문자열 그룹

수학의 한 분야인 위상에서 문자열 그룹은 스톨츠(1996)가 스핀 그룹의 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$$$3$} 연결$ 커버로$$ 소개한$$ 무한 차원 그룹 문자열 ${\displaystyle \mathrm{string}(n}$) $displaysty \operatorname$ {$String}(n$)}이다$.$끈 다지관은 프레임 다발을 끈 그룹 다발로 들어 올리는 다지관이다.이는 경로를 따라 홀로노미를 정의할 수 있을 뿐만 아니라 문자열 사이를 이동하는 표면에 대해서도 홀로노미를 정의할 수 있다는 것을 의미한다.위상학 집단의 정확한 순서는 짧다.

${\displaystyle 0\오른쪽 화살표 {\displaystyle K(\mathb {Z},2)}\오른쪽 화살표 \operatorname {String}(n)\오른쪽 화살표 0}$

여기서 $K{\displaystyle (Z\mathbb{}}$, ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle K(\mathb {Z$$},$$2$)는$$Eilenberg-MacLane 공간이고 $Spin(n)$은 스핀 그룹이다$.$문자열 그룹은 직교 그룹에 대한 Whitehead tower(Postnikov tower 개념에 대한 이중)의 항목이다.

${\displaystyle \cdots \rightarrow \operatorname {Fivebrane}(n)\row \operatorname {String}(n)\rightarrow \operatorname {SO}(n)\rightarrow \operatorname {O}(n)}(n)}$

It is obtained by killing the ${\displaystyle \pi _{3}}$ homotopy group for ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$, in the same way that ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ is obtained from ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ by killing ${\displaystyle$$\pi _{1$모든 유한차원 컴팩트 Lie 그룹은 비바니싱 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\$을(를) 가지기 때문에 결과 다지관은 어떠한 유한 차원 Lie 그룹이 될 수 없다.$이어{\displaystyle {}_{}}$ 5브레인 그룹이 ${\displaystyle {7\mathrm{}}_{}}$ ${\$을(를) 살해했다$.$

보다 일반적으로, 에일렌버그-매클레인 공간으로부터 시작되는 짧은 정확한 시퀀스를 통한 포스트니코프 타워의 건설은 모든 Lie 그룹 G에 적용되어 문자열 그룹 String(G)을 부여할 수 있다.

문자열 그룹에 대한 직감

Eilenberg-Maclane 공간 $K{\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{Z}}$, 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle K(\mathb {Z},2)$의 관련성은 호모토피 동등성이 있다는 사실에 있다$$.

${\displaystyle K(\mathb {Z},1)\simeq U(1)\simeq B\mathb {Z}}$

공간 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$과$($와) 사실 $K{\displaystyle (Z\mathbb{},}$ ${\displaystyle 2}$)${\displaystyle u}$ B${\displaystyle }$U(${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle$ K$(\mathbb {Z},2)\simeq BU($1$)\}.$ 복잡한 스핀 그룹은 그룹 확장명이므로 주의하십시오.

${\displaystyle 0\to K(\mathb {Z},1)\to \operatorname {Spin} ^{\mathb {C}(n)\to 0}$

문자열 그룹은 공간 $K{\displaystyle }$(${\displaystyle Z\mathbb{},2}$) ${\displaystyle K(\mathb {Z},2)$가 상위$$ 그룹의 예시이기 때문에 상위 그룹 이론의 의미에서 "상위" 복합 스핀 그룹 확장이라고 생각할 수 있다.It can be thought of the topological realization of the groupoid ${\displaystyle \mathbf {B} U(1)}$ whose object is a single point and whose morphisms are the group ${\displaystyle U(1)}$. Note that the homotopical degree of ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ is ${\displaystyle 2}$, mean그것의 호모토피는 지도의 호모토피 섬유로부터 오기 때문에 도 $2$에 집중되어 $있다$

${\displaystyle \operatorname {String}(n)\to \operatorname {Spin}(n)}$

호모토피 코커넬이 $K{\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{Z}}$, 3${\displaystyle }$)$${\$displaystyle K(\mathb {Z},3)$인 화이트헤드 탑으로부터$.$ 호모토피 섬유가 $도수$를$$1 {\$displaystyle$1}만큼 $낮추기$ 때문이다$.$

지오메트리 이해

스트링 번들의 기하학적 구조는 호모토피 이론의 다중구조에 대한 이해가 필요하지만,^[1] 기본적으로 $K{\displaystyle }$(${\displaystyle Z\mathbb{}}$, $){\displaystyle$ K $(\mathb {Z} ,$2$)$-bundles가$$ 무엇이며, 이러한 상위 그룹 확장이 어떻게 작용하는지를 이해하는 것으로 요약된다.Namely, ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$-bundles on a space ${\displaystyle M}$ are represented geometrically as bundle gerbes since any ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$-bundle can be realized as the homotopy fiber of a map giving a homotopy square

${\displaystyle {\begin{matrix}P&\to &*\\\downarrow &&\\downarrow \\m&\xrightarrow {} &K(\mathb {Z},3)\end{matrix}}}}}$

여기서 $K{\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{Z}}$, 3${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle B}$( ${\displaystyle K\mathbb{}}$( ${\displaystyle Z}$, ${\displaystyle 2}$)${\displaystyle K(\mathb {Z},3)=B(\mathb {Z},2$그런 다음 문자열 번들 $S{\displaystyle }$→ ${\displaystyle M}$ $[\displaystyle S\to$ M$}$은(는) 회전 번들 $S{\displaystyle \mathbb{}}$→ ${\displaystyle M}$ → M → M$${\$displaystyle \mathb$ {$S} \to$ M}에$$$$ 매핑해야 하며, $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle (Z\mathbb{}}$, ${\displaystyle 2}$) ${\displaysty K(\mathb {Z},2)$-equivariant$$)는 회전 번들 맵이 프레임 번들 맵과 동일한 방법으로 프레임 번들 맵에 매핑되어야 한다.

5브레인 그룹 이상 그룹

The fivebrane group can similarly be understood^[2] by killing the ${\displaystyle \pi _{7}(\operatorname {Spin} (n))\cong \pi _{7}(\operatorname {O} (n))}$ group of the string group ${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$ using the Whitehead tower.그런 다음 정확한 상위 그룹 순서를 사용하여 다시 이해할 수 있다.

${\displaystyle 0\to K(\mathb {Z},6)\to \operatorname {Fivebrane}(n)\to 0}$

giving a presentation of ${\displaystyle \operatorname {Fivebrane} (n)}$ it terms of an iterated extension, i.e. an extension by ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,6)}$ by ${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$. Note map on the right is from the Whitehead tower, and the map on the left는 호모토피 섬유다.

참고 항목

• 게르베
• N-그룹(범주론)
• 타원 코호몰로지
• 스트링 보르디즘

참조

• Henriques, André G.; Douglas, Christopher L.; Hill, Michael A. (2011), "Homological obstructions to string orientations", Int. Math. Res. Notices, 18: 4074–4088, arXiv:0810.2131, Bibcode:2008arXiv0810.2131D
• Wockel, Christoph; Sachse, Christoph; Nikolaus, Thomas (2013), "A Smooth Model for the String Group", International Mathematics Research Notices, 2013 (16): 3678–3721, arXiv:1104.4288, Bibcode:2011arXiv1104.4288N, doi:10.1093/imrn/rns154
• Stolz, Stephan (1996), "A conjecture concerning positive Ricci curvature and the Witten genus", Mathematische Annalen, 304 (4): 785–800, doi:10.1007/BF01446319, ISSN 0025-5831, MR 1380455, S2CID 123359573
• Stolz, Stephan; Teichner, Peter (2004), "What is an elliptic object?" (PDF), Topology, geometry and quantum field theory, London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 308, Cambridge University Press, pp. 247–343, doi:10.1017/CBO9780511526398.013, ISBN 9780521540490, MR 2079378

외부 링크

• Baez, J. (2007), Higher Gauge Theory and the String Group
• 루프 그룹에서 2-그룹으로 - 문자열(n)을 2-그룹으로 특성화
• nLab의 문자열 그룹
• nLab의 화이트헤드 타워
• 타원형 물체란 무엇인가?