순환점

Concyclic points
순환점 사이의 화음의 동시 수직 이등분자
4개의 순환점이 주기적인 4각형을 형성하며, 두 개의 동일한 각도를 보여준다.

기하학에서 점 집합은 공통 원 위에 놓여 있으면 순환(혹은 코코순환)이라고 한다. 모든 순환점은 원의 중심에서 같은 거리에 있다. 평면에서 모두 직선으로 떨어지지 않는 점 3개는 원추형이지만, 평면에서 그러한 점 4개 이상이 반드시 원추형인 것은 아니다.

이등분자

일반적으로 P점과 Q점이 놓여 있는 원의 중심 O는 OP와 OQ가 동일한 거리여야 한다. 따라서 O는 선 세그먼트 PQ의 수직 이등분선에 놓여 있어야 한다.[1] 구별되는 점이 없는 경우, n(n - 1)/2 이등분자가 있으며, 이등분들은 모두 중심 O인 단일 지점에서 만나는 것이다.

순환 다각형

삼각형

모든 삼각형의 정점은 원 위에 있다. (이 때문에, 일부 저자들은 원 위의 4개 이상의 점들의 맥락에서만 "순환"을 정의한다.)[2] 삼각형의 정점을 포함하는 원을 삼각형의 원이라고 한다. 삼각형에서 정의한 몇 개의 다른 점 집합도 원형이 서로 다른 순환형이다; 나인 포인트 원과[3] 레스터의 정리를 참조하라.[4]

점 세트가 놓여 있는 원의 반지름은, 정의상, 그 점들 중 어느 세 곳에 정점이 있는 삼각형의 원곡선의 반지름이다. 세 점 사이의 쌍방향 거리가 a, b, c인 경우 원의 반지름은

정점의 데카르트 좌표와 관련하여 삼각형의 원곡선 방정식과 원 중심부의 반지름과 좌표에 대한 표현이 여기와 여기에 제시되어 있다.

사변측정감시

주요 기사: 주기 4각형

원추형 정점이 있는 4각형 ABCD는 주기적 정사각형이라고 불린다. 이는 C = 내각 정리)인 경우에만 해당되며, 이는 정사각형 내부의 반대 각도가 보충인 경우에만 해당된다.[5] 연속적인 면 a, b, c, d 및 반perimeter s = (a + b + c + d) / 2의 주기적인 사각형에는 다음과[6][7] 같은 원곡선이 있다.

15세기 인도의 수학자 바타세리 파라메쉬바라에 의해 파생된 표현

프톨레마이오스의 정리에 의해, 4 정점 A, B, C, D 사이의 쌍방향 거리에 의해 정사각형이 주어진다면, 대각선의 산물이 반대편의 산물의 합계와 같을 경우에만 순환된다.

세그먼트 AC를 포함하는 선과 세그먼트 BD를 포함하는 선 두 개가 X에서 교차하는 경우, A, B, C, D 네 점은 다음과 같은 경우에만[8] 반복된다.

교차점 X는 원의 내부 또는 외부에 있을 수 있다. 이 정리는 점의 힘이라고 알려져 있다.

폴리곤

주요 기사: 순환 다각형

보다 일반적으로 모든 정점이 순환되는 폴리곤을 순환 폴리곤이라고 한다. 폴리곤은 가장자리의 수직 이등분선이 동시인 경우에만 순환한다.[9]

변형

일부 저자는 선은 무한 반지름의 원으로 간주되는 원(colinear points, 모두 하나의 선에 속하는 점들의 집합)을 순환 점의 특수한 경우로 간주한다. 이 관점은 예를 들어 원과 뫼비우스의 변형을 통해 역전을 연구할 때 도움이 되는데, 이러한 변형은 이러한 확장된 의미에서만 점의 순환성을 보존하기 때문이다.[10]

복합 평면(복합 숫자의 실제와 상상의 부분을 평면의 x와 y 카르테시안 좌표로 보고 형성된)에서, 조합성은 특히 단순한 제형을 가지고 있다. 복합 평면의 4개 지점은 만약 교차 비율이 실제 숫자일 경우에만 반복되거나 시준된다.[11]

기타 속성

모든 4개 점 부분 집합이 순환인 경우에만 5개 이상의 점 집합이 순환된다.[12] 이 특성은 볼록 세트 헬리 특성의 주기성을 위한 아날로그라고 생각할 수 있다.

예

삼각형

어떤 삼각형에서든 다음의 9개 점 모두 9점 원이라고 불리는 것에 대해 순환한다: 3개의 가장자리의 중간점, 3개의 고도의 발, 직교점과 3개의 꼭지점 사이의 중간점이다.

레스터의 정리에는 어떤 스칼린 삼각형에서든 두 개의 페르마 포인트, 아홉 개의 포인트 중심, 그리고 원곡선이 원추형이라고 되어 있다.

만약 삼각형의 측면에 평행한 레모인 점을 통해 선이 그려진다면, 선과 삼각형의 측면의 교차점 6개는, 이것을 레모인 원이라고 한다.

주어진 삼각형 과(와) 연관된 반 라모엔 원에는 세 개의 가 T{\ 내부에 정의한 6개의 삼각형의 원곡선이 포함되어 있다.

삼각형의 원곡선, 그 레모인 포인트, 그리고 그것의 처음 두 브로카드 포인트는 원곡선으로부터 르모인 포인트까지의 세그먼트가 직경이 되는 순환형이다.[13]

기타 다각형

폴리곤은 그 정점이 모두 순환인 경우 순환으로 정의된다. 예를 들어, 임의의 변수의 정규 다각형의 모든 정점은 반복적이다.

접선 다각형은 다각형의 각 면에 접하는 새겨진 원이 있는 다각형이며, 따라서 이러한 접선점은 그 위에 반복된다.

볼록한 4각형은 8점 원이라고 하는 것에 대해, 옆면과 네 고도의 중간점이 8개의 순환점인 경우에만 교정치각(직각 대각선)이다.

참조

  1. ^ Libeskind, Shlomo (2008), Euclidean and Transformational Geometry: A Deductive Inquiry, Jones & Bartlett Learning, p. 21, ISBN 9780763743666/
  2. ^ Elliott, John (1902), Elementary Geometry, Swan Sonnenschein & co., p. 126.
  3. ^ Isaacs, I. Martin (2009), Geometry for College Students, Pure and Applied Undergraduate Texts, vol. 8, American Mathematical Society, p. 63, ISBN 9780821847947.
  4. ^ Yiu, Paul (2010), "The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations" (PDF), Forum Geometricorum, 10: 175–209, MR 2868943.
  5. ^ Pedoe, Dan (1997), Circles: A Mathematical View, MAA Spectrum (2nd ed.), Cambridge University Press, p. xxii, ISBN 9780883855188.
  6. ^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), "On the diagonals of a cyclic quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, 7: 147–9
  7. ^ Hoehn, Larry (March 2000), "Circumradius of a cyclic quadrilateral", Mathematical Gazette, 84 (499): 69–70, JSTOR 3621477
  8. ^ Bradley, Christopher J. (2007), The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates, Highperception, p. 179, ISBN 1906338000, OCLC 213434422
  9. ^ Byer, Owen; Lazebnik, Felix; Smeltzer, Deirdre L. (2010), Methods for Euclidean Geometry, Mathematical Association of America, p. 77, ISBN 9780883857632.
  10. ^ Zwikker, C. (2005), The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, Courier Dover Publications, p. 24, ISBN 9780486442761.
  11. ^ Hahn, Liang-shin (1996), Complex Numbers and Geometry, MAA Spectrum (2nd ed.), Cambridge University Press, p. 65, ISBN 9780883855102.
  12. ^ Pedoe, Dan (1988), Geometry: A Comprehensive Course, Courier Dover Publications, p. 431, ISBN 9780486658124.
  13. ^ 스콧, J. A. "삼각형 기하학에서 면적 좌표를 사용한 몇 가지 예" 수학 가제트 83, 1999년 11월, 472–477.

외부 링크