란다우 이론

물리학의 란도 이론은 레브 란다우가 연속 (즉, 2차 순서) 위상 전환의 일반 이론을 공식화하기 위해 도입한 이론이다.^[1] 또한 외부적으로 응용된 분야 아래의 시스템에 적응할 수 있으며, 불연속적(즉, 1차) 전환의 정량적 모델로 사용될 수 있다.

평균 필드 공식화(장거리 상관 없음)

랜도우는 어떤 시스템의 자유 에너지가 다음과 같은 두 가지 조건을 따라야 한다고 제안하려는 동기가 있었다.

• 그것은 분석적이다.
• 그것은 해밀턴계의 대칭을 따른다.

이 두 가지 조건을 감안할 때, 순서 파라미터에 테일러 팽창으로서 자유에너지에 대한 현상학적 표현(임계온 부근, T_c)을 기록할 수 있다.

2차 전환

$위상$ 전환 아래의 일부 대칭을 깨는 시스템을 생각해 보십시오$.$ 이 순서 $매개변수$는 위상 전환 $전후$의 순서를 측정한 값입니다$.$ 순서 매개변수는 종종 일부 임계 온도보다 0 이상이고 임계 온도보다 0이 낮지 않음$.$ Ising 모델과 같은 단순한 강자성 시스템에서 순서 매개변수는 $순자화{\displaystyle }$ m ${\displaystyle m}$이$($가) 특징인데, 이는 임계 온도 T ${\displaystyle c_{}}$ ${\$ 아래에서 자연적으로 0이 아닌 상태가 된다$.$ 란도 이론에서는 순서의 분석 기능인 자유 에너지 기능을 고려한다. 매개 변수 특정 대칭이 있는 많은 시스템에서 자유 에너지는 단지 연속 확장으로^[2] 표현될 수 있는 순서 매개변수의 고른 힘의 함수일 뿐이다.

${\displaystyle F(T,\eta )-F_{0}=a(T)\eta ^{2}+{\frac {b(T)}{2}}\eta ^{4}+\cdots }}$

일반적으로 자유 에너지에는 더 높은 순서의 항이 존재하지만, 순서 매개변수가 작은 한 순서 매개변수에서 네 번째 순서로 열을 고려하는 것이 합리적인 근사치다. 위해 시스템 열역학으로 안정적인(그것은, 시스템은 에너지 최소화하기 위해 무한한 명령 매개 변수를 좇지 않는다)그 주문은 변수의 높은 평탄한 권력의 계수, 그래서 b(T)>0{\displaystyle b(T)>0}. 단순함 들어, b(T)=b0{\displaystyle b(T)=을 취할 수 있는 긍적적이어야 한다.b_{0}$\}\}$ , 임계 온도에 가까운 상수. 이후(T){\displaystyle a(T)}변경 및 임계 온도 아래에 서명한 곳에서는 을로 추정된다 게다가, 하나도},;고온 위상에 0{\displaystyle a>0}는<0{\displaysty 0(T− Tc){\displaystyle a(T)\approx a_{0}(T-T_{c})≈(T)을 확장할 수 있다.르 a<0} 저온 단계, 전환의 경우. 이러한 가정을 통해, 순서 매개변수에 대한 자유 에너지를 최소화하는 것은

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial \eta \}}}=2a(T)\eta +2b(T)\eta ^{3}=0}$

이 조건을 만족하는 주문 매개 변수에 대한 해결책은 $\eta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \eta =0}$또는

${\displaystyle \eta_{0}^{2}=-{\frac {a}{b}=-{\frac {a_{0}}{b_{0}}(T-T_{c})}}}$

이 솔루션은 < ${\$에 대해서만 존재한다는 것은 명백하며 그렇지 않으면 $\eta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \eta =0}$이(가) 유일한$$ 해결책이다. 실제로 $\eta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \eta =0}$은(는) > ${\$의 최소용액이다.$T_{c}}$은는) ${\displaystyle {그러나\mathrm{}}_{}}$ 용액 $\$ $0{\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle \eta_{0}$은는) < T ${\$ 에 대한 자유 에너지를 최소화하여$$ 안정 단계다. 또한, 순서 매개변수는 관계를 따른다.

${\displaystyle \eta (T)\propto \왼쪽 T-T_{c}\오른쪽 ^{1/2}}$

이 Landau 평균 이론 모델에 대한$$ 임계 지수 $\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \beta$= $1/2$}을$($를) 나타내는 임계 온도 미만.

자유 에너지는 다음과 같은 온도 함수에 따라 달라질 것이다.

${\displaystyle F-F_{0}={\begin{case}-{\dfrac {a_{0}^{2}}:{2b_{0}}}(T-T_{c}}}^{2},&T<T_{c}\0,&T>).T_{c}\end{case}}$

자유 에너지에서 특정 열을 계산할 수 있고

${\displaystyle c_{p}=-T{\frac {\partial ^{2}F}{{2}}={\begin}{a_{0}^{0}}}{\dfrac {a_{0}}}}}}}T,&T<T_{c}\0,&T>T_{c}\end{case}}$

$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle c}$= 0 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$/ b ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$$}}T_{c}/b_{0$ . 따라서 이 유한 점프는 T ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \mathrm{S}}$= 0 ${\displaystyle T_{c}\Delta S=0}$이(가) 있기 때문에 시스템이 잠열을 흡수했을 때 발생할 수 있는 불연속성과 관련이 없다$.$ 또한 특정 열의 불연속성이 자유 에너지의 두 번째 파생 모델의 불연속성과 관련이 있다는 점도 주목할 만하다. 2차 단계 전환의. 더욱이 특정 열이 임계점에 발산이나 정지가 없다는 사실은 $c{\displaystyle }$~ ${\displaystyle T}$- ${\displaystyle T_{}}$ -${\displaystyle {}^{}{}_{}{}^{\alpha }}$ ${\${$}$$^{-\$$alpha }}$에 대한 임계 지수를 나타낸다$.$

적용 필드

많은 시스템에서 순서 파라미터에 선형적으로 결합되는$$ 동요 $필드{\displaystyle }$ h ${\displaystyle h}$을(를) 고려할 수 있다. 예를 들어, 고전적인 쌍극자 모멘트 $[\displaystyle \mu$의 경우, 쌍극자장 시스템의${\displaystyle \mathrm{에너지}}$는 ${\displaystyle \mathrm{-\mu B}}$$[\displaystyle$-\$mu$ B$}$이다$.$ 일반적인 경우, 순서 매개변수가 적용된 $필드{\displaystyle }$ h ${\\displaystyle$ -$\eta$ $h}$에 결합하여$$ 에너지 이동을 가정할 수 있다.란다우 자유 에너지는 그 결과로 다음과 같이 변화할 것이다.

${\displaystyle F(T,\eta )-F_{0}=a_{0}(T-T_{c})\eta ^{2}+{\frac{b_{0}}}{0}}}}\eta ^{4}-\eta h}$

이 경우 최소조건은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial \eta \}}}}}}}}{eta +2b_{0}\eta ^{3}-h=0}$

이 방정식과 그 해결책의 한 가지 즉각적인 결과는, 적용된 장이 0이 아닌 경우, 어떤 온도에서든 자화가 0이 아닌 것이다. 이것은 더 이상 어떤 온도에서 일어나는 자발적인 대칭 파괴가 없다는 것을 암시한다. 게다가, 위의 조건으로부터 몇몇 흥미로운 열역학적 그리고 보편적인 양을 얻을 수 있다. ${\displaystyle \mathrm{예}}$를 들어, (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle a(T_{c}=0})$인 임계 온도에서$,$ 외부 필드에서 순서 파라미터의 의존성을 찾을 수 있다.

${\displaystyle \eta(T_{c})=\좌측({\frac {h}{2b_{0}}\우측)^{1/3}\propto h^{1/\delta }}}}}}}}}$

임계 지수 $\Delta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \cHB$ =$3}$을(를) 나타냄$.$

나아가, 위의 조건으로부터, 0필드 민감성 $\chi {\displaystyle \mathrm{}}$η${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \partial \mathrm{}}$ / ${\displaystyle {=}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{h}}_{}}$ = 0$${\$displaystyle \qui \partial \eta$/\$partial$ h $_{h=0$을(를) 찾을 수 있으며, 이를 충족시켜야 한다.

${\displaystyle 0=2a{\frac {\frac \\fract \\eta }{\preason h}+6b\eta ^{2}{\fract \eta }{\preason h}-1}$

${\displaystyle [2a+6b\eta ^{2}]{\frac {\fract \eta }{\reta h}}=1}$

이 경우, 저온에서$$ $\eta {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$=${\displaystyle a}$/ b ${\displaystyle \eta ^{2}=-a/$인 반면, 임계 온도 이상의 온도에 대해서는$$ ${\displaystyle \mathrm{for}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= 0 ${\displaystyle \eta ^{2}=0}$인 영점 필드 민감도는 따라서 다음과 같은 온도 의존성을 갖는다.

${\displaystyle \chi(T,h\to 0)={\begin{case}{{1}{1}{2a_{0}(T-T_{c})}},&T>T_{c}\\{\frac {1}{-4a_{0}(T-T_{c})},&T<T_{c}\c}\case}\propto T-T_{c} ^{-\gamma }}}$

자성 물질의 자기 감수성의 온도 의존성에 대한 퀴리-와이즈 법칙을 연상시키고, 평균장 임계 지수 $\gamma {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \gamma =$1}을$$산출한다$.$

1차 전환

란다우 이론은 또한 1차 전환 연구를 위해 사용될 수 있다. 순서 매개변수의 변화로 시스템이 대칭인지 여부에 따라 두 가지 다른 제형이 있다.

I. 대칭 케이스

여기서는 순서 매개변수가 부호를 변경할 때 시스템이 대칭을 이루고 에너지가 불변하는 경우를 고려한다. $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 사분위수가 음수일$$ 경우 1차 전환이 발생한다. 자유 에너지가 큰 $positive{\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$에서 양성으로 유지되도록 하려면 자유 에너지 확장을 6차 순서로 진행해야 한다$.$^[3][4]

${\displaystyle F(T,\eta )=A(T)\eta ^{2}-B_{0}\eta ^{4}+C_{0}\eta ^{6}}$

여기서 $A{\displaystyle }$( ${\displaystyle T}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle T}$- ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle A(T)=$$A_{0}(T-T_{0})$및 ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$은(는) $){\displaystyle A(T)}$가 기호를 변경하는$$ 일부 온도다$$. 이 온도를 T ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$이 아니라$$ $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$가 아니라 T c {\displaystyle T_{c}로 나타내는데, 이는 1차 전환의 온도가 아니라는 것, 그리고 임계점이 없기 때문에 "중요한 온도"라는 개념은 처음부터 오해의 소지가 있기 때문이다$.$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle A_{0},B_{0},$ $C$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 양의 계수다$$.

이 자유 에너지 기능은 다음과 같이 분석한다: (i) > 0 ${\$ T>$T_{0}},$, ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}$$및$$ $\eta {\displaystyle }$ 6 ${\$ $\eta$$$$\}\}\}$에 대해 위로 오목한 반면, $while{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\$은 아래로 오목한 것이다. T<>를 위해 따라서 충분히 높은 기온을 F{F\displaystyle}위로 모든η{\displaystyle \eta}을 위해 그리고 그 평형=0{\displaystyle\eta =0}η 있다.은 오목하다(ii)&T0{T<,\displaystyle.T_{0}}둘 다 η 2{\displaystyle\eta ^{2}}과η 4{\displaystyle\eta ^{4}}. 조건, 그렇게 η=0{\displaystyle\eta =0}은 지역 최대 F{F\displaystyle}의 최소 일부 0이 아니값±η 0(T){\displaystyle \pm \eta_{0}(T)}, F(T 0,η 0(T 0))<>로;0{\displaystyle F(T_{0}일 경우 ,\eta_{0}일 경우(T_{0}))<0}에 있다. T의 경우(iii){\displaystyle T. 부정적이다}ju$ST$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$${0$$}}$ 이상$,$ ${\displaystyle \mathrm{\eta }}$= 0 ${\$$displaystyle \eta$ $=0$$}$은(는$)$ 로컬 최소값으로 변하지만$$$,$ 최소 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}T{\displaystyle {}_{}}$)은 $자유$ 에너지가 낮기 때문에 계속해서 글로벌 최소값으로$$ 변한다. T ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$보다 온도가 높아짐에 따라 글로벌 최소값이 ${\displaystyle {\eta \mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}T}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \eta _{0}(T)}$에서 0(으)로$$ 연속적으로 진화할 수 없다는 것이다. 오히려 어떤 중간 온도 $∗{\$에서$$${\displaystyle {\eta \mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$) ${\displaystyle \eta _{0}(T_{*})$ $및$ ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystystyle \eta =0}$의 Minima가 퇴화되어야 한다$$. > ${\$의 경우$T_$ 글로벌 최소값이 $discontin{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}{}_{}}$ $){\displaystyle \eta _{0}(T_{*})$에서 0으로 불연속적으로 점프한다.

$T{\displaystyle {}_{}}$ $∗{\$$displaystyle$$T_{*}}$을$($를) 찾으려면 $\eta {\displaystyle }$${\displaystyle }$=${\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$($\$ ) {\$displaystyle \eta$ =\$eta _{$$0$$}(T_{*})$에서 자유 에너지가 0이고, ${\displaystyle \mathrm{나아가}}$ 이 지점이 국소 최소여야$$ 한다고 요구한다. 이 두 가지 조건은 두 개의 방정식을 산출하고,

${\displaystyle 0=A(T)\eta ^{2}-B_{0}\eta ^{4}+C_{0}\eta ^{6}}$

${\displaystyle 0=2A(T)\eta -4B_{0}\eta ^{3}+6C_{0}\eta ^{5}}}$

$\eta {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$}일 때 만족함$C_{0}}$. 또한 같은 방정식은 $A{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$- ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$/ ${\displaystyle 4\mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $(\$을 의미한다.$A_{0}(T_{*}-T_{0})=$$B_{0}^{2}/4$$C_{0}}$. 그것은

${\displaystyle T_{*}=T_{0}+{\frac {B_{0}^{2}}{4}A_{0}C_{0}}.}$

이 분석에서 위에서 만든 두 점을 명시적으로 볼 수 있다. 첫째, 순서 파라미터는${\displaystyle }$(${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$/ 2 ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}{}^{}}$) ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ 2 ${\$2}}에서 0으로$$ 불연속 점프를 겪는다. 둘째, 전환온도 $∗{\$는 $A{\displaystyle }$($){\displaystyle A(T)}$이 소멸되는 온도 T ${\$과 같지 않다$$.

< $∗{\$ 이하 온도에서 순서 파라미터는 다음과 같이 주어진다

${\displaystyle \eta_{0}^{2}={\frac {B_{0}}}{3}C_{0}}\왼쪽[1+{\sqrt{1-{\frac {3A(T)C_{0}{B_{0}^{2}}}\오른쪽]}}}}$

우측에 배치되어 있다. 이것은 온도의 함수로서 주문 매개변수와 관련된 명확한 불연속성을 보여준다. 전환이 1차적임을 더욱 증명하기 위해, 이 순서 매개변수에 대한 자유 에너지가 전환 온도 $∗{\$에서 연속적이라는 것을 보여줄 수 있지만, 그 첫 번째 파생상품(엔트로피)은 0이 아닌 잠재열의 존재를 반영하여 불연속성을 겪는다.

II. 비대칭 케이스

다음으로 우리는 시스템이 대칭성을 가지지 않는 경우를 고려한다. 이 경우 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F$의 확장에 $in$ ${\displaystyle \eta }$의 고른 힘만 유지할 이유가 없으며 입방형 항(선형 항은 항상 shift →${$ ${\displaystyle \eta }$ η \ $\to \eta }$ +)$$을 허용해야 한다. 따라서 우리는 자유 에너지 기능을 고려한다.

${\displaystyle F(T,\eta )=A(T)\eta ^{2}-C_{0}\eta ^{3}+B_{0}\eta ^{4}+\cdots .}$

$다시{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$( ${\displaystyle T}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle T}$- ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle A(T)=$$A_{0}(T-T_{0}})$및 ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 모두 양성이다$$. 필요시$$ ${\displaystyle \eta$}의 기호를 역전시킴으로써 우리가 했던 것처럼 입방형 용어의 기호는 항상 음수로 선택될 수 있다.

다음과 같이 우리는, 이 자유 에너지 기능 T<>로(나는)&T0{\displaystyle T&lt를 분석한다.T_{0}}, 우리는 η로), 0이 아닌 값에 이후 자유 에너지 아래를 다스릴 수 있는 것이 있어야 한다 두개의 국소 최저치 η −(T)<0{\displaystyle \eta_{-}(T)<0}과η+(T)>0{\와 같이 지역 최대 0{\displaystyle\eta =0}다.displaystyle \eta _ᆩ(T)>0}.세 제곱는 과정 η+{\displaystyle \eta_{+}}는 세계적인 최소 T0{\displaystyle T_{0}그냥}위에 T{T\displaystyle}에게 그것은 더 깊은 거야(ii),η −{\displaystyle \eta_{-}에서 최소}, η에서 최대)0{\displaystyle\eta =0}이 사라짐을 보장한다.$$ 로컬 최소값으로 변하지만 $but{\displaystyle {}_{}}$ +${\$에서 최소값이 유지되고$$ 글로벌 최소값으로 계속 유지된다. As the temperature is further raised, ${\displaystyle F(T,\eta _{+}(T))}$ rises until it equals zero at some temperature ${\displaystyle T_{*}}$. At ${\displaystyle T_{*}}$ we get a discontinuous jump in the global minimum from ${\displaystyle \eta _{+}(T_{*})}$ to 0. (이러한 이유로 Minima가 결합할 수 없는 $경우{\displaystyle }$F {\$displaystyle$ F$}$의 처음 3개의 파생 모델이 $van{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \eta =0}$에서 소멸되어야$$ 한다.)$$

$T{\displaystyle {}_{}}$ $∗{\displaystyle$ $T_{*}}$를 찾으려면$$$\eta {\displaystyle }$${\displaystyle }$=${\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$) ${\displaystyle$ $\$$eta$ $=\$$eta _{+}($$T_$${*}})$에서 자유 에너지가 ${\displaystyle 0}$이 되도록 하고, 나아가 이 지점이 국소 최소여야 한다고 요구한다.$$ 이 두 가지 조건은 두 개의 방정식을 산출하고,

${\displaystyle 0=A(T)\eta ^{2}-C_{0}\eta ^{3}+B_{0}\eta ^{4}}}$

${\displaystyle 0=2A(T)\eta -3C_{0}\eta ^{2}+4B_{0}\eta ^{3}}$

$\eta {\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$}일 때 만족함$B_{0}}}$. 또한 같은 방정식은 $A{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$- ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ )${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$/ ${\displaystyle 4\mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $(\$을 의미한다.$A_{0}(T_{*}-T_{0})=$$C_{0}^{2}/4$$B_{0$ 그것은

${\displaystyle T_{*}=T_{0}+{\frac {C_{0}^{2}}{4}A_{0}B_{0}}.}$

대칭의 경우와 마찬가지로 순서 파라미터는${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle (C_{0}/2B_{0}})$에서 0으로 불연속 점프를 겪는다. 둘째, 전환온도 $∗{\$는 $A{\displaystyle }$($){\displaystyle A(T)}$이 소멸되는 온도 T ${\$과 같지 않다$$.

적용들

액체-가스 공존 곡선과 철자 자기화 곡선은 모두 ${\displaystyle T}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}{}^{}}$ ${\$ $\}\}\}$ 형식의 스케일링 관계를 나타낸 것으로 실험적으로 알려져 있는데, $여기$서 β$${\$displaystyle \beta$}}은$($는) 두 시스템에서 이상하게도 동일했다$$. 이것이 보편성의 현상이다. 또한 단순한 액체-가스 모델은 단순한 자기 모델에 정확하게 표시 가능한 것으로 알려져 있는데, 이는 두 시스템이 동일한 대칭을 가지고 있음을 암시한다. 그리고 나서 그것은 란다우 이론으로부터 왜 이 두 개의 분명히 다른 두 개의 시스템이 서로 다른 미시적인 매개변수를 가지고 있음에도 불구하고 동일한 비판적 지수를 가져야 하는지에 대한 이론을 따랐다. 현재 보편성 현상은 다른 이유로 발생하는 것으로 알려져 있다(리노말화 그룹 참조). 사실, 란다우 이론은 Ising과 액체-가스 시스템에 대한 부정확한 임계 지수를 예측한다.

란다우 이론의 큰 미덕은 기초가 되는 자유 에너지가 분석적인 것일 때 어떤 종류의 비분석적 행동을 보아야 하는지에 대한 구체적인 예측을 한다는 것이다. 그렇다면 임계점에서의 모든 비분석성, 즉 임계지수는 자유에너지가 고유의 최소치를 상실할 때마다 순서변수의 평형값이 비분석적으로 제곱근으로서 변화하기 때문이다.

순서 매개변수의 변동을 포함하도록 란도이론을 확장하는 것은 란도이론이 공간적 차원이 4보다 높은 일반 시스템의 임계점 근처에서만 엄격히 유효하다는 것을 보여준다. 이는 상부 임계치수이며, 보다 정교하게 조정된 위상 전환에서 4개보다 훨씬 높을 수 있다. 무카멜의 등방성 리프시츠 포인트 분석에서 임계 치수는 8이다. 란다우 이론은 비열한 분야 이론이며, 장기적인 상관관계를 포함하지 않기 때문이다.

이 이론은 임계점에 비분석성을 설명하지 않지만, 초유체 및 초전도체 위상 전환에 적용되었을 때, 랜도의 이론은 또 다른 이론인 초전도성의 긴츠부르크-란다우 이론에 영감을 주었다.

장기 상관 관계 포함

위의 Ising 모델을 고려해 보십시오. 순서 매개 변수 $\psi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Psi }$과(와) $외부{\displaystyle }$ 자기장 H ${\displaystyle H}$이$($가) 공간적 변화를 가질 수 있다고 가정해 보십시오. 이제 시스템의 자유 에너지는 다음과 같은 변형된 형태를 취한다고 가정할 수 있다.

${\displaystyle F:=\int d^{D}x\ \left(a(T)+r(T)\psi ^{2}(x)+s(T)\psi ^{4}(x)\f(T)\nabla \psi(x)^{2}\ +h(x)\psi(x)\ \ +{\mathcal {O}(\psi ^{6};(\nabla \psi )^{4}\right)}}$

여기서 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$은 총 공간 차원성이다. 그렇게

${\displaystyle \langle \psi (x)\angle :={\frac {{\text{Tr}}\\psi (x){\rm {e}^{-\beta H}{Z}}}}$

Assume that, for a localized external magnetic perturbation ${\displaystyle h(x)\rightarrow 0+h_{0}\delta (x)}$, the order parameter takes the form ${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi _{0}+\phi (x)}$. Then,

${\displaystyle {\frac {\delta \langle \psi (x)\rangle }{\delta h(0)}}={\frac {\phi (x)}{h_{0}}}=\beta \left(\langle \psi (x)\psi (0)\rangle -\langle \psi (x)\rangle \langle \psi (0)\rangle \right)}$

즉, 순서 매개 변수의$$ 변동 $){\displaystyle \phi(x)}$는 순서 상관 관계에 해당된다. 따라서 (이전의 평균-필드 접근법에서와 같이) 이러한 변동을 무시하는 것은 (주문-순서 상관관계를 무시하는 것에 해당하며, 이는 임계점에 가까워진다.

$또한{\displaystyle \mathrm{expon}}$ ( x ) ${\displaystyle \phi (x)}$에 대해 해결할 수 있으며$,$ 여기서 $상관관계{\displaystyle }$ 길이 $\xi {\displaystyle }$~${\displaystyle }$( T${\displaystyle }$- T ${\displaystyle c_{}{}^{}}$) -${\displaystyle {\nu }^{}}$ ${\$을(를) 추론할 수 있다$$. 이들로부터 이싱 평균장 랜도 이론(장거리 상관관계가 없는 이론)의 타당성에 대한 상부 임계 차원에 대한 긴츠부르크 기준은 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle D\geq 2+2{\frac {\beta }{\nu }}}$

In our current Ising model, mean-field Landau theory gives ${\displaystyle \beta =1/2=\nu }$ and so, it (the Ising mean-field Landau theory) is valid only for spatial dimensionality greater than or equal to 4 (at the marginal values of ${\displaystyle D=4}$, there are small corrections to the exponents). 이 변형된 평균 필드 랜도 이론은 때때로 이싱 위상 전환의 란도-긴츠부르크 이론이라고도 불린다. 해명으로서 초전도성 단계 전환에 특화된 란도-긴츠부르크 이론도 있는데, 여기에는 변동도 포함된다.

참고 항목

• 긴츠부르크-란다우 이론
• 긴츠부르크 기준

각주

추가 읽기

• 란다우 L.D. 수집한 논문(Nauka, 1969년, 모스크바)
• 마이클 C. Cross, Landau 이론 2차 단계 전환, [1] (Caltech 통계역학 강의 노트)
• 유코프스키, I R, 2차 순서의 위상 전환 - 집합 변수 방법, 월드 사이언티픽, 1987, ISBN 9971-5-0087-6