마이클 선택 정리

수학의 한 분야인 기능분석에서 마이클 선택정리는 어니스트 마이클의 이름을 딴 선택정리다.가장 인기 있는 형태로 다음과 같이 기술하고 있다.^[1]

X는 파라콤팩트 공간이고 Y는 바나흐 공간이다.

$F{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F\colon X\to Y}$을(를) 비어 있지 않은 볼록 닫힘 값을 갖는 하한 혈변 다중값 맵이 되도록$$ 한다.

${\displaystyle \mathrm{그런}}$ 다음 F의 ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f\colon$ X$\to Y}$을(를) 연속적으로 선택한다.

반대로, 위상학적 공간 X에서 바나흐 공간까지 비어 있지 않은 볼록한 값을 가진 더 낮은 세미콘틴 멀티맵이 연속 선택을 허용한다면, X는 파라콤팩트가 된다.이것은 파라콤팩트성에 대한 또 다른 특성을 제공한다.

예

모든 요구 사항을 충족하는 기능

함수: $F{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle x\mathrm{}}$/ 2${\displaystyle }$, 1${\displaystyle }$- ${\displaystyle x}$], ${\displaystyle 1\mathrm{}}$ - x${\displaystyle }$], ${\displaystyle F(x)=[1-x/$2, $~1-x/4]$는$,$ 오른쪽 그림의 회색 영역으로 나타낸 것으로, 실제 간격[0,1]부터 그 자체까지의 다중값 함수다.그것은 마이클의 모든 조건을 만족시키며, 실제로 ${\displaystyle 연속적}$인 선택을 가지고 있다. 예를 들어, $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$- x${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle f(x)=1-x/2}$ 또는$$ ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle 3}$ x${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 8\mathrm{}}$ ${\displaystyle f(x)=1-3x/8$

낮은 혈중량을 만족시키지 못하는 기능

함수

${\displaystyle F(x)={\begin{case}3/4&0\leq x<0.5\\\왼쪽[0,1\오른쪽]&x=0.5\\1/4/0.5<x\leq 1\end{case}}}}$

실제 간격[0,1]에서 자체까지의 다중값 함수.그것은 비어 있지 않은 볼록형 닫힘 값을 가지고 있다.그러나 0.5로 낮은 혈우병은 아니다.실제로 마이클의 정리는 적용되지 않으며 함수는 연속적인 선택을 가지고 있지 않다: 0.5에서의 선택은 반드시 불연속적이다.^[2]

적용들

미카엘 선택 정리를 적용하여 미분포함수를 보여줄 수 있다.

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}(t)\in F(t,x(t),\quad x(t_{0})=x_{0}}}}}}$

F가 하위 반연속이고 F(t, x)가 비어 있지 않은 닫힘 및 볼록(t, x)일 때 C 용액을 갖는다¹.F가 단일 가치로 평가될 때, 이것이 고전적인 페아노 존재 정리다.

일반화

Deutsch와 Kenderov에 의한 정리는 Michel 선택 정리를 거의 낮은 혈전염에 대한 근사 선택과 관련된 동등성으로 일반화한다. 여기서 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $F$$}$는 각 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ X ${\displaysty$ x$\in$ X$\}$에서 $0$의 모든$$ $주변{\displaystyle }$V$${\$displaystystyle$ V$}$에서 거의 낮은 혈전염이라고 한다$$.$yle 0}$에는 x${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle x}$의 인접 $U{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle U}$이(가${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathrm{있으며}}$, 이러한 U$$${\displaystyle {}_{}}$∈$\$ $u U$ ${F$}\$in U}\{F($u)+$V\}\neq \empt .}$

Precisely, Deutsch–Kenderov theorem states that if ${\displaystyle X}$ is paracompact, ${\displaystyle Y}$ a normed vector space and ${\displaystyle F(x)}$ is nonempty convex for each ${\displaystyle x\in X}$, then ${\displaystyle F}$ is almost lower hemicontinuous if and only if ${\displayst$$yle F}$ has continuous approximate selections, that is, for each neighborhood ${\displaystyle V}$ of ${\displaystyle 0}$ in ${\displaystyle Y}$ there is a continuous function ${\displaystyle f\colon X\mapsto Y}$ such that for each ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaysty$$f(x)\in$ F$(X)+V}$^[3].

슈는 참고문에서 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간인 경우 독일-켄데로프 정리도 유효하다는 것을 증명했다.^[4]

참고 항목

• 0차원 미카엘 선택
• 선택 정리

참조

추가 읽기

• Repovš, Dušan; Semenov, Pavel V. (2014). "Continuous Selections of Multivalued Mappings". In Hart, K. P.; van Mill, J.; Simon, P. (eds.). Recent Progress in General Topology. Vol. III. Berlin: Springer. pp. 711–749. arXiv:1401.2257. Bibcode:2014arXiv1401.2257R. ISBN 978-94-6239-023-2.
• Aubin, Jean-Pierre; Cellina, Arrigo (1984). Differential Inclusions, Set-Valued Maps And Viability Theory. Grundl. der Math. Wiss. Vol. 264. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13105-1.
• Aubin, Jean-Pierre; Frankowska, H. (1990). Set-Valued Analysis. Basel: Birkhäuser. ISBN 3-7643-3478-9.
• Deimling, Klaus (1992). Multivalued Differential Equations. Walter de Gruyter. ISBN 3-11-013212-5.
• Repovš, Dušan; Semenov, Pavel V. (1998). Continuous Selections of Multivalued Mappings. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-5277-7.
• Repovš, Dušan; Semenov, Pavel V. (2008). "Ernest Michael and Theory of Continuous Selections". Topology and its Applications. 155 (8): 755–763. arXiv:0803.4473. doi:10.1016/j.topol.2006.06.011.
• Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2007). Infinite Dimensional Analysis : Hitchhiker's Guide (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-540-32696-0.
• Hu, S.; Papageorgiou, N. Handbook of Multivalued Analysis. Vol. I. Kluwer. ISBN 0-7923-4682-3.