임계 치수

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물리학에서 위상 전환에 대한 재원형화 그룹 분석에서 임계 차원은 위상 전환의 특성이 변화하는 공간의 차원성이다.낮은 임계 치수 아래에는 위상 전환이 없다.상부 임계 차원 위에서는 이론의 임계 지수가 평균장 이론의 그것과 같아진다.평균장 이론 내에서 임계 차원을 얻기 위한 우아한 기준은 V 때문이다. 긴츠부르크 입니다.

신질화 집단은 위상 전환과 양자장 이론 사이의 관계를 설정하기 때문에, 이것은 후자와 일반적으로 신질화에 대한 우리의 더 큰 이해에 영향을 미친다.상부 임계치 이상에서는 위상 전이 모델에 속하는 양자장 이론이 자유장 이론이다.하한 임계 치수 아래에는 모형에 해당하는 필드 이론이 없다.

끈 이론의 맥락에서 의미는 더 제한된다: 임계 차원은 배경 방사선 효과로부터 추가적인 교란 순열 없이 일정한 희석 배경을 가정하는 끈 이론이 일관되는 차원이다.정확한 숫자는 세계 시트의 일치 변칙의 필요 해소에 의해 결정될 수 있다; 그것은 보손 스트링 이론의 경우 26이고 슈퍼스트링 이론의 경우 10이다.

필드 이론의 상위 임계 치수

장 이론의 상위 임계 치수를 결정하는 것은 선형 대수학의 문제다.스케일링에 가장 낮은 순서의 근사값과 리노말화 그룹에 대한 필수 입력값을 산출하기 때문에 절차를 공식화할 가치가 있다.또한 애당초 비판적 모델을 갖추기 위한 조건도 드러낸다.

라그랑지안은 용어의 합으로 쓰일 수 있으며, 각각 $좌표{\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle i_{}}$ ${\$와 필드 ${\displaystyle i_{}}$ i$${\$displaystyle \phi _{i}}$에 대한 적분으로 구성된다$.$ 예는 표준 $\varphi {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\$model과$$ 라그랑지안이 있는 등방성 리프시츠 삼색이다.

${\displaystyle \d^{d}x\left\{\frac {1}{1}{1}{1}{1}{1}{1}}\좌(\nabla \pi \right)^{2}+u\pi ^{4}\right\}}}$

$\displaystyle S_{L.T.P}=\int d^{d}x\left\{\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽(\nabla ^{2}\phi \right)^{2}+u\phi ^{3}\nabla ^{2}\phi +w\phi ^{6}}}}$

오른쪽 그림도 참조한다.이 간단한 구조는 다음과 같이$$ 계수 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$을(를) 갖는 좌표 및 필드의 재스케일링 하에서의 스케일 침입과 호환될 수 있다.

${\displaystyle \displaystyle x_{i}\오른쪽 화살표 x_{i}b^{\\\\왼쪽[{i}\오른쪽],\phi_{i}\오른쪽 화살표 \{i}\phi_{i}^{i}}}}}.}$

시간은 여기서 선택되지 않는다. 다른 좌표일 뿐이다. 라그랑지안이 시간 변수를 포함할 경우 이 변수는 $t{\displaystyle }$→ ${\displaystyle t^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$z ${\$로 재조정되며, 일부$$ $상수{\displaystyle }$지수${\displaystyle }$z = -${\displaystyle }$[ ${\displaystyle t}$] ${\displaystyle$ z$=-[t$목표는 지수 집합 $N{\displaystyle }$=${\displaystyle }${${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {\varphi }_{}}$ i ${\displaystyle {}_{}}$} ${\displaystyle N=\{[x_{i}],$ [\$phi _{i}\}}}}}$을(를) 결정하는 것이다$.$

One exponent, say ${\displaystyle [x_{1}]}$, may be chosen arbitrarily, for example ${\displaystyle [x_{1}]=-1}$. In the language of dimensional analysis this means that the exponents ${\displaystyle N}$ count wave vector factors (a reciprocal length ${\displaystyle k=1/L_{1}}$$$). Each monomial of the Lagrangian thus leads to a homogeneous linear equation ${\displaystyle \sum E_{i,j}N_{j}=0}$ for the exponents ${\displaystyle N}$. If there are ${\displaystyle M}$ (inequivalent) coordinates and fields in the Lagrangian, then ${\displaystyle M}$ such equations consti정사각형 행렬을 다듬다만약 이 행렬이 되돌릴 수 없다면, $사소한{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{해법}}$ N${\displaystyle }$=$$0 {\$displaystyle$ N$=0}$만 있을 것이다$.$

비경쟁용액에 대한$$ 조건 ${\displaystyle det}$(${\displaystyle {\mathrm{Ei}}_{}}$,${\displaystyle \mathrm{j}}$ ) = 0 ${\displaystyle \det(E_{i,j$}}=$0})$은 공간 치수 사이에 방정식을 제공하며, 이는 상부 임계 치수 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ ${\$ $d_$${u}($Lagranganian에는 하나의$$ 가변 $치수{\displaystyle }$ d${\$d}만 있는 경우)를 결정한다.$$이제 좌표와 필드의 재정의를 통해 스케일링 $지수{\displaystyle }$ N ${\displaystyle N}$을(를) 결정하는 것은$$ 파형 벡터 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k$에 대한 치수 분석과 동일하며 모든 연결 상수는 차원이 없는 렌더링된 차원으로 나타난다.치수 없는 연결 상수는 상부 임계 치수에 대한 기술적 특징이다.

필드 이론과 경로 적분(path integrated)에 의미를 부여하기 위해 컷오프가 필요하기 때문에 라그랑지아 수준의 순진한 스케일링은 물리적인 스케일링과 직접적으로 일치하지 않는다.길이 척도를 변경하면 자유도도 변경된다.이 합병증은 리노마화 그룹에 의해 고려된다.상위 임계 차원에서의 주요 결과는 척도 불변성이 큰 $요인{\displaystyle }$ b ${\displaystyle b$에 대해 유효하지만 좌표 및 필드 스케일링에 $추가{\displaystyle }$ l ${\displaystyle (b}$) ${\displaystyle ln(b)}$개의$$ 요인에 대해서는 유효하다는 것이다.

$d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ ${\$ 이하에서 일어나는 일은 장거리(통계장 이론)에 관심이 있는지 단거리(양자장 이론)에 관심이 있는지에 따라 달라진다$$.d 너{\displaystyle d_{너}아래 양자 분야 이론 것들은 사소한(수렴)}와 du{\displaystyle d_{너}}.[1]통계 분야 이론 위renormalizable지 않du{\displaystyle d_{너}위에 것들은 사소한(수렴)}과 d 너{\displaystyle d_{너}아래}renormalizable. 후자의 경우에는 함께.는e 순진한 스케일링 지수 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$에 대한 "비정상적인" 기여$.$ 유효 임계 지수들에 대한 이러한 변칙적인 기여는 위 임계 차원에서 사라진다.

상부 임계 차원의 척도 불변도가 이 치수 아래의 척도 불변도가 되는 방법을 보는 것이 유익하다.For small external wave vectors the vertex functions ${\displaystyle \Gamma }$ acquire additional exponents, for example ${\displaystyle \Gamma _{2}(k)\thicksim k^{2-\eta (d)}}$. If these exponents are inserted into a matrix ${\displaystyle A(d)}$ (which only has values in the first column) 척도 불변도의 조건이 ${\displaystyle 멈춤(E}$+${\displaystyle A}$ (${\displaystyle d}$) = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \det(E+A(d)=0})$이 된다$.$ 이 방정식은 꼭지점 함수의 변칙적인 지수가 어떤 방식으로 협력할 경우에만 충족될 수 있다.사실 꼭지점 함수는 계층적으로 서로 의존한다.이러한 상호의존성을 표현하는 한 가지 방법은 다이슨-슈윙거 방정식이다.

$따라서$ d ${\$에서 순진한 스케일링이 zerot 순서 근사치만큼 중요하다.또한 상부 임계 차원에서의 순진한 스케일링은 라그랑지안의 용어들을 관련성, 무관성 또는 한계성으로 분류한다.라그랑지안은 x ${\displaystyle i_{}}$ ${\$- 및 $\varphi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ -expontent$$ ${\displaystyle E_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle j_{}}${\$displaystyle E_{i,j}$이 하이퍼플레인 위에$$ 놓여 있으면 스케일링과 호환된다. 예를 들어 위의 그림을 참조하십시오.${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$은(는) 이 하이퍼플레인의 정상적인 벡터다.

하한 임계 치수

주어진 보편성 등급의 위상 전이 중 하한$$ 임계 치수 ${\displaystyle d_{}}$ L ${\$는${\displaystyle }$d = ${\displaystyle 1}${\$displaystyle d=1$}부터 치수가 증가하면 이 위상 전환이 발생하지 않는 마지막 치수다$.$

순서가 정해진 단계의 열역학적 안정성은 엔트로피와 에너지에 달려 있다.정량적으로 이것은 도메인 벽의 유형과 그들의 변동 모드에 따라 달라진다.필드 이론의 낮은 임계 차원을 도출하는 일반적인 형식적인 방법은 없어 보인다.하한은 통계 역학 논리로 도출할 수 있다.

먼저 단거리 교호작용이 있는 1차원 시스템을 고려하십시오.도메인 월을 만들려면 고정 에너지 양 $ϵ{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$이(가)^[2] 필요하다$.$ 이 ${\displaystyle 에너지}$를 다른 자유도에서 추출하면 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle S}$ = -${\displaystyle =}$/ ${\displaystyle T}${\$displaystyle \Delta$ S$=-\epsilon /T}$만큼 엔트로피가 감소한다$.$ 이러한 엔트로피 변화는 도메인 벽 자체의 엔트로피와 비교되어야 한다.In a system of length ${\displaystyle L}$ there are ${\displaystyle L/a}$ positions for the domain wall, leading (according to Boltzmann's principle) to an entropy gain ${\displaystyle \Delta S=k_{B}\log(L/a)}$. For nonzero temperature ${\displaystyle T}$ and ${\displaystyl$$e L}$ 엔트로피 이득이$$ 항상 지배하므로 T > ${\displaystyle T>0}$에서 단거리 상호작용이 있는 1차원 시스템에서는 위상 전환이 없다 공간 차원 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1{}_{}}$= 1 ${\displaystyle d_{1}=1}$ 따라서$$ 그러한 시스템의 낮은 임계 차원에 대한 하한이다.

보다 강력한 하한 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle L_{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle d_{L}=2}$은(는) 짧은 범위 상호작용을 갖는 시스템에 대한 유사한 인수와 연속적인 대칭성을 갖는 순서 매개변수의 도움을 받아 도출할 수 있다$$.이 경우 Mermin-Wagner-Theorem은 주문 매개변수 기대값이 >0 ${\displaystyle T>0}$에서 ${\displaystyle \mathrm{d}}$= 2 {\displaystyle $d=$2에서 사라지며, $따라서{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{d}{}_{}}$= 2 ${\displaystyle d_{L}=2}$ 이하에서는$$ 일반적인 유형의 위상 전환이 없다고 명시한다.

진통제 장애가 있는 시스템의 경우 임리와 마가^[3] 제공한 기준은 관련이 있을 수 있다.이 저자들은 무작위 자기장 자석의 낮은 임계 치수를 결정하기 위해 이 기준을 사용했다.

참조

외부 링크

• Kanon: 온라인 도움말과 수학적 세부 정보가 포함된 상위 임계 차원을 결정하는 무료 창 프로그램