가장 근접한 점법

가장 근접한 점법(CPM)은 표면의 부분 미분방정식을 해결하기 위한 임베딩 방법이다.가장 근접한 점 방법은 표면에 원래 PDE와 동일한 내장형 부분 미분 방정식(PDE)을 해결하기 위해 유한 차이, 유한 요소 또는 스펙트럼 방법과 같은 표준 수치 접근법을 사용한다.용액은 계산적으로 효율적이기 위해 표면을 둘러싼 띠로 계산된다.데이터를 표면에서 확장하기 위해 가장 가까운 점 방법은 가장 가까운 점 표현을 사용한다.이 표현은 표면에 정상적인 방향을 따라 일정하게 기능 값을 확장한다.

정의들

가장 가까운 점 함수: ${\displaystyle \mathrm{표면}}$ S${\displaystyle }$, c${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle {\mathcal {S},cp(\mathbf {x}$)는$$ $s{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 속하는 (비유일성) 점을 말하며$,$ 이 점은 $x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$에 가장 가깝다.

가장 가까운 점 확장:$S{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ R ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \mathb {R}$^{$d}}$의 매끄러운 표면이 되게 하라$.$The closest point extension of a function ${\displaystyle u:{\mathcal {S}}\rightarrow \mathbb {R} }$, to a neighborhood ${\displaystyle \Omega }$ of ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, is the function ${\displaystyle v:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$, defined by ${\displaystyle v(\mathbf{x})=u(cp(}$${\displaystyle \mathbf{x}}$) ${\displaystyle v(\mathbf {x} )=u(cp(\mathbf {x}$ $)\}.$

가장 근접한 점법

초기화는 다음 [EW] 단계로 구성된다.

• 아직 지정되지 않은 경우 표면의 가장 가까운 점 표현이 구성된다.
• 계산 도메인을 선택한다.전형적으로 이것은 표면 둘레의 띠다.
• $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에서 표준 그라데이션별로 표면 그라데이션 교체$.$
• 초기 표면 데이터를 가장 가까운 지점 함수를 사용하여 계산 영역으로 확장하여 솔루션을 초기화한다.

초기화 후 다음 두 단계를 번갈아 수행하십시오.

• 가장 가까운 점 함수를 사용하여 용액을 표면에서 계산 영역까지 확장하십시오.
• 한 번의 작업으로 컴퓨터 도메인의 데카르트 메쉬에 내장된 PDE에 대한 솔루션을 계산하십시오.

밴딩

표면 PDE는 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$까지 확장되지만, 표면$$ 근처에서 이 새로운 PDE를 해결하기만 하면 된다.따라서 효율적인 계산을 위해 표면을 둘러싼 대역에서 PDE를 해결한다.${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ :${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle c}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \lambda }$ { { {$${ {\$displaystyle \Oomega_{c}{x:\ x-cp(x)\{2}\leq \lambda }}}}}}}}.$ 여기서$$ $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lamba$ \lambanda $}$은 대역폭이다$$.

예:원의 열 방정식

Using initial profile ${\displaystyle u_{S}(\theta ,t)=\sin(\theta )}$ leads to the solution ${\displaystyle u_{S}(\theta ,t)=\exp(-t)\sin(\theta )}$ for the heat equation.$전방{\displaystyle \mathrm{}}$ 오일러 ${\displaystyle \mathrm{타임스텝}}$은${\displaystyle {\Delta \mathrm{}}^{}\mathrm{}}$t$$= 0.1 Δ x 2 ${\$displaystyle $\Delta t=0.1$과 관련하여 사용된다.$\델타 x^{2$}}:$$보간용 보간 다항식 및$$ 도-4 보간 다항식.2차 중심 차이는 공간 탈부착에 사용된다.CPM은 솔루션 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$에서 예상되는 두 번째 순서 오류를 발생시킨다$.$

적용들

가장 가까운 포인트 방법은 표면의 다양한 PDE에 적용할 수 있다.점 구름에서의 반응-확산 문제[RD], 고유값 문제[EV] 및 수준 집합 방정식[LS]이 몇 가지 예다.

참고 항목

• 레벨세트법
• 영상 분할
• 고유값 및 고유 벡터

참조

• [EM] Ruuth, S. J. & Merriman, B. (2008)표면에서 부분 미분 방정식을 해결하기 위한 간단한 내장 방법.계산 물리학 저널, 227(3), 1943–1961 여기
• [RD] 맥도날드, C. B, 메리만, B, & 루우트, S. J. (2013).점 구름에서의 반응-확산 프로세스의 간단한 연산.미국국립과학아카데미, 110(23), 9209–9214 여기
• [EV] 맥도날드, C. B. 브랜드맨, J., & Ruuth, S. J. (2011).가장 가까운 점 방법을 사용하여 곡선 표면의 고유값 문제 해결.컴퓨터 물리학 저널, 230(22), 7944–7956. 여기
• [LS] 맥도날드, C. B., & Ruuth, S. J. (2008)가장 근접한 점 방법을 통해 표면의 레벨 세트 방정식.사이언티픽 컴퓨팅 저널, 35(2–3), 219–240.여기에