투영 연결

차동 기하학에서 투영 연결은 다른 다지관의 카르탄 연결의 한 유형이다.

투영 연결의 구조는 아핀 연결에 해당하는 아핀 공간이 아닌 투영 공간의 기하학적 구조를 기반으로 모델링된다. 아핀 연결과 마찬가지로 투영 연결도 지질학을 정의한다. 그러나 이러한 지오디컬은 쉽게 매개되지 않는다. 오히려 그들은 계획적으로 파라메타화된다. 즉, 선호되는 파라미터화 클래스는 부분 선형 변환 그룹에 의해 작용된다.

아핀 연결과 마찬가지로 투영 연결은 비틀림과 곡률과 연관되어 있다.

모형 기하학적 구조로서의 투영 공간

카르탄 연결을 정의하는 첫 번째 단계는 균일한 공간의 모렐-카탄 양식에 해당하는 플랫 케이스를 고려하는 것이다.

투영 설정에서, 균질 공간의 기본 다지관 M은 투영 공간 RP로서ⁿ, 우리가 균질 좌표[x₀,...,x_n]로 나타내야 한다. M의 대칭 그룹은 G = PSL(n+1,R)이다.^[1] H를 점의 동위원소 그룹[1,0,0,...,0]이 되게 한다. 따라서 M = G/H는 M을 균일한 공간으로 나타낸다.

Let ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ be the Lie algebra of G, and ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ that of H. Note that ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}{\mathfrak {l}}(n+1,{\mathbb {R} })}$. As matrices relative to the homogeneous basis, ${\displaystyle$${\mathfrak{g}}$은(는) 트레이스가 없는(n+1)×(n+1) 행렬로$$ 구성된다.

(λ vi와 목탑지 j j나는),(vi)∈ R1×n,(wj)∈ Rn×1,(는 j나는)∈ Rn×n, λ)− ∑ 나는 나는 나는{\displaystyle \left({\begin{매트릭스}\lambda&v^{나는}\\w_{j}&a_{j}^{나는}\end{매트릭스}}\right),\quad(v^{나는})\in{\mathbb{R}}^ᆰ,(w_{j})\in{\mathbb{R}}^{n.\ti$메스 1},(a_{j}^{i})\in {\mathb {R}}^{n\times n},\lambda =-\sum _{i}a_{i}^{i$

그리고 $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$는 (w_j) = 0을 가진 이 모든 행렬로 구성되어$$ 있다. 위의 행렬 표현에 비해 G의 Maurer-Cartan 형식은 구조^[2] 방정식을 만족하는 1-형식(,, α_j, α_jⁱ, αⁱ)의 시스템이다.

dζ + ααα_iⁱ_i = 0

dα_j + α_j∧ζ + α_kj^k∧α_k = 0

dα_jⁱ + αⁱ∧α_j + α_kkⁱ∧α_j^k = 0

dα^i[3] + ζαⁱ + σαα_kⁱ =_k^k 0

다지관의 투영 구조물

투영 구조는 주변의 두 점이 선(즉, 비모수 지오데틱)으로 연결되어 있는 다지관의 선형 기하학이다. 게다가, 각 지점의 아주 작은 동네에는 투영 프레임의 종류가 있다. 카르탄(1924년)에 따르면

Une variété (ou espace) à connexion projective est une variété numérique qui, au voisinage immédiat de chaque point, présente tous les caractères d'un espace projectif et douée de plus d'une loi permettant de raccorder en un seul espace projectif les deux petits morceaux qui entourent deux points infiniment voisins. ...

Choisira에 대한 분석, Dune Manier d'ailleurs 중재자, Dans l'space projectives a de la varieté, un reprepé définissant un system de coordonnés projects. ... Le Raccord into les espaces projectives a dieux points infiniment voisins et a' traduira 분석 par une transformation homographique. ...^[4]

이는 카탄의 어핀 연결 개념과 유사하며, 이 개념은 인접한 지점이 연결되어 있고, 한 지점에서 다른 지점으로 전달되는 어핀 기준 프레임을 가지고 있다(카탄, 1923).

La variété sera dite à "connexion affine" lorsqu'on aura défini, d'une manière d'ailleurs arbitraire, une loi permettant de repérer l'un par rapport à l'autre les espaces affines attachés à deux points infiniment voisins quelconques m et m' de la variété; cete loi permettra de dire que tel point de l'espace affine attaché au point m' correspond à tel point de l'espace appace aptaché au point m, que tel vecteur du prime espace espace esparaléle es parquolent a tel vectur du espace du second espace.^[5]

현대 언어에서, n-manifold M의 투사 구조는 투사 공간을 모델링한 카르탄 기하학이며, 여기서 후자는 PSL(n+1,R)을 위한 균일한 공간으로 본다. 즉, 을 탑재한 PSL(n+1,R)-번들이다.

• PSL(n+1,R)-연결(카탄 연결)
• 투영 공간의 한 점의 안정성에 대한 구조 그룹의 감소

이러한 데이터에 의해 유도된 땜납 형태가 이형성인 것이다.

메모들

참조

외부 링크

• Ü. Lumiste (2001) [1994], "Projective connection", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press