확률적 부분 미분 방정식

확률론적 부분 미분 방정식(SPDE)은 일반 확률론적 미분 방정식을 일반 미분 방정식을 일반 미분 방정식으로 일반화하는 것과 같은 방식으로 무작위 힘 항과 계수를 통해 부분 미분 방정식을 일반화한다.

그들은 양자장 이론, 통계 역학, 공간 모델링과 관련이 있다.^[1]^[2]

예

가장 많이 연구된 SPDE 중 하나는 확률적 열 방정식이며, 공식적으로 다음과 같이 기록될 수 있다.

\partial _{t}u=\Delta u+\xi \;,

여기서 $\Delta$ $\Delta$ 은 $\Delta$ (는) $\xi$ 이고 { $\xi$ 은 $\xi$ (는) 시공간 백색 소음을 나타낸다. 다른 예로는 파동 방정식과 슈뢰딩거 방정식과 같은 유명한 선형 방정식의 확률적 버전을 들 수 있다.

토론

한 가지 어려움은 규칙성의 결여다. 1차원 공간에서는 확률적 열 방정식의 용액이 공간에서는 거의 1/2홀더만 연속적이고 시간상으로는 1/4홀더만 연속된다. 2차원이상의 경우, 해법은 함수 값도 되지 않지만 무작위 분포로 이해할 수 있다.

선형 방정식의 경우 보통 세미그룹 기법을 통해 경미한 해결책을 찾을 수 있다.^[3]

그러나 비선형 방정식을 고려할 때 문제가 나타나기 시작한다. 예를 들어,

\partial _{t}u=\Delta u+P(u)+\xi ,

$P$ 서 P $P$ 은 $P$ (는) 다항식이다. 이 경우 방정식을 어떻게 이해해야 하는지도 명확하지 않다. 이러한 방정식은 또한 1보다 큰 차원에서는 함수 값 솔루션을 가지지 않으며 따라서 점의 의미가 없다. 분포의 공간에는 제품 구조가 없다는 것은 잘 알려져 있다. 이것이 그러한 이론의 핵심 문제다. 이것은 어떤 형태의 재기명화의 필요성으로 이어진다.

일부 특정 방정식에 대해 그러한 문제를 회피하려는 초기 시도는 선형 방정식의 동요와 같은 비선형 방정식을 연구하는 소위 다 프라토-데부슈의 속임수였다. 그러나 이는 비선형 인자와 주행 소음 조건의 정규성에 따라 달라지기 때문에 매우 제한적인 설정에서만 사용할 수 있다. 최근 몇 년 사이 이 분야가 대폭 확대되어, 이제는 다양한 서브임계 SPDE에 대한 지역적 존립을 보장하는 대형 기계가 존재한다.

참고 항목

참조

^ Prévôt, Claudia; Röckner, Michael (2007). A Concise Course on Stochastic Partial Differential Equations. Lecture Notes in Mathematics. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-70780-6.
^ Krainski, Elias T.; Gómez-Rubio, Virgilio; Bakka, Haakon; Lenzi, Amanda; Castro-Camilo, Daniela; Simpson, Daniel; Lindgren, Finn; Rue, Håvard (2018). Advanced Spatial Modeling with Stochastic Partial Differential Equations Using R and INLA. Boca Raton, FL: Chapman and Hall/CRC Press. ISBN 978-1-138-36985-6.
^ Walsh, John B. (1986). Carmona, René; Kesten, Harry; Walsh, John B.; Hennequin, P. L. (eds.). "An introduction to stochastic partial differential equations". École d'Été de Probabilités de Saint Flour XIV - 1984. Lecture Notes in Mathematics. Springer Berlin Heidelberg. 1180: 265–439. doi:10.1007/bfb0074920. hdl:10338.dmlcz/126035. ISBN 978-3-540-39781-6.

추가 읽기

Holden, H.; Øksendal, B.; Ubøe, J.; Zhang, T. (2010). Stochastic Partial Differential Equations: A Modeling, White Noise Functional Approach. Universitext (2nd ed.). New York: Springer. doi:10.1007/978-0-387-89488-1. ISBN 978-0-387-89487-4.

외부 링크

"A Minicourse on Stochastic Partial Differential Equations" (PDF). 2006.
Hairer, Martin (2009). "An Introduction to Stochastic PDEs". arXiv:0907.4178.

[1] Prévôt, Claudia; Röckner, Michael (2007). A Concise Course on Stochastic Partial Differential Equations. Lecture Notes in Mathematics. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-70780-6.

[2] Krainski, Elias T.; Gómez-Rubio, Virgilio; Bakka, Haakon; Lenzi, Amanda; Castro-Camilo, Daniela; Simpson, Daniel; Lindgren, Finn; Rue, Håvard (2018). Advanced Spatial Modeling with Stochastic Partial Differential Equations Using R and INLA. Boca Raton, FL: Chapman and Hall/CRC Press. ISBN 978-1-138-36985-6.

[3] Walsh, John B. (1986). Carmona, René; Kesten, Harry; Walsh, John B.; Hennequin, P. L. (eds.). "An introduction to stochastic partial differential equations". École d'Été de Probabilités de Saint Flour XIV - 1984. Lecture Notes in Mathematics. Springer Berlin Heidelberg. 1180: 265–439. doi:10.1007/bfb0074920. hdl:10338.dmlcz/126035. ISBN 978-3-540-39781-6.

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