클리포드 관문

양자컴퓨팅과 양자정보이론에서 클리포드 게이트는 클리포드 그룹의 요소로서 파울리 연산자의 순열에 영향을 미치는 수학적 변형의 집합이다.이 개념은 다니엘 고트스먼에 의해 소개되었고 수학자 윌리엄 킹돈 클리퍼드의 이름을 따서 지어졌다.^[1]클리포드 게이트로만 구성된 양자회로는 고테스만-크닐 정리 때문에 클래식 컴퓨터로 효율적으로 시뮬레이션할 수 있다.

클리포드 그룹의 정의

Pauli Matrises,

\displaystyle \sigma _{0}=I={\begin{bmatrix}1&0\0&1\end{bmatrix},\quad \sigma _{1}=X={\begin{bmatrix}0&1\0\end{bmatrix},\quad \sigma _{2}=}Y={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix},{\text{ 및 }}\sigma _{3}=Z={\begin{bmatrix}1&0\-1\end{bmatrix}}}}}}}

단일 쿼빗의 밀도 연산자 및 쿼빗에 적용할 수 있는 단위의 기초를 제공한다. $n$ $n$ -qubit $n$ 사례에 대해서는 다음과 같이 Pauli 그룹으로 알려진 그룹을 구성할 수 있다.

\mathbf {P} _{n}=\left\{e^\i\theta /2}\cdma \otimes \cdots \otimes \sigma \sigma _{j_{n}\cdeta=0,1,2,3,3\0,1,2,3\right\}.

The Clifford group is defined as the group of unitaries that normalize the Pauli group: $\mathbf {C} _{n}=\{V\in U_{2^{n}}\mid V\mathbf {P} _{n}V^{\dagger }=\mathbf {P} _{n}\}.$ $\mathbf {C} _{n}=\{V\in U_{2^{n}}\mid V\mathbf {P} _{n}V^{\dagger }=\mathbf {P} _{n}\}.$ 클리포드 게이트는 클리포드 그룹에서 원소로 정의된다.

$\mathbf {C} _{n}/U(1)$ 저자는 C n / U $\mathbf {C} _{n}/U(1)$ ( 1 $)[\displaystyle \mathbf {C} _{n}/U(1)]$ 로 클리포드 그룹을 정의하기로 선택한다 $\mathbf {C} _{n}/U(1)$ $n=$ = ${\displaystyn=}$ 1, 2 $n=$ , 3의 경우 이 그룹은 각각 24, 11 $\mathbf {C} _{n}/U(1)$ , 92,897,280개의 요소를 포함한다.^[2]

클리포드 그룹의 생성자

클리포드 그룹은 하다마드, CONT, S 게이트 등 3개의 게이트에서 생성된다.^[3]모든 Pauli 행렬은 S단계와 Hadamard 게이트로부터 건설될 수 있기 때문에, 각각의 Pauli 문 또한 하찮은 클리포드 집단의 한 요소다.

$Y$ $Y$ 게이트는 $Y$ $X$ $X$ 및 $X$ $Z$ $Z$ 게이트의 $Z$ 제품과 동일하다.To show that a unitary $U$ is a member of the Clifford group, it suffices to show that for all $P\in \mathbf {P} _{n}$ that consist only of the tensor products of $X$ and $Z$ , we have ${\displaystyle UPU^{\dagger$ $}}\in \mathbf {P} _{n$

하다마드 게이트

하다마드 문

H={\frac {1}{\\sqrt{2}}:{\begin{bmatrix}1&1\1&-1\end{bmatrix}}}}

H $HXH^{\dagger }=Z$ $HXH^{\dagger }=Z$ $HXH^{\dagger }=Z$ = $HXH^{\dagger }=Z$ $HXH^{\dager }=Z$ 및 $HXH^{\dagger }=Z$ $HZH^{\dagger }=X$ Z $HZH^{\dagger }=X$ $HZH^{\dagger }=X$ = $HZH^{\dagger }=X$ $HZH^{\dager }=X$ 로 Clipord 그룹의 구성원이다 $HZH^{\dagger }=X$

S 게이트

위상 게이트

S={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i}{\frac {}{\pi }}}\end{bmatrix}}={\gin{bmatrix}1&0\i\end{bmatrix}}={\sqrt{Z}}}}}}}

$SXS^{\dagger }=Y$ $SXS^{\dagger }=Y$ $SXS^{\dagger }=Y$ $SXS^{\dagger }=Y$ = $SXS^{\dagger }=Y$ ${\displaystyle SXS^{\dager$ }= $SYS^{\dagger }=-X$ 및 $SYS^{\dagger }=-X$ S $SYS^{\dagger }=-X$ Y $SYS^{\dagger }=-X$ $\$ = - X {\ $displaystyle SYS^{\dager }}=-X}$ 로 Clipord 게이트 입니다 $SYS^{\dagger }=-X$

CONT 게이트

CONT 게이트는 2쿼트에 적용된다. $X$ $X$ 과 $X$ (와) $Z$ $Z$ 사이에는 네 가지 옵션이 있다 $Z$ .

CONT 조합
$P}$	CNOT $P$ $P$ CNOT $P$ $^{\dagger }$ ${\$
$X번 표시 I}$	$X\time X}$
$디스플레이 스타일 I\otimes X}$	$디스플레이 스타일 I\otimes X}$
$Z\time I}$	$Z\time I}$
$♪ 디스플레이 스타일 I\otimes Z}$	$(\displaystyle Z\otimes Z}$

CZ 게이트

CZ게이트는 2쿼트에 적용된다.그것은 CONT와 Hadamard 게이트로 건설될 수 있다.^[4] $X$ $X$ 과 $X$ (와) $Z$ $Z$ 사이에는 네 가지 옵션이 있다 $Z$ .

CZ 조합
$P}$	CZ $P$ $P$ CZ $P$ $^{\dagger }$ ${\$
$X번 표시 I}$	$X번 표시 Z}$
$디스플레이 스타일 I\otimes X}$	$(\displaystyle Z\otimes X}$
$Z\time I}$	$Z\time I}$
$♪ 디스플레이 스타일 I\otimes Z}$	$♪ 디스플레이 스타일 I\otimes Z}$

속성 및 응용 프로그램

클리포드 관문과 파울리 관문의 순서는 서로 교환할 수 있다.예를 들어, 이는 2쿼트의 다음 연산자를 고려하여 설명할 수 있다.

$[\displaystyle A=(X\otimes Z)CZ}$

우리는 알고 있다

$CZ(X\otimes I)CZ^{\daugger }=X\otimes Z$

오른쪽에서 CZ를 곱하면

$[\displaystyle CZ(X\otimes I)=(X\otimes Z)CZ}$

따라서 A는 다음과 같다.

$[\displaystyle A=(X\otimes Z)CZ=CZ(X\otimes I)}$

Gottesman-Knill 정리에서는 다음과 같은 요소만을 사용하는 양자회로를 고전적인 컴퓨터에서 효율적으로 시뮬레이션할 수 있다고 기술하고 있다.

계산 기준 상태에서 큐빗의 준비,
클리포드 게이트, 그리고
계산 기반에서의 측정.

Gottesman-Knill 정리는 일부 고도로 얽힌 상태라도 효율적으로 시뮬레이션할 수 있다는 것을 보여준다.몇 가지 중요한 형태의 양자 알고리즘은 클리포드 게이트만을 사용하며, 가장 중요한 것은 얽히고설킨 증류 및 양자 오류 교정을 위한 표준 알고리즘이다.

범용 양자 게이트 세트 구축

모든 관문이 클리포드 그룹의 멤버인 것은 아니므로 클리포드 관문은 보편적인 양자 관문을 형성하지 않으며, 일부 관문은 유한한 일련의 조작으로 임의로 근사할 수 없기 때문이다.예를 들어 위상 편이 게이트 $\pi /8$ 으로 $\pi /8$ / $\pi /8$ 8 {\ $displaystyle \pi$ /8 $}$ 게이트로 알려져 있음):

T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}

=

T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}

[

T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}

0

T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}

T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}

T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}

T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}

T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}

=

T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}

=

T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}

T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}

{\

$T$ $T$ 게이트가 $T$ Pauli- $X$ $X$ 게이트를 $X$ 다른 Pauli 매트릭스에 매핑하지 않음을 표시하려면:

TX{T^{\dagger}}=\left[{\begin{배열}{*{20}{c}}1&, 0\\0&,{e^{나는{\frac{\pi}{4}}}}\end{배열}}\right]\left[{\begin{배열}{*{20}{c}}0&, 1\\1&, 0\end{배열}}\right]\left[{\begin{배열}{*{20}{c}}1&, 0\\0&,{e^{-i{\frac{\pi}{4}}}}\end{배열}}\right]=\left는 경우에는{\begin{배열}{*{20}{c}}0&,{e^{-i{\frac{\pi}{4}}}}\\{e^{나는{\frac. {\pi}{4}}}}&0\end{배열}}\rigight]\not \in {{\mathbf {P} }_{1}

그러나 클리포드 그룹은 $T$ $T$ 게이트로 $T$ 증강되면 양자 계산을 위한 범용 양자 게이트 세트를 형성한다.

참고 항목

참조

^ Gottesman, Daniel (1998-01-01). "Theory of fault-tolerant quantum computation" (PDF). Physical Review A. 57 (1): 127–137. arXiv:quant-ph/9702029. Bibcode:1998PhRvA..57..127G. doi:10.1103/physreva.57.127. ISSN 1050-2947. S2CID 8391036.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A003956 (Order of Clifford group)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ "Clifford group" (PDF). Retrieved 23 April 2021.
^ Dibyendu Chatterjee, Arijit Roy (2015). "A transmon-based quantum half-adder scheme". Progress of Theoretical and Experimental Physics. 2015 (9): 3. Bibcode:2015PTEP.2015i3A02C. doi:10.1093/ptep/ptv122.

[1] Gottesman, Daniel (1998-01-01). "Theory of fault-tolerant quantum computation" (PDF). Physical Review A. 57 (1): 127–137. arXiv:quant-ph/9702029. Bibcode:1998PhRvA..57..127G. doi:10.1103/physreva.57.127. ISSN 1050-2947. S2CID 8391036.

[2] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A003956 (Order of Clifford group)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[3] "Clifford group" (PDF). Retrieved 23 April 2021.

[4] Dibyendu Chatterjee, Arijit Roy (2015). "A transmon-based quantum half-adder scheme". Progress of Theoretical and Experimental Physics. 2015 (9): 3. Bibcode:2015PTEP.2015i3A02C. doi:10.1093/ptep/ptv122.

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