일 그로모프가 원래 제기했던 문제를 해결했다.^[3][4]null

국부 곡률에 비례하는 속도로 유클리드 평면의 곡선의 각 지점이 곡선에 수직으로 이동하는 곡선-단축 흐름 연구에서 Huisken(1998)은 단순 닫힌 평활곡선(아크 길이로 측정한 내적 거리)의 신축 계수가 단조롭게 변화한다는 것을 입증했다.구체적으로는 스트레치 인자의 국부적 최대치를 형성하는 각 쌍(x,y)에서, 곡선이 원일 때를 제외하고 스트레치 인자는 엄격히 감소하고 있다.이 속성은 나중에 Gage-Hamilton-Grayson 정리의 증거를 단순화하기 위해 사용되었는데, 이에 따라 모든 단순하고 닫힌 매끄러운 곡선이 한 점으로 붕괴될 때까지 단순하고 매끄럽게 유지되며, 그 전에 원 모양으로 수렴된다.^[5][6]null

참조