도메인 분해 방법

도메인 분해 방법

수학, 수치해석, 수치 부분 미분방정식에서 도메인 분해법은 경계값 문제를 서브돔의 더 작은 경계값 문제로 나누고 인접한 서브돔 간의 해답을 조정하기 위해 반복함으로써 해결한다. 하위 도메인당 하나 또는 소수의 알 수 없는 거친 문제를 사용하여 하위 도메인 간의 솔루션을 전체적으로 더욱 조정한다. 하위 도메인의 문제는 독립적이어서 도메인 분해 방법이 병렬 컴퓨팅에 적합하다. 도메인 분해 방법은 일반적으로 결합구배법, GMRES, LOBPCG와 같은 크릴로프 공간 반복법의 전제조건으로 사용된다.

겹치는 도메인 분해 방법에서 하위 도메인은 인터페이스보다 더 많이 겹친다. 겹치는 영역 분해 방법으로는 슈바르츠 교번법과 첨가된 슈바르츠 방법이 있다. 많은 도메인 분해 방법은 추상적 첨가 슈바르츠 방법의 특수한 경우로서 쓰고 분석할 수 있다.

겹치지 않는 방법에서 하위 도메인은 인터페이스에서만 교차한다. Balancing domain discolation, BDDC와 같은 원시적인 방법에서는, 동일한 미지의 방법으로 주변 모든 서브돔에 대한 해결책의 가치를 나타냄으로써 서브도메인 인터페이스에 걸친 해결책의 연속성을 시행한다. FETI와 같은 이중 방식에서는 서브도메인 인터페이스에 걸친 솔루션의 연속성이 라그랑주 승수에 의해 집행된다. FETI-DP 방법은 이중 방법과 원시 방법 사이에 혼합되어 있다.

겹치지 않는 도메인 분해 방법을 반복적 하위구조화 방법이라고도 한다.

모르타르 방법은 부분 미분방정식에 대한 디스트리프팅 방법이며, 오버랩되지 않는 서브돔에 대해 별도의 디스트리프팅을 사용한다. 서브돔의 메시는 인터페이스에서 일치하지 않으며, 솔루션의 정확성을 보존하기 위해 신중하게 선택한 라그랑주 승수에 의해 솔루션의 동일성이 시행된다. 유한요소법의 공학적 실무에서 비매칭 서브도메인 간의 해결책의 연속성은 복수점 제약조건에 의해 구현된다.

적당한 크기 모델의 유한 요소 시뮬레이션은 수백만 개의 미지의 선형 시스템을 해결해야 한다. 시간 단계당 몇 시간은 평균 순차적 실행 시간이므로 병렬 컴퓨팅이 필수적이다. 도메인 분해 방법은 유한 요소 방법의 병렬화를 위한 큰 잠재력을 구현하며, 분산된 병렬 계산의 기초를 제공한다.

예 1: 1D 선형 BVP

${\displaystyle u'-u(x)=0}$
${\displaystyle u(0)=0,u(1)=1}$
정확한 해결책은 다음과 같다.
${\displaystyle u(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{1}-e^{-1}}}:{e^{1}-1}:{-1}:{-1}:{-1}}}}}}}$
Subdivide the domain into two subdomains, one from ${\displaystyle \left[0,{\frac {1}{2}}\right]}$ and another from ${\displaystyle \left[{\frac {1}{2}},1\right]}$. In the left subdomain define the interpolating function ${\displaystyle v_{1}(x)}$ and in the right define ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle v_{2}(x$ 이 두 하위 도메인 사이의 인터페이스에서 다음과 같은 인터페이스 조건이 부과되어야 한다.
${\displaystyle v_{1}\왼쪽 사진\frac {1}{2}}\오른쪽)=v_{2}\왼쪽 사진 {1}{1}:{2}}\오른쪽)}$
${\displaystyle v_{1}'\왼쪽 사진\frac {1}{1}{2}}\오른쪽)=v_{2}'\왼쪽 사진 {1}{1}:{2}}\오른쪽)}$
보간 기능을 다음과 같이 정의하도록 한다.
${\displaystyle v_{1}(x)=\sum _{n=0}^{N}u_{n}T_{n}(y_{1}(x))}$
${\displaystyle v_{2}(x)=\sum _{n=0}^{N}u_{n+N}T_{n}(y_{2}(x))}$
${\displaystyle y_{1}(x)=4x-1}$
${\displaystyle y_{2}(x)=4x-3}$
여기서 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle T_{n}(y)}$은 입력 인수 y가 있는 제1종류의 체비셰프 다항식의 n번째 기본 함수다$$.
N=4일 경우 이 방법으로 다음과 같은 근사를 구한다.
${\displaystyle u_{1}=0.06236}$
${\displaystyle u_{2}=0.21495}$
${\displaystyle u_{3}=0.37428}$
${\displaystyle u_{4}=0.44341}$
${\displaystyle u_{5}=0.51492}$
${\displaystyle u_{6}=0.69972}$
${\displaystyle u_{7}=0.90645}$
이것은 다음의 MATLAB 코드로 획득되었다.

분명한 전부 N = 4; a1 = 0; b1 = 1/2;   [T D1 D2 E1 E2 x xsub] = 쳇(N,a1,b1); [0,1/2]의 확산 행렬이 동일한 비율 %는 [1/2 1]에 있는 것과 같다. I = 눈독을 들이다(N+1); H = D2-I; H1 = [[1 0(1,N)]; H(2:종지부를 찍다-1,:); [0(1,N) 1]]; H1 = [H1 [0(N,N+1); -[1 0(1,N)]]]; H2 = [D1(1,:); H(2:종지부를 찍다-1,:); [0(1,N) 1]]; H2 = [[-D1(N+1,:); 0(N,N+1)] H2]; K = [H1; H2]; F = [0(2*N+1,1); 1]; u = K\F; xx = -cas(파이*(0:N)'/N); x1 = 1/4*(xx+1); x2 = 1/4*(xx+3); x = [x1; x2]; uex = (생략하다(x)-생략하다(-x))./(생략하다(1)-생략하다(-1)); 

참고 항목

• 멀티그리드법

외부 링크

• 공식 도메인 분해 방법 페이지
• 도메인 분해 - 수치 시뮬레이션 페이지