윅 제품

확률론에서 Wick 제품은 랜덤 변수 집합의 수정된 곱을 정의하는 특별한 방법이다.가장 낮은 순서의 제품에서, 조정은 평균이 0인 결과를 남기기 위해 평균값을 빼는 것에 해당한다.고차 산물의 경우 조정은 대칭적인 방법으로 랜덤 변수의 낮은 순서(일반) 산물을 빼는 것을 포함하며 평균이 0인 결과를 남긴다.Wick 제품은 무작위 변수, 기대값 및 기대값의 다항식 함수다.

Wick 제품의 정의는 즉시 단일 랜덤 변수의 Wick 파워로 연결되며, 이는 Wick 파워에 의한 파워 시리즈 확장에서 일반적인 파워를 대체하는 것에 기초하여 랜덤 변수의 다른 기능의 유사성을 정의할 수 있다.흔히 볼 수 있는 무작위 변수의 Wick 힘은 베르누이 다항식이나 헤르미테 다항식 같은 특수한 기능의 관점에서 표현할 수 있다.

위크 제품은 물리학자인 지안칼로 윅(cf)의 이름을 딴 제품이다.윅의 정리.

정의

X₁, ..., X가_k 유한한 모멘트를 갖는 랜덤 변수라고 가정해 보자.Wick 제품

${\displaystyle \langle X_{1},\dots,X_{k}\angle \,}$

다음과 같이 재귀적으로 정의된 제품의 일종이다.^{[citation needed]}

$\displaystyle \langle \angle =1\,}$

(즉, 임의 변수가 전혀 없는 빈 제품)은 1이다.k ≥ 1에 대해서는 요구조건을 부과한다.

${\displaystyle {\langle X_{1},\dots,X_{k}\langle X_{1}=\langle X_{1},\dots,X_{X}_{i-1},X_{i+1},dots ,X_{k}\langle,},},},},}$

여기서 $X{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) X가_i 없음을 의미하며, 평균이 0이라는 제약조건과 함께,

${\displaystyle \operatorname {E} \langle X_{1},\dots,X_{k}\rangele =0.\,}$

예

그 뒤를 잇는다.

${\displaystyle \langle X\rangle =X-\operatorname {E}X,\,}$

${\displaystyle \langle X,Y\rangele =XY-\operatorname {E}X\cdot X-\operatorname {E}X}X\cdot Y+2(\operatorname {E}X)-\operatorname {E},\}$

${\displaystyle{\begin{정렬}\langle X,Y,Z\rangle =&.XYZ\\&,-\operatorname{E}Y\cdot XZ\\&,-\operatorname{E}Z\cdot XY\\&,-\operatorname{E}X\cdot YZ\\&, +2(\operatorname{E}Y)(\operatorname{E}Z)\cdot X\\&, +2(\operatorname{E}X)(\operatorname{E}Z)\cdot Y\\&, +2(\operatorname{E}X)(\operatorname{E}Y)\cdot Z\\&, Y\\&(XZ)\cdot-\operatorname{E};-\.operatorname {E} (XY)\cdot Z\\&-\operatorname {E} (YZ)\cdot X\\&-\operatorname {E} (XYZ)\\&+2\operatorname {E} (XY)\operatorname {E} Z+2\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} Y+2\operatorname {E} (YZ)\operatorname {E} X\\&-3(\operatorname {E} X)(\operatorname {E} Y)(\operatorname {E} Z).\end{정렬}}}$

또 다른 명목상의 관례

물리학자들 사이에 관습적인 표기법에서 Wick 제품은 흔히 다음과 같이 표시된다.

${\displaystyle :X_{1},\dots,X_{k:\,}$

그리고 각도-표현 표기법

$\displaystyle \langle X\angle \,}$

랜덤 변수 X의 기대값을 나타내기 위해 사용된다.

윅 파워스

랜덤 변수 X의 n번째 Wick 파워는 Wick 제품이다.

${\displaystyle X'^{n}=\langle X,\dots,X\angle \,}$

n개의 요인을 가지고

다항식 P의_n 순서는 다음과 같다.

${\displaystyle P_{n}(X)=\langle X,\dots,X\angle =X'^{n}\,}$

호칭 시퀀스를 형성하다. 즉, 그들은 정체성을 만족시킨다.

${\displaystyle P_{n}'(x)=nP_{n-1}(x),\,}$

n = 0, 1, 2, ... 및 P₀(x)는 0이 아닌 상수다.

예를 들어, X가 [0, 1] 간격에 균일하게 분포되어 있으면, 그 값을 알 수 있다.

${\displaystyle X'^{n}=B_{n}(X)\,}$

여기서 B는_n n급 베르누이 다항식이다.마찬가지로 X가 분산 1과 함께 정규 분포를 따르십시오.

$[\displaystyle X'^{n}=H_{n}(X)\,}$

여기서 H는_n Hermite 다항식이다.

이항 정리

${\displaystyle (aX+bY)^{'n}=\sum _{i=0}^{n}{n \선택 i}a^{i}b^{n-i}X^{'i}}Y^{'{n-i}}}$

윅 지수

${\displaystyle \langle \operatorname {exp}\angle \\\stackrel {\mathrm {def}{}}}}\sum _{i=0}^{\inflit }{a^{i}}{i!}}}X^{'i}}}$

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참조

• 윅 제품 스프링거 수학 백과사전
• Florin Avram and Murad Taqqu, (1987) "Noncentral Limit Organisms and Hogen Polynomials," 확률의 연보, 15권, 2, 767쪽—775, 1987.
• 히다, T, 이케다, N. (1967) "다수의 위너 적분에서 발생하는 재생성 커널을 이용한 힐버트 공간 분석"Proc. 5번 버클리 심포즈 수학, 통계학 및 확률(Berkeley, California, 1965/66) 제2권: 확률 이론에 대한 기여, Part 1 페이지 117–143 Univ.캘리포니아 프레스
• Wick, G. C. (1950) "충돌 행렬의 평가"물리적 개정판 80(2), 268–272.