이차형

수학에서 2차 형태는 학위 2의 모든 항을 가진 다항식("형식"은 동질 다항식의 다른 이름이다. 예를 들어,

${\displaystyle 4x^{2}+2xy-3y^{2}}$

x와 y 변수의 2차 형식이다. 계수는 대개 실제 수나 복잡한 수처럼 고정된 필드 K에 속하며, 하나는 K에 대한 2차 형태를 말한다. $K{\displaystyle }$= ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$이$($가) 모든 변수가 동시에 0일 때에만 2차 형식이 0이 되는 경우, 이는 확실한 2차 형식이며, 그렇지 않으면 등방성 2차 형식이다.

2차적 형태는 수학의 다양한 분야에서 중심적인 위치를 차지하고 있는데, 숫자 이론, 선형 대수학, 집단 이론(직교 집단), 미분 기하학(리만 미터법, 제2의 기본 형태), 미분 위상(사마니폴드의 인터섹션 형태), 그리고 거짓말 이론(킬링 형태)이 그것이다.

2차 형태는 2도 이하의 방정식과혼동해서는 안 된다 포함하는 2차 항을 하나뿐이고 변수가. 2차 형태는 동종 다항식의 보다 일반적인 개념 중 하나이다.

소개

2차 형태는 n개의 변수에 있는 동종 2차 다항식이다. 1, 2, 3개의 변수의 경우 단항, 이항, 3항이라고 하며 다음과 같은 명시적 형식을 가진다.

${\displaystyle {\bxy}q(x)&=ax^{2}&{\textrm {(unary)}\q(x,y)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}}&{\textrm {(i)}}\\q(x,y,z)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dyz+ez^{2}+dyz+ez^{2}+nowz&#•&{\textrm {(터미널)}\end{aigned}}$

여기서 a, …, f는 계수다.^[1]

표기법 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\angle }$은 2차 형식에 자주 사용된다$$^{[citation needed]}.

${\displaystyle q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.}$

그들의 연구에 사용된 이차적 형태와 방법의 이론은 계수의 성질에 따라 크게 달라지는데, 계수는 실제적이거나 복잡한 숫자, 합리적인 숫자 또는 정수일 수 있다. 선형대수학, 해석기하학, 그리고 2차형태의 대부분의 적용에서 계수는 실제 또는 복잡한 숫자다. 2차 형태의 대수학 이론에서 계수는 특정 분야의 요소들이다. 이차형식의 산술 이론에서 계수는 고정된 정류 링에 속하며, 종종 정수 Z 또는 p-adic 정수 Z에_p 속한다.^[2] 이항 2차 형태는 수 이론, 특히 2차장 이론, 지속적인 분수 이론, 모듈형 형식 등에서 광범위하게 연구되어 왔다. n 변수의 적분 2차 형태 이론은 대수적 위상에 중요한 응용을 가지고 있다.

동종 좌표를 사용하여 n 변수의 0이 아닌 2차원의 형태는 (n-1)차원 투사 공간에서 (n-2)차원의 4차원을 정의한다. 이것은 투영 기하학의 기본적인 구성이다. 이러한 방식으로 3차원 실제 2차 형태를 원뿔형 섹션으로 시각화할 수 있다. 좌표(x, y, z)와 원점 사이의 거리를 나타내는 3차원 유클리드 공간과 유클리드 규범의 제곱에 의해 예를 제시한다.

${\displaystyle q(x,y,z)=d(x,y,z),(0,0,0)^{2}=\(x,y,z)\^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$

기하학적 오버톤과 밀접하게 연관된 개념은 2차 공간이며, 2차 공간은 쌍(V, q)으로, V는 필드 K 위에 벡터 공간을 두고, Q : V → K는 2차 형태를 띤다. 벡터 공간의 2차 형태에 대한 정의는 아래의 § 정의를 참조하십시오.

역사

특정한 2차적 형태에 대한 연구, 특히 주어진 정수가 정수에 대한 2차적 형태의 값이 될 수 있는지에 대한 문제는 수세기 전으로 거슬러 올라간다. 그러한 경우 중 하나는 페르마의 두 제곱합에 대한 정리인데, 이 정수는 언제² x + y² 형태로 표현될 수 있는지 결정하는데, 여기서 x, y는 정수다. 이 문제는 기원전 2천년에 등장한 피타고라스 삼쌍둥이를 찾는 문제와 관련이 있다.^[3]

628년 인도의 수학자 브라마굽타는 Brahmasphuṭasidhánta를 썼는데, 이 중에는 x² - ny² = c형식의 방정식에 대한 연구도 포함되어 있다. 특히 그는 현재 Pell의 방정식인² x - ny² = 1이라고 불리는 것을 고려했고, 그 해결 방법을 찾아냈다.^[4] 유럽에서 이 문제는 브룬커, 오일러, 라그랑주에 의해 연구되었다.

1801년 가우스는 Discquisitiones Mathetae를 출판했는데, 그 중 주요 부분은 정수에 걸쳐 이항 2차 형태에 대한 완전한 이론에 바쳐졌다. 이후 개념은 일반화되었고, 2차수 분야, 모듈형 그룹, 수학의 다른 분야와의 연관성은 더욱 해명되었다.

실제 이차 형태

임의의 n×n 실제 대칭 행렬 A는 공식에 의해 n 변수에서 2차 형태 q를_A 결정한다.

${\displaystyle q_{A}(x_{1},\ldots,x_{n})=\sum _{i=1}^{n1}^{j_{ij}{x_}}{x_}}}}{x_}}}}}}{x_{j}}}=\mathrmathb {}{}{}}}}}.$

반대로, n개의 변수에 2차 형태를 부여하면, 그 계수는 n × n 대칭 행렬로 배열될 수 있다.

2차 형태 이론에서 중요한 질문은 2차 형태 q를 어떻게 균일한 선형 변수에 의해 단순화할 것인가이다. 자코비에 의한 근본적인 정리는 실제 2차 형태 q가 직교 대각화를 가지고 있다고 단언한다.^[5]

${\displaystyle \tilda _{1}{1}{x}}^{2}^{2}{x}_{2}^{2}+\cdots +{n}{n}{\tilde{x}}_{n}^{n}}}}}}}}}$

따라서 해당 대칭 행렬이 대각선이고 직교 행렬에 의해 주어진 변수의 변경으로 이것이 달성된다. 이 경우 계수 coefficients₁, λ₂, ..., λ은_n 순열까지 고유하게 결정된다.

계수 λ이_i 0, 1 및 -1인 것처럼 반드시 직교할 필요는 없는, 반전성 행렬에 의해 주어진 변수의 변화가 항상 존재한다. 실베스터의 관성 법칙은 각 1과 -1의 숫자는 다른 어떤 대각화에도 각각 같은 개수가 들어간다는 의미에서 2차 형태의 불변수라고 명시하고 있다. 2차 형태의 서명은 3중(n₀, n₊, n₋)이며, 여기서₀ n은 0초, n은_± ±1초이다. 실베스터의 관성 법칙은 이것이 2차 형태에 첨부된 잘 정의된 수량임을 보여준다. 모든 λ가_i 같은 부호를 갖는 경우는 특히 중요한데, 이 경우 2차 형태를 양정확정(모두 1) 또는 음정확정(모두 -1)이라고 한다. 만약 어느 항도 0이 아닌 경우, 그 형태를 비분해성이라고 부른다. 여기에는 양의 확정, 음의 확정, 그리고 비한정(1과 -1)이 포함된다. 동등하게, 비분해성 이차성 형태는 연관된 대칭 형태가 비분해성 이선형 형태인 것이다. 비확장성 2차 지수(p, q)(p 1s 및 q -1s를 나타냄)의 비한정 비확장성 2차적 형태의 실제 벡터 공간은 흔히 특히 스페이스타임의 물리적 이론에서 R로^p,q 표시된다.

2차 형태의 판별은 K/(K^×)² (제로가 아닌 정사각형까지)로 표현되는 행렬의 결정요인의 등급도 구체적으로 정의할 수 있으며, 실제 2차 형태는 서명보다 구불구불하며 "양, 0 또는 음"의 값만 취한다. 0은 퇴행성에 해당하지만, 비퇴행 형식의 경우 음수 계수 ${\displaystyle \mathrm{수의}}{\displaystyle }$패리티인${\displaystyle {}^{}}$( - 1 ) ${\displaystyle {n{}_{}}^{}}$- .${\displaystyle(-1)^{n_{-}.$$}$

이러한 결과는 아래와는 다른 방식으로 재구성된다.

q를 n차원 실제 벡터 공간에 정의된 2차적 형태가 되게 한다. A를 주어진 기준으로 2차 형태 q의 행렬이 되게 하라. 즉 A는 다음과 같은 대칭 n × n 행렬이라는 뜻이다.

${\displaystyle q(v)=x^{\mathrm {T}}Ax,}$

여기서 x는 선택된 기준에서 v의 좌표의 열 벡터다. 기초변경에 따라 왼쪽의 x열은 n × n 반전성 행렬 S로 곱하고, 대칭 제곱 행렬 A는 공식에 따라 같은 크기의 또 다른 대칭 제곱 행렬 B로 변형된다.

${\displaystyle A\to B=S^{\mathrm {T}AS}}$

대칭 행렬 A는 대각 행렬로 변환할 수 있음

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&#0&\cdots &0\\lambda _{1}{1}matrix}$

직교 행렬 S의 적절한 선택에 의해, B의 대각선 입력은 독특하게 결정된다 – 이것이 자코비의 정리다. S가 어떤 변위성 행렬이 될 수 있는 경우, 대각선 상에 B는 0.1과 -1만 가지도록 만들 수 있으며, 각 유형의 항목 수(0의 경우 n₀, 1의 경우 n₊₋, -1)는 A에만 의존한다. 이것은 실베스터의 관성 법칙의 공식화 중 하나이며 n과₊₋ n을 관성의 양과 음의 지수라고 한다. 비록 그들의 정의는 그에 상응하는 실제 대칭 행렬 A의 기초와 고려의 선택을 포함하였지만 실베스터의 관성 법칙은 그들이 2차 형태 q의 불변이라는 것을 의미한다.

2차 형식 q는 0이 아닌 벡터 v마다 q(v) > 0(resp, q(v) < 0)일 경우 양정확정(resp, 음정확정)이다.^[6] q(v)가 양의 값과 음의 값을 모두 가정할 때, q는 무한 이차형이다. 자코비와 실베스터의 이론은 n개의 변수에 있는 어떤 양의 확정 2차적 형태도 적절한 반전성 선형 변환에 의해 n 제곱의 합으로 가져올 수 있다는 것을 보여준다: 기하학적으로, 모든 차원에 대한 긍정적이고 확실한 2차적 형태는 오직 하나뿐이다. 등위계 그룹은 콤팩트한 직교 그룹 O(n)이다. 이는 해당 그룹인 무기한 직교 그룹 O(p, q)가 비구축일 때 무기한 형태의 경우와 대조를 이룬다. 또한 Q와 -Q의 등위계 그룹은 동일하지만(O(p, q) ≈ O(q, p)와 연관된 클리포드 알헤브라스(따라서 핀 그룹)는 다르다.

정의들

A quadratic form over a field K is a map ${\displaystyle q:V\to K}$ from a finite-dimensional K-vector space to K such that ${\displaystyle q(av)=a^{2}q(v)}$ for all ${\displaystyle a\in K,v\in V}$ and the function ${\displaystyle q(u+v)-q(u)-$$q(v)}$은(는) 이선형이다.

구체적으로는 필드 K 위에 있는 n-ary 2차 형태는 n개의 변수에서 도 2의 동종 다항식이며 K:

${\displaystyle q(x_{1},\ldots,x_{n}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j}a_{x_{j}}{x_{j}}},\quad a_{ij}\in.}$

이 공식은 행렬을 사용하여 다시 쓸 수 있다: x는 성분 x₁, ..., x_n 및 A = (a_ij) 항목이 q의 계수인 k 위의 n×n 행렬이 되도록 한다. 그러면

${\displaystyle q(x)=x^{\mathrm {T} }Ax.}$

q($v{\displaystyle )}$= ${\displaystyle {}_{}}$이면 ${\displaystyle {벡터}_{}}$ v${\displaystyle }$= (${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$1 , … , x n ) ${\displaystyle$ v=(x_${1},\ldots,$ x_${n}}}$는 null 벡터다.

두 개의 n-ary 2차 형태 φ과 K에 대한 ψ은 다음과 같은 비정형 선형 변환 C ∈ GL(n, K)이 존재하는 경우 등가물이다.

${\displaystyle \psi(x)=\varphi(Cx)).}$

K의 특징을 2와 다르게 하자.^[7] q의 계수 행렬 A는 동일한 2차 형태를 갖는 대칭 행렬(A + A^T)/2로 대체될 수 있으므로 처음부터 A가 대칭이라고 가정할 수 있다. 또한 대칭 행렬 A는 해당 2차 형태에 의해 고유하게 결정된다. 등가 C에서 φ의 대칭 행렬 A와 ψ의 대칭 행렬 B는 다음과 같이 관련되어 있다.

${\displaystyle B=C^{\mathrm {T}AC.}$

2차 형태 q의 관련 이선형 형태는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle b_{q}(x,y)={\tfrac {1}{1}:{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y)=x^{\mathrm {T}}Aay=y^{\mathrm {T}}Ax.}$

따라서 b는_q 행렬 A와 함께 K에 대한 대칭 이선형이다. 반대로, 모든 대칭 이선형 형태 b는 2차 형태를 정의한다.

${\displaystyle q(x)=b(x,x),}$

그리고 이 두 과정은 서로 반대되는 과정이다. 그 결과, 2와 같지 않은 특성 영역에 걸쳐 대칭 이선형 및 n 변수에서의 이차형 형태의 이론은 본질적으로 동일하다.

2차 공간

K에 대한 n 변수의 2차 형식 q는 n차원 좌표 공간 K에서ⁿ K:로 지도를 유도한다.

${\displaystyle Q(v)=q(v),\quad v=[v_{1},\ldots, v_{n}]^{\mathrm {T}}\in K^{n}.}$

지도 Q는 도 2의 균일한 함수로, 이는 모든 a in K와 V에 대해 다음과 같은 속성을 가지고 있음을 의미한다.

$[\displaystyle Q(av)=a^{2}Q(v)]}$

K의 특성이 2가 아닌 경우, 이선형 지도 B : V × V → K over K를 정의한다.

${\displaystyle B(v,w)={\tfrac {1}{2}}(Q(v+w)-Q(w)}$

이 이선형식 B는 대칭이다. 즉, B(x, y) = 모든 x에 대해 B(y, x)이고, V에 있는 모든 x에 대해 Q: Q(x) = B(x, x)를 결정한다.

K의 특성이 2이므로 2가 단위가 아닌 경우에도 2차 형태를 사용하여 B use(x, y) = Q(x + y) - Q(x) - Q(x) - Q(y)를 정의할 수 있다. 그러나, 모든 x에 대해 B((x, x) = 0이므로(따라서 교대로^[8]) 이 B(에서 Q(x)를 더 이상 복구할 수 없다. 또는 B″(x, x) = Q(x)와 같은 이선형(일반적으로 고유하거나 대칭적이지 않음)이 항상 존재한다.

K에 대한 유한차원 벡터 공간 V와 V에서 K에 이르는 2차원의 지도 Q로 구성된 쌍(V, Q)을 2차원의 공간이라고 하며, 여기서 정의한 B는 Q의 연관된 대칭 이선형이다. 2차 공간의 개념은 2차 형태의 개념을 좌표가 없는 버전이다. 때때로 Q는 2차 형태라고도 불린다.

2개의 n차원 2차원의 공간(V, Q)과 (V′, Q′)은 다음과 같은 반전성 선형 변환 T : V → V′ (등각도)가 존재하는 경우 등축적이다.

${\displaystyle Q(v)=Q'(Tv){\text{모든 }v\in V.}$

K에 대한 n차원 2차원의 등가선 등급은 K에 대한 n-ary 2차원의 등가선 등급에 해당한다.

일반화

R을 정류 링으로 하고, M은 R-모듈로 하고, b : M × M → R은 R-이변형으로 한다.^[9] mapping q : M → R : v ↦ b(v, v)는 b의 관련 2차 형식이고, B : M × M → R : (u, v) ↦ q(u + v) - q(u) - q(v)는 q의 극형 형식이다.

2차 형태 Q : M → R은 다음과 같은 동등한 방법으로 특징지어질 수 있다.

• q(v)가 관련 2차 형태인 R-bilinar 형식 b : M × M → R이 있다.
• q(av) = 모든 r R 및 v m M에 대한 aq²(v)이며, q의 극형은 R-편향이다.

관련개념

V의 두 원소 v와 w는 B(v, w) = 0이면 직교라고 한다. B형식의 커널은 V의 모든 요소에 직교하는 원소로 구성된다. Q는 연관된 이선형식의 커널이 {0}인 경우 비음향적이다. Q(v) = 0과 같은 V에 0이 아닌 V가 존재할 경우 2차 형식 Q는 등방성이며, 그렇지 않을 경우 등방성이 된다. 이 용어는 2차 공간의 벡터 및 하위 공간에도 적용된다. V의 하위 공간 U에 대한 Q의 제한이 동일하게 0이면 U는 완전히 단수적이다.

비성형 2차성형 Q의 직교 그룹은 Q: 즉 (V, Q)의 등각성 그룹을 그 자체로 보존하는 V의 선형 자동화 그룹이다.

2차 공간(A, Q)에 제품이 있어서 A가 필드 위의 대수이고, 만족하는 경우

${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle x}$, y ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$( x ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= Q${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle Q}$( y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \forall x,y\in A\quad Q(xy)=Q(y)},$ 그러면 합성 대수학이다.

서식의 등가성

2와 같지 않은 특성 필드 위에 n 변수에서 모든 2차 폼 q는 대각선 형태와 동일하다.

${\displaystyle q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.}$

이러한 대각선 형태는 ${\displaystyle {}_{}}$ $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle \langle a_{1},\ldots, a_{n}\rangele .}$ 대각선 형태까지의 모든 2차 형태 분류는$$ 대각선 형태로 축소될 수 있다.

기하학적 의미

데카르트 좌표를 3차원으로 $사용$하여 ${\displaystyle x^{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z{}^{}}$) T ${\$$T$ 그리고 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 대칭 3-by-3 행렬로$$ 두십시오. 그런 다음 x ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x\mathbf{}}$+ ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathbf{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\text{$$T}}A\mathbf {x} +\mathbf {b} ^{\text{$$T}}\mathbf {x} =$1}은$($는) 매트릭스 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 고유값에 따라 달라진다$$$.$

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 모든 고유값이 0이 아닌$$ 경우 솔루션 세트는 타원체 또는 하이퍼볼로이드입니다^{[citation needed]}. 모든 고유값이 양의 값이면 타원체, 모든 고유값이 음의 값이면 상상의 타원체(우리는 타원체의 방정식을 얻지만 상상의 방사선을 가지고 있다), 일부 고유값이 양의 값이고 음의 값이면 하이퍼볼로이드다.

If there exist one or more eigenvalues ${\displaystyle \lambda _{i}=0}$, then the shape depends on the corresponding ${\displaystyle b_{i}}$. If the corresponding ${\displaystyle b_{i}\neq 0}$, then the solution set is a paraboloid (either elliptic or hyperbolic); if the corresponding ${\displaystyle b_i=}$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle b_{i}=0$ 그러면 $차원{\displaystyle }$ i ${\displaystyle i}$이(가) 변질되어$$ 재생되지 않으며, 기하학적 의미는 다른 고유값과 $b{\displaystyle \mathbf{}}${\$displaysty \mathbf {b}$의 다른 성분들에 의해 결정된다$.$ 솔루션 세트가 파라볼로이드인 경우 타원형인지 쌍곡선인지에 의해 결정된다.r 0이 아닌 다른 모든 고유값은 동일한 기호를 가지고 있다. 고유값이 0이면 타원이고, 그렇지 않으면 쌍곡선이다.

적분 이차 형태

정수의 링 위에 있는 이차적 형태를 적분 이차적 형태라고 하는데 반해 해당 모듈은 이차적 격자(때로는 단순 격자)이다. 그들은 숫자 이론과 위상에서 중요한 역할을 한다.

An integral quadratic form has integer coefficients, such as x² + xy + y²; equivalently, given a lattice Λ in a vector space V (over a field with characteristic 0, such as Q or R), a quadratic form Q is integral with respect to Λ if and only if it is integer-valued on Λ, meaning Q(x, y) ∈ Z if x, y ∈ Λ.

이것은 이 용어의 현재 사용이다. 과거에는 아래에 자세히 설명된 것처럼 다른 용어로 사용되기도 한다.

역사적 용법

역사적으로 본질적인 2차적 형태의 개념이 다음을 의미해야 하는지에 대해 약간의 혼란과 논란이 있었다.

을 때려눕히다

정수 계수를 갖는 대칭 행렬과 연관된 2차 형태

을 때려눕히다

정수 계수가 있는 다항식(따라서 연관된 대칭 행렬이 대각선으로부터 반감산 계수를 가질 수 있음)

이 논쟁은 2차적 형태(다항식으로 표현됨)와 대칭적 이항형식(매트릭스로 표현됨)의 혼동 때문이었으며, "twos out"은 이제 받아들여진 관습이고, "twos in"은 대신 적분 이항형식(integral 대칭형 행렬)의 이론이다.

"twos in"에서 이항 2차 형식은 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {행렬}^{}}$로 ${\displaystyle \mathrm{표현}}$되는 ${\displaystyle x}$ 2 + ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$b x y${\displaystyle }$+ ${\displaystyle c}$ y + c y$$ ${\$^{2}+2bxy$+cy^{2$

${\displaystyle {\pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}$

이것은 가우스가 디스퀴지스 산술대에서 사용하는 관습이다.

"twos out"에서 이항 ${\displaystyle {2차\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$는 $x{\displaystyle }$ 2 + b ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$+$$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}{}^{}2}$ {\$displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}},$대칭 행렬로 표현된다.

${\displaystyle {\pmatrix}a&b/2\b/2&c\end{pmatrix}.}$

몇 가지 관점이 있다는 것은 투아웃이 표준 협약으로 채택되었다는 것을 의미한다. 여기에는 다음이 포함된다.

• 난이도의 '지역적' 원인인 2차 형태에 대한 2차 이론의 더 나은 이해
• 1950년대 동안 2차 형태 산술 전문가에 의해 일반적으로 채택된 격자 관점
• 교차로 이론 위상에서의 적분 이차 형태 이론에 대한 실제 요구
• 리 그룹과 대수 그룹 측면

범용 이차형

이미지가 모든 양의 정수로 구성된 일체형 2차 형태를 범용이라고 부르기도 한다. 라그랑주의 4제곱 정리를 보면 w ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$2}+y^{$2}+z^{$2}}이 보편적이라는$$ 것을 알 수 있다. $Ramanujan$은 ${\displaystyle {이것}^{}}$을${\displaystyle {}^{}w}$ 2 + ${\displaystyle {b\mathrm{}}^{}x}$ ${\displaystyle 2}$ + ${\displaystyle {}^{}{y\mathrm{}}^{}}$ 2 + $z$ 2로 일반화하였고,$각각$ 모든 양의 정수를 생성할 수 있는 54개의 멀티셋 {a, b, c, d}을$($를) 발견했다.

{1, 1, 1, d}, 1 ≤ d ≤ 7

{1, 1, 2, d}, 2 ≤ d ≤ 14

{1, 1, 3, d}, 3 ≤ d ≤ 6

{1, 2, 2, D}, 2 ≤ d ≤ 7

{1, 2, 3, d}, 3 ≤ d ≤ 10

{1, 2, 4, d}, 4 ≤ d ≤ 14

{1, 2, 5, d}, 6 ≤ d ≤ 10

또한 이미지가 양의 정수 중 하나를 제외한 모든 형태로 구성되는 형태도 있다. 예를 들어, {1,2,5,5}에는 예외로 15가 있다. 최근 15개 및 290개 이론은 범용 적분 이차적 형태를 완전히 특징으로 하고 있다: 모든 계수가 정수인 경우 290개까지의 모든 정수를 나타내는 경우와 290개까지의 정수를 나타내는 경우에만 모든 양의 정수를 나타내고, 정수 행렬이 있는 경우에는 모든 정수를 나타내는 것이다.uh 15.

참고 항목

• ε-quadratic form
• 입방형
• 이차형식의 판별
• 하세-밍코프스키 정리
• 사분면체
• 라마누잔의 2차 형태
• 스퀘어 클래스
• 위트군
• 위트의 정리

메모들

참조

• O'Meara, O.T. (2000), Introduction to Quadratic Forms, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66564-9
• Conway, John Horton; Fung, Francis Y. C. (1997), The Sensual (Quadratic) Form, Carus Mathematical Monographs, The Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-030-5
• Shafarevich, I. R.; A. O. Remizov (2012). Linear Algebra and Geometry. Springer. ISBN 978-3-642-30993-9.

추가 읽기

• Cassels, J.W.S. (1978). Rational Quadratic Forms. London Mathematical Society Monographs. 13. Academic Press. ISBN 0-12-163260-1. Zbl 0395.10029.
• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Arithmetic of quadratic forms. Cambridge Tracts in Mathematics. 106. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021.
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 73. Springer-Verlag. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016.
• O'Meara, O.T. (1973). Introduction to quadratic forms. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 117. Springer-Verlag. ISBN 3-540-66564-1. Zbl 0259.10018.
• Pfister, Albrecht (1995). Quadratic Forms with Applications to Algebraic Geometry and Topology. London Mathematical Society lecture note series. 217. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46755-1. Zbl 0847.11014.

외부 링크

• A.V.Malyshev (2001) [1994], "Quadratic form", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• A.V.Malyshev (2001) [1994], "Binary quadratic form", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press